2020版高中數(shù)學 第三章 變化率與導數(shù) 2 導數(shù)的概念及其幾何意義學案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

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2　導數(shù)的概念及其幾何意義 學習目標　1.理解導數(shù)的概念以及導數(shù)和變化率的關(guān)系.2.會計算函數(shù)在某點處的導數(shù).3.理解導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程． 知識點一　導數(shù)的概念 函數(shù)y＝f(x)在x0點的瞬時變化率是函數(shù)y＝f(x)在x0點的導數(shù)．用符號f′(x0)表示，記作： f′(x0)＝＝. 知識點二　導數(shù)的幾何意義 (1)切線的概念：如圖，對于割線PPn，當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線． (2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)． (3)切線方程： 曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 特別提醒：曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可能有多個，甚至可以無窮多．與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線． 1．函數(shù)在某一點的導數(shù)與Δx值的正、負無關(guān)．(　√　) 2．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值是Δx＝0時的平均變化率．(　　) 3．若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有導數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處有唯一的一條切線．(　√　) 4．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的切線與函數(shù)y＝f(x)的公共點不一定是一個．(　√　) 題型一　利用定義求導數(shù) 例1　建造一棟面積為x平方米的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解釋它的實際意義． 解　∵當x從100變?yōu)?00＋Δx時，函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為 ＝， ＝＋， ∴f′(100)＝， ＝＝0.105， f′(100)＝0.105表示當建筑面積為100平方米時，成本增加的速度為1050元/平方米，也就是說當建筑面積為100平方米時，每增加1平方米的建筑面積，成本就要增加1050元． 反思感悟　求一個函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的步驟 (1)求函數(shù)值的變化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均變化率＝. (3)取極限，得導數(shù)f′(x0)＝. 跟蹤訓練1　利用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝－x2＋3x在x＝2處的導數(shù)． 考點　函數(shù)在一點處的導數(shù) 題點　根據(jù)定義求函數(shù)在某點處的導數(shù) 解　由導數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝2處的導數(shù) f′(2)＝， 而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋32)＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝＝ (－Δx－1)＝－1. 題型二　求切線方程 例2　已知曲線y＝2x2上一點A(1,2)，求： (1)點A處的切線的斜率； (2)點A處的切線方程． 考點　切線方程的求解及應(yīng)用 題點　求在某點的切線方程 解　(1)＝ ＝＝ (4＋2Δx)＝4， ∴點A處的切線的斜率為4. (2)點A處的切線方程是y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0. 反思感悟　求曲線在某點處的切線方程的步驟 跟蹤訓練2　曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線與y軸交點的縱坐標是________． 考點　切線方程的求解及應(yīng)用 題點　求在某點處的切線方程 答案?。? 解析?。? ＝ (4＋Δx)＝4， 曲線y＝x2＋1在點(2,5)處的切線方程為 y－5＝4(x－2)， 即y＝4x－3. ∴切線與y軸交點的縱坐標是－3. 題型三　求切點坐標 例3　已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，請求出切點的坐標． (1)切線的傾斜角為45； (2)切線平行于直線4x－y－2＝0； (3)切線垂直于直線x＋8y－3＝0. 考點　切線方程的求解及應(yīng)用 題點　求切點坐標 解　設(shè)切點坐標為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx， 當Δx趨于0時，趨于4x0，即f′(x0)＝4x0. (1)∵拋物線的切線的傾斜角為45， ∴斜率為tan45＝1. 即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝， ∴切點坐標為. (2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1， ∴切點坐標為(1,3)． (3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直， 則k＝－1，即k＝8， 故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2， ∴切點坐標為(2,9)． 反思感悟　根據(jù)切線斜率求切點坐標的步驟 (1)設(shè)切點坐標(x0，y0)． (2)求導函數(shù)f′(x)． (3)求切線的斜率f′(x0)． (4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0. (5)點(x0，y0)在曲線f(x)上，將x0代入求y0，得切點坐標． 跟蹤訓練3　已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點坐標． 考點　切線方程的求解及應(yīng)用 題點　求切點坐標 解　設(shè)直線l與曲線C相切于點P(x0，y0)． ∵f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x， 由題意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切點坐標為或(2,3)． 當切點為時，有＝4＋a，a＝. 當切點為(2,3)時，有3＝42＋a，a＝－5. ∴當a＝時，切點為； 當a＝－5時，切點為(2,3)． 題型四　導數(shù)幾何意義的應(yīng)用 例4　(1)函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(　　) A．00且曲線的切線的斜率逐漸增大， ∴g′(x)是增加的，∴g′(2)0)，g(x)＝x3＋bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值． 考點　切線方程的求解及應(yīng)用 題點　根據(jù)切點或切線斜率求值 解　∵f′(x)＝ ＝＝2ax， ∴f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2a. ∵g′(x)＝ ＝ ＝3x2＋b， ∴g′(1)＝3＋b，即切線斜率k2＝3＋b. ∵在交點(1，c)處有公共切線，∴2a＝3＋b. 又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得