江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 高考提能 圓的第二定義——阿波羅斯圓學(xué)案.doc

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圓的第二定義——阿波羅尼斯圓 一、問(wèn)題背景 蘇教版《數(shù)學(xué)必修2》P112第12題： 已知點(diǎn)M(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(3,0)的距離之比為，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫(huà)出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線． 二、阿波羅尼斯圓 公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果： 到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓． 如圖，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA＝λPB. 則λ＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓． 證：設(shè)AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－m,0)，B(m,0)． 又設(shè)P(x，y)，則由PA＝λPB得＝λ， 兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)． 當(dāng)λ＝1時(shí)，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線； 當(dāng)λ＞1時(shí)，2＋y2＝，軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓． 上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理． 三、阿波羅尼斯圓的性質(zhì) 1．滿足上面條件的阿波羅尼斯圓的直徑的兩端是按照定比λ內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個(gè)分點(diǎn)． 2．直線CM平分∠ACB，直線CN平分∠ACB的外角． 3.＝. 4．CM⊥CN. 5．當(dāng)λ＞1時(shí)，點(diǎn)B在圓O內(nèi)； 當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，點(diǎn)A在圓O內(nèi)． 6．若AC，AD是切線，則CD與AO的交點(diǎn)即為B. 7．若過(guò)點(diǎn)B做圓O的不與CD重合的弦EF，則AB平分∠EAF. 四、范例欣賞 例1　設(shè)A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離的比為定值a(a＞0)，求P點(diǎn)的軌跡． 解　設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 由＝a(a＞0)，得＝a. 化簡(jiǎn)得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0. 當(dāng)a≠1時(shí)，得x2＋x＋c2＋y2＝0，整理得2＋y2＝2. 當(dāng)a＝1時(shí)，化簡(jiǎn)得x＝0. 所以當(dāng)a≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以為圓心， 為半徑的圓； 當(dāng)a＝1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為y軸． 例2　如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2＝4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1，圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))，使得PM＝PN，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 解　以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則O1(－2,0)，O2(2,0)， 由已知PM＝PN，得PM2＝2PN2， 因?yàn)閮蓤A的半徑均為1， 所以PO－1＝2(PO－1)， 設(shè)P(x，y)，則(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即(x－6)2＋y2＝33， 所以所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 例3　如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 解　(1)聯(lián)立得圓心為C(3,2)． 切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＝kx＋3. d＝＝r＝1， 得k＝0或k＝－. 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由MA＝2MO，知 ＝2， 化簡(jiǎn)得x2＋(y＋1)2＝4. 即點(diǎn)M的軌跡為以(0，－1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D. 又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，故圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切． 故1≤CD≤3，其中CD＝. 解得0≤a≤. 例4　在x軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)？如果存在，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　假設(shè)在x軸正半軸上存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，設(shè)P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2＞x1＞0. 即＝對(duì)滿足x2＋y2＝4的任何實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)恒成立， 整理得，2x(4x1－x2)＋x－4x＝3(x2＋y2)，將x2＋y2＝4代入得， 2x(4x1－x2)＋x－4x＝12，這個(gè)式子對(duì)任意x∈[－2,2]恒成立， 所以一定有因?yàn)閤2＞x1＞0， 所以解得x1＝1，x2＝4. 所以在x軸正半軸上存在兩個(gè)定點(diǎn)A(1,0)，B(4,0)，使得圓x2＋y2＝4上任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù). 五、跟蹤演練 1．滿足條件AB＝2，AC＝BC的△ABC的面積的最大值是________． 答案　2 解析　以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(1,0)，設(shè)C(x，y)， 由AC＝BC，得＝. 平方化簡(jiǎn)整理得y2＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8≤8. ∴|y|≤2，則 S△ABC＝2|y|≤2，∴S△ABC的最大值是2. 2．在△ABC中，邊BC的中點(diǎn)為D，若AB＝2，BC＝AD，則△ABC的面積的最大值是________． 答案　4 解析　以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(1,0)， 由BD＝CD，BC＝AD知，AD＝BD，D的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為(x－3)2＋y2＝8，設(shè)C(x，y)， 得D，所以點(diǎn)C的軌跡方程為2＋2＝8，即(x－5)2＋y2＝32. 所以S△ABC＝2|y|＝|y|≤＝4，故S△ABC的最大值是4. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在點(diǎn)P，使得PA＝PB，PC＝PD，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－2－1,2－1] 解析　設(shè)P(x，y)，則＝， 整理得(x－5)2＋y2＝8，即動(dòng)點(diǎn)P在以(5,0)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)． 另一方面，由PC＝PD知?jiǎng)狱c(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y＝a＋1上運(yùn)動(dòng)，因而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為直線y＝a＋1與圓(x－5)2＋y2＝8有交點(diǎn)． 所以|a＋1|≤2， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2－1，2－1]． 4.如圖，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B(－1,0)，AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)，則點(diǎn)C的軌跡所包圍的圖形的面積等于________． 答案　4π 解析　因?yàn)锳B＝2AD，所以點(diǎn)A的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其方程為(x－3)2＋y2＝4(y≠0)． 設(shè)C(x，y)，由AC邊的中點(diǎn)為D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的軌跡方程為(4－x－3)2＋(－y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所求的面積為4π. 5．如圖，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α與平面β的交線上的兩個(gè)定點(diǎn)，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面積的最大值． 解　∵DA⊥α，PA?α， ∴DA⊥PA， ∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝＝， 同理tan∠BPC＝＝. ∵∠APD＝∠BPC， ∴BP＝2AP. 在平面α上以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－3,0)，B(3,0)， 設(shè)P(x，y)，則有＝2(y≠0)． 化簡(jiǎn)得(x＋5)2＋y2＝16， ∴y2＝16－(x＋5)2≤16. ∴|y|≤4. △PAB的面積為S△PAB＝|y|AB＝3|y|≤12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－5，y＝4時(shí)取得等號(hào)，則△PAB的面積的最大值是12. 6．已知⊙O：x2＋y2＝1和點(diǎn)M(4,2)． (1)過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程； (2)求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y＝2x－1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程； (3)設(shè)P為(2)中⊙M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)直線l的斜率存在， 設(shè)切線l方程為y－2＝k(x－4)， 易得＝1，解得k＝. ∴切線l的方程為y－2＝(x－4)． (2)圓心到直線y＝2x－1的距離為，設(shè)圓的半徑為r，則r2＝22＋()2＝9， ∴⊙M的方程為(x－4)2＋(y－2)2＝9. (3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R(a，b)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，相應(yīng)的定值為λ. 根據(jù)題意可得PQ＝， ∴＝λ， 即x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)．(*) 又點(diǎn)P在圓M上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得 8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)]， 若系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，則等式恒成立， ∴ 解得a＝2，b＝1，λ＝或a＝，b＝，λ＝， ∴可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得為定值，如點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，比值為，點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，比值為.