2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語(yǔ) 1.3.1 量詞學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx
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1.3.1 量 詞 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和存在性命題的概念.3.能判定全稱命題和存在性命題的真假并掌握其判斷方法. 知識(shí)點(diǎn)一 全稱量詞與全稱命題 思考 觀察下列命題： ①每一個(gè)三角形都有內(nèi)切圓； ②所有實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根； ③對(duì)一切有理數(shù)x,5x＋2還是有理數(shù). 以上三個(gè)命題中分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假. 答案 命題①②③分別使用量詞“每一個(gè)”“所有”“一切”. 命題①③是真命題，命題②是假命題.三個(gè)命題中的“每一個(gè)”“所有”“一切”都有全部、所有的意義，要求命題對(duì)某個(gè)集合的所有元素都成立，而負(fù)實(shí)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，故命題②為假命題. 梳理 (1) 全稱量詞 “所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部” 符號(hào) ? 全稱命題p 含有全稱量詞的命題 形式 “對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x) (2)判斷全稱命題真假性的方法：對(duì)于全稱命題“?x∈M，p(x)”，要判斷它為真，需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個(gè)x，使p(x)不成立，即“?x∈M，p(x)不成立”. 知識(shí)點(diǎn)二 存在量詞與存在性命題 思考 觀察下列命題： ①有些矩形是正方形； ②存在實(shí)數(shù)x，使x>5； ③至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2－2x＋2<0. 以上三個(gè)命題分別使用了什么量詞？根據(jù)命題的實(shí)際含義能否判斷命題的真假. 答案 命題①②③分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個(gè)”.命題①②是真命題，命題③是假命題.三個(gè)命題中的“有些”“存在”“至少有一個(gè)”等詞都是對(duì)某個(gè)集合內(nèi)的個(gè)別元素而言，要說(shuō)明這些命題是真命題，只要舉出一個(gè)例子即可.所以命題①②是真命題，而對(duì)任意實(shí)數(shù)x，x2－2x＋2都大于0，所以命題③為假命題. 梳理 (1) 存在量詞 “有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的” 符號(hào) ? 存在性命題 含有存在量詞的命題 形式 “存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x) (2)判斷存在性命題真假性的方法：要判斷一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立即可，否則，這一存在性命題是假命題. 1.“某些”“有個(gè)”“有的”等短語(yǔ)不是存在量詞.( ) 2.全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞.( ) 3.全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.( √ ) 類型一 全稱命題與存在性命題的識(shí)別 例1 判斷下列語(yǔ)句是全稱命題還是存在性命題： (1)凸多邊形的外角和等于360； (2)有的向量方向不定； (3)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)有一個(gè)函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； (5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱命題和存在性命題 解 (1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和都等于360”，故為全稱命題. (2)含有存在量詞“有的”，故是存在性命題. (3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題. (4)含有存在量詞“有一個(gè)”，故為存在性命題. (5)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱命題. 反思與感悟 判斷一個(gè)語(yǔ)句是全稱命題還是存在性命題的思路 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并用符號(hào)“?”或“?”表示下列命題： (1)自然數(shù)的平方大于或等于零； (2)對(duì)每一個(gè)無(wú)理數(shù)x，x2也是無(wú)理數(shù)； (3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)； (4)對(duì)于數(shù)列，總存在正整數(shù)n，使得an與1之差的絕對(duì)值小于0.01. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱命題和存在性命題 解 (1)是全稱命題，表示為?x∈N，x2≥0. (2)是全稱命題，?x∈{x|x是無(wú)理數(shù)}，x2是無(wú)理數(shù). (3)是存在性命題，?f(x)∈{函數(shù)}，f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù). (4)是存在性命題，?n∈N*，|an－1|＜0.01，其中an＝. 類型二 全稱命題與存在性命題的真假判斷 例2 判斷下列命題的真假，并給出證明： (1)任意兩向量a，b，若ab>0，則a，b的夾角為銳角； (2)?x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P； (4)?x∈N，x2>0. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱命題和存在性命題真假判斷 解 (1)∵ab＝|a||b|cos〈a，b〉>0， ∴cos〈a，b〉>0. 又0≤〈a，b〉≤π， ∴0≤〈a，b〉<，即a，b的夾角為零或銳角. 故它是假命題. (2)∵當(dāng)x2＋y2＝0時(shí)，x＝y(tǒng)＝0， ∴不存在x，y為正實(shí)數(shù)，使x2＋y2＝0，故它是假命題. (3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題. (4)∵0∈N,02＝0， ∴命題“?x∈N，x2>0”是假命題. 反思與感悟 要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”). 跟蹤訓(xùn)練2 有下列四個(gè)命題：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N*，x為29的約數(shù)，其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱命題和存在性命題真假判斷 答案 3 解析?、僦校?x2－3x＋4＝22＋>0， 故①正確； ②中，當(dāng)x＝－1時(shí)，2x＋1<0，故②不正確； ③中，當(dāng)x＝0或1時(shí)，x2≤x，故③正確； ④中，?29∈N*,29為29的約數(shù)，故④正確. ∴真命題的個(gè)數(shù)為3. 類型三 全稱命題、存在性命題的應(yīng)用 例3 ?x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 由全稱命題和存在性命題求參數(shù)范圍 解 已知不等式化為22x－22x＋2－a<0，① 令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈， 則不等式①化為t2－2t＋2－a<0， 即a>t2－2t＋2， 原命題等價(jià)于?t∈，a>t2－2t＋2恒成立， 令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1， 當(dāng)t∈時(shí)，ymax＝10. ∴只需a>10即可. 即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(10，＋∞). 引申探究 本例改為：?x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解 已知不等式化為22x－22x＋2－a<0，① 令t＝2x，∵x∈[－1,2]，∴t∈， 則不等式①化為t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2， 原命題等價(jià)于?t∈，使a>t2－2t＋2成立. 令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1， 當(dāng)t∈時(shí)，ymin＝1. ∴只需a>1即可. ∴a的取值范圍為(1，＋∞). 反思與感悟 有解和恒成立問(wèn)題是存在性命題和全稱命題的應(yīng)用，注意二者的區(qū)別. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若對(duì)?x∈R，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 由全稱命題和存在性命題求參數(shù)范圍 解 (1)∵關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0， 解得a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對(duì)?x∈R，p(x)是真命題， ∴對(duì)?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立， 當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為2x＋1>0不恒成立， 當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則∴a>1， 即a的取值范圍為(1，＋∞). 1.下列命題是“?x∈R，x2>3”的表述方法的有________. ①有一個(gè)x∈R，使得x2>3； ②對(duì)有些x∈R，使得x2>3； ③任選一個(gè)x∈R，使得x2>3； ④至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3. 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別存在性命題 答案?、佗冖? 2.下列命題中全稱命題的個(gè)數(shù)是________. ①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)； ②有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列； ③三角形的內(nèi)角和是180. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱命題 答案 2 解析?、佗凼侨Q命題. 3.下列存在性命題是假命題的是________. ①存在x∈Q，使得2x－x3＝0；②存在x∈R，使得x2＋x＋1＝0；③有的素?cái)?shù)是偶數(shù)；④有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù). 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 存在性命題真假的判斷 答案?、? 解析 對(duì)于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，因此，使x2＋x＋1＝0的實(shí)數(shù)不存在，所以②為假命題. 4.對(duì)任意的x>3，x>a都成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題 題點(diǎn) 恒成立求參數(shù)的范圍 答案 (－∞，3] 解析 只有當(dāng)a≤3時(shí)，對(duì)任意的x>3，x>a都成立. 5.用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題： (1)凸n邊形的外角和等于2π. (2)有一個(gè)有理數(shù)x滿足x2＝3. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 識(shí)別全稱命題和存在性命題 解 (1)?x∈{x|x是凸n邊形}，x的外角和是2π. (2)?x∈Q，x2＝3. 1.判斷命題是全稱命題還是存在性命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷. 2.要確定一個(gè)全稱命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說(shuō)明命題不成立，則該全稱命題是假命題. 3.要確定一個(gè)存在性命題是真命題，舉出一個(gè)例子說(shuō)明該命題成立即可；若經(jīng)過(guò)邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題. 一、填空題 1.下列命題中，是全稱命題且是真命題的是________.(填序號(hào)) ①對(duì)任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0； ②菱形的兩條對(duì)角線相等； ③?x∈R，＝x； ④對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù). 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題 題點(diǎn) 全稱命題真假的判斷 答案?、? 解析?、僦械拿}是全稱命題，但a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故是假命題；②中的命題是全稱命題，但是假命題；③中的命題是全稱命題，但＝|x|，故是假命題；很明顯④中的命題是全稱命題且是真命題. 2.下列命題中，既是真命題又是存在性命題的是________.(填序號(hào)) ①存在一個(gè)角α，使得tan(90－α)＝tanα； ②存在實(shí)數(shù)x，使得sinx＝； ③對(duì)一切α，sin(180－α)＝sinα； ④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. 考點(diǎn) 存在量詞與存在性命題 題點(diǎn) 存在性命題真假的判斷 答案 ① 解析 ∵當(dāng)α＝45時(shí)，tan(90－45)＝tan45， ∴①為真命題，且為存在性命題； ②中對(duì)?x∈R，有sinx≤1<，∴②為假命題； ③④都是全稱命題. 3.下列命題中的假命題是________.(填序號(hào)) ①?x∈R，lgx＝0；②?x∈R，tanx＝1； ③?x∈R，x3>0；④?x∈R,2x>0. 考點(diǎn) 全稱量詞及全稱命題、存在量詞及存在性命題 題點(diǎn) 全稱命題和存在性命題真假判斷 答案?、? 解析 對(duì)于①，當(dāng)x＝1時(shí)，lgx＝0，正確；對(duì)于②，當(dāng)x＝時(shí)，tanx＝1，正確；對(duì)于③，當(dāng)x＜0時(shí)，x3＜0，錯(cuò)誤；對(duì)于④，?x∈R,2x＞0，正確. 4.已知命題：“?x∈{x|－1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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