2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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2　導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)和變化率的關(guān)系.2.會(huì)計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).3.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程． 知識(shí)點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率是函數(shù)y＝f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．用符號(hào)f′(x0)表示，記作： f′(x0)＝＝. 知識(shí)點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 (1)切線的概念：如圖，對(duì)于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線． (2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)． (3)切線方程： 曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 特別提醒：曲線的切線并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可能有多個(gè)，甚至可以無(wú)窮多．與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線． 1．函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與Δx值的正、負(fù)無(wú)關(guān)．(　√　) 2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值是Δx＝0時(shí)的平均變化率．(　　) 3．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有唯一的一條切線．(　√　) 4．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的切線與函數(shù)y＝f(x)的公共點(diǎn)不一定是一個(gè)．(　√　) 題型一　利用定義求導(dǎo)數(shù) 例1　建造一棟面積為x平方米的房屋需要成本y萬(wàn)元，y是x的函數(shù)，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解釋它的實(shí)際意義． 解　∵當(dāng)x從100變?yōu)?00＋Δx時(shí)，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 ＝， ＝＋， ∴f′(100)＝， ＝＝0.105， f′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑面積為100平方米時(shí)，成本增加的速度為1050元/平方米，也就是說(shuō)當(dāng)建筑面積為100平方米時(shí)，每增加1平方米的建筑面積，成本就要增加1050元． 反思感悟　求一個(gè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)值的變化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均變化率＝. (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝. 跟蹤訓(xùn)練1　利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)． 考點(diǎn)　函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　根據(jù)定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解　由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導(dǎo)數(shù) f′(2)＝， 而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋32)＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝＝ (－Δx－1)＝－1. 題型二　求切線方程 例2　已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(1,2)，求： (1)點(diǎn)A處的切線的斜率； (2)點(diǎn)A處的切線方程． 考點(diǎn)　切線方程的求解及應(yīng)用 題點(diǎn)　求在某點(diǎn)的切線方程 解　(1)＝ ＝＝ (4＋2Δx)＝4， ∴點(diǎn)A處的切線的斜率為4. (2)點(diǎn)A處的切線方程是y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0. 反思感悟　求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟 跟蹤訓(xùn)練2　曲線y＝x2＋1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________． 考點(diǎn)　切線方程的求解及應(yīng)用 題點(diǎn)　求在某點(diǎn)處的切線方程 答案?。? 解析　＝ ＝ (4＋Δx)＝4， 曲線y＝x2＋1在點(diǎn)(2,5)處的切線方程為 y－5＝4(x－2)， 即y＝4x－3. ∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－3. 題型三　求切點(diǎn)坐標(biāo) 例3　已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，請(qǐng)求出切點(diǎn)的坐標(biāo)． (1)切線的傾斜角為45； (2)切線平行于直線4x－y－2＝0； (3)切線垂直于直線x＋8y－3＝0. 考點(diǎn)　切線方程的求解及應(yīng)用 題點(diǎn)　求切點(diǎn)坐標(biāo) 解　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx， 當(dāng)Δx趨于0時(shí)，趨于4x0，即f′(x0)＝4x0. (1)∵拋物線的切線的傾斜角為45， ∴斜率為tan45＝1. 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為. (2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)． (3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直， 則k＝－1，即k＝8， 故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9)． 反思感悟　根據(jù)切線斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟 (1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)． (2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)． (3)求切線的斜率f′(x0)． (4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0. (5)點(diǎn)(x0，y0)在曲線f(x)上，將x0代入求y0，得切點(diǎn)坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)． 考點(diǎn)　切線方程的求解及應(yīng)用 題點(diǎn)　求切點(diǎn)坐標(biāo) 解　設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)． ∵f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x， 由題意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為或(2,3)． 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，有＝4＋a，a＝. 當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝42＋a，a＝－5. ∴當(dāng)a＝時(shí)，切點(diǎn)為； 當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)為(2,3)． 題型四　導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 例4　(1)函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(　　) A．00且曲線的切線的斜率逐漸增大， ∴g′(x)是增加的，∴g′(2)0)，g(x)＝x3＋bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值． 考點(diǎn)　切線方程的求解及應(yīng)用 題點(diǎn)　根據(jù)切點(diǎn)或切線斜率求值 解　∵f′(x)＝ ＝＝2ax， ∴f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2a. ∵g′(x)＝ ＝ ＝3x2＋b， ∴g′(1)＝3＋b，即切線斜率k2＝3＋b. ∵在交點(diǎn)(1，c)處有公共切線，∴2a＝3＋b. 又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得