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課時規(guī)范練30 等比數(shù)列及其前n項和
基礎(chǔ)鞏固組
1.(2018北京師大附中期中)在等比數(shù)列{an}中,a1=3,a1+a2+a3=9,則a4+a5+a6等于( )
A.9 B.72
C.9或72 D.9或-72
2.(2018湖南岳陽一中期末)等比數(shù)列{an}中,anan+1=4n-1,則數(shù)列{an}的公比為( )
A.2或-2 B.4
C.2 D.2
3.(2018黑龍江仿真模擬十一)等比數(shù)列{an}中,an>0,a1+a2=6,a3=8,則a6=( )
A.64 B.128 C.256 D.512
4.在公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=8,則S8等于( )
A.21 B.42 C.135 D.170
5.(2018重慶梁平二調(diào))我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
6.(2018衡水中學仿真,6)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a2a3a4=-a72=-64,則tana4a63π=( )
A.-3 B.3 C.3 D. -33
7.(2018陜西咸陽三模)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a3a11+2a72=4π,則tan(a1a13)的值為 .
8.( 2018全國3,文17)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和,若Sm=63,求m.
9.(2018北京城六區(qū)一模)已知等比數(shù)列{an}滿足以a1=1,a5=a2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)試判斷是否存在正整數(shù)n,使得{an}的前n項和Sn為?若存在,求出n的值;若不存在,說明理由.
綜合提升組
10.(2018全國1,理14)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6= .
11.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數(shù)n,都有Sn=an+n-3成立.
求證:存在實數(shù)λ,使得數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列.
12.已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求{bn}的前n項和.
創(chuàng)新應用組
13.(2018浙江,10)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則( )
A.a1
a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4
14.我們把滿足xn+1=xn-f(xn)f(xn)的數(shù)列{xn}叫做牛頓數(shù)列.已知函數(shù)f(x)=x2-1,數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列,設an=lnxn-1xn+1,已知a1=2,則a3= .
參考答案
課時規(guī)范練30 等比數(shù)列及其前n項和
1.D 設等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a1=3,a1+a2+a3=9,∴3+3q+3q2=9,解得q=1或q=-2,當q=1時,a4+a5+a6=(a1+a2+a3)q3=9.當q=-2時,a4+a5+a6=-72,故選D.
2. C 設等比數(shù)列{an}的公比為q,∵anan+1=4n-1>0,∴an+1an+2=4n且q>0,兩式相除可得an+1an+2anan+1=4n4n-1=4,即q2=4,∴q=2,故選C.
3.A 由題意結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得
a1+a1q=6,a1q2=8,a1>0,解得a1=2,q=2,則a6=a1q5=225=64.
4.D (方法一)S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.
(方法二)q2=a3+a4a1+a2=4,
又q>0,∴q=2,
∴a1(1+q)=a1(1+2)=2,
∴a1=23,
∴S8=23(28-1)2-1=170.
5.B 設塔的頂層共有x盞燈,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列,由x(1-27)1-2=381,可得x=3,故選B.
6.A 依題意,得a2a3a4=a33=-64,所以a3=-4.由a72=64,得a7=-8,或a7=8(由于a7與a3同號,故舍去),所以a4a6=a3a7=32.tana4a63π=tan323π=tan11π-=-tan=-3,故選A.
7.3 ∵{an}是等比數(shù)列,∴a3a11+2a72=a72+2a72=4π,即a72=4π3,∴a1a13=a72=4π3,tan(a1a13)=tan4π3=3.
8.解 (1)設{an}的公比為q,由題設得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解.
若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
綜上,m=6.
9.解 (1)設{an}的公比為q,∵a5=a2,且a5=a2q3,
∴q3=18,得q=12,
∴an=a1qn-1=12n-1(n=1,2,…).
(2)不存在n,使得{an}的前n項和Sn為52,
∵a1=1,q=12,
∴Sn=1-12n1-12=21-12n.
(方法一)令Sn=52,則21-12n=52,得2n=-4,該方程無解,
∴不存在n,使得{an}的前n項和Sn為52.
(方法二)∵對任意n∈N+,有1-12n<1,
∴Sn=21-12n<2,
∴不存在n,使{an}的前n項和Sn為52.
10.-63 ∵Sn=2an+1,①
∴Sn-1=2an-1+1(n≥2).②
①-②,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).
又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{an}是以-1為首項,2為公比的等比數(shù)列,則S6=-1(1-26)1-2=-63.
11.證明 ∵Sn=an+n-3, ①
∴當n=1時,S1=32a1+1-3,所以a1=4.
當n≥2時,Sn-1=32an-1+n-1-3, ②
由①②兩式相減得an=32an-32an-1+1,即an=3an-1-2(n≥2).
變形得an-1=3(an-1-1),而a1-1=3,
∴數(shù)列{an-1}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,
∴存在實數(shù)λ=-1,使得數(shù)列{an-1}為等比數(shù)列.
12.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因為b1=1,b2=,所以a1=2.
所以數(shù)列{an}是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,通項公式為an=3n-1.
(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=bn3,因此{bn}是首項為1,公比為13的等比數(shù)列.
記{bn}的前n項和為Sn,則Sn=1-13n1-13=32-123n-1.
13.B 設等比數(shù)列的公比為q,則a1+a2+a3+a4=a1(1-q4)1-q,a1+a2+a3=a1(1-q3)1-q.
∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),
∴a1+a2+a3=ea1+a2+a3+a4,
即a1(1+q+q2)=ea1(1+q+q2+q3).
又a1>1,∴q<0.
假設1+q+q2>1,即q+q2>0,解得q<-1(q>0舍去).
由a1>1,可知a1(1+q+q2)>1,
∴a1(1+q+q2+q3)>0,即1+q+q2+q3>0,
即(1+q)+q2(1+q)>0,
即(1+q)(1+q2)>0,這與q<-1相矛盾.
∴1+q+q2<1,即-1a3,a2
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