江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 立體幾何 第2講 立體幾何的綜合問(wèn)題學(xué)案.doc

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第2講　立體幾何的綜合問(wèn)題 [考情考向分析]　江蘇高考對(duì)空間幾何體體積的計(jì)算是高頻考點(diǎn)，一般考查幾何體的體積或體積之間的關(guān)系．對(duì)翻折問(wèn)題和探索性問(wèn)題考查較少，但是復(fù)習(xí)時(shí)仍要關(guān)注． 熱點(diǎn)一　空間幾何體的計(jì)算 例1　(1)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為_(kāi)_______． 答案　1 解析　如圖，＝AD ＝2＝1. (2)已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3，圓心角為的扇形，那么這個(gè)圓錐的高為_(kāi)_______． 答案　2 解析　設(shè)圓錐底面半徑為r， 則2πr＝3， ∴r＝1， ∴圓錐的高為＝2. 思維升華　(1)涉及柱、錐及其簡(jiǎn)單組合的計(jì)算問(wèn)題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫(huà)出符合題意的圖形或輔助線(面)，再分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而進(jìn)行解題． (2)求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． 跟蹤演練1　(1)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為_(kāi)_______． 答案　6π 解析　S圓柱＝2π12＋2π12＝6π. (2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為_(kāi)_______ cm3. 答案　3 解析　方法一　長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形． 連結(jié)AC交BD于O， 則AC⊥BD， 又D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，BD，D1D?平面B1D1D， 所以AC⊥平面B1D1D， AO為A到平面B1D1D的垂線段， AO＝AC＝. 又＝D1DD1B1＝23＝3， 所以所求的體積V＝3＝3 cm3. 方法二　 ＝A1B1 ＝332＝3 cm3. 熱點(diǎn)二　空間圖形的翻折問(wèn)題 例2　(2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)一副直角三角板按下面左圖拼接，將△BCD折起，得到三棱錐A－BCD(下面右圖)． (1)若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ACD； (2)若平面ABC⊥平面BCD，求證：平面ABD⊥平面ACD. 證明　(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AC， 又∵EF?平面ACD，AC?平面ACD， ∴EF∥平面ACD. (2)∵平面ABC⊥平面BCD，BC⊥DC， 平面ABC∩平面BCD＝BC，CD?平面BCD， ∴DC⊥平面ABC， 又∵AB?平面ABC，∴DC⊥AB， 又∵AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC?平面ACD，CD?平面ACD， ∴AB⊥平面ACD， 又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD. 思維升華　平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒(méi)有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒(méi)有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類(lèi)問(wèn)題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類(lèi)幾何量的度量值，這是化解翻折問(wèn)題的主要方法． 跟蹤演練2　如圖1，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AD＝AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A－BCF，其中BC＝. (1)證明：DE∥平面BCF； (2)證明：CF⊥平面ABF. 證明　(1)如圖1，在等邊三角形ABC中，AB＝AC. 因?yàn)锳D＝AE，所以＝，所以DE∥BC， 所以DG∥BF.如圖2，DG?平面BCF，BF?平面BCF，所以DG∥平面BCF. 同理可證GE∥平面BCF. 因?yàn)镈G∩GE＝G，DG，GE?平面DEG， 所以平面DEG∥平面BCF， 又因?yàn)镈E?平面DEG，所以DE∥平面BCF. (2)證明　如圖1，在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)， 所以AF⊥FC，所以BF＝FC＝BC＝. 在圖2中，因?yàn)锽C＝， 所以BC2＝BF2＋FC2，所以∠BFC＝90， 所以FC⊥BF，又AF⊥FC， 因?yàn)锽F∩AF＝F，BF，AF?平面ABF， 所以CF⊥平面ABF. 熱點(diǎn)三　探索性問(wèn)題 例3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)． (1)證明：平面ADC1B1⊥平面A1BE； (2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論． (1)證明　因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體， 所以B1C1⊥平面ABB1A1. 因?yàn)锳1B?平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B. 又因?yàn)锳1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，AB1，B1C1?平面ADC1B1，所以A1B⊥平面ADC1B1. 因?yàn)锳1B?平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解　當(dāng)點(diǎn)F為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，可使B1F∥平面A1BE. 證明如下： 設(shè)A1B∩AB1＝O， 連結(jié)EO，EF，B1F. 易知EF∥C1D，且EF＝C1D， B1O∥C1D且B1O＝C1D， 所以EF∥B1O且EF＝B1O， 所以四邊形B1OEF為平行四邊形． 所以B1F∥OE. 又因?yàn)锽1F?平面A1BE，OE?平面A1BE. 所以B1F∥平面A1BE. 思維升華　探索性問(wèn)題，一般把要探索的結(jié)論作為條件，然后根據(jù)條件和假設(shè)進(jìn)行推理論證． 跟蹤演練3　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱BC上一點(diǎn)． (1)若AB＝AC，D為棱BC的中點(diǎn)，求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)若A1B∥平面ADC1，求的值． (1)證明　因?yàn)锳B＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)， 所以AD⊥BC. 因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC. 因?yàn)锳D?平面ABC，所以BB1⊥AD. 因?yàn)锽C∩BB1＝B，BC?平面BCC1B1，BB1?平面BCC1B1， 所以AD⊥平面BCC1B1. 因?yàn)锳D?平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1. (2)解　連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD， 所以O(shè)為A1C的中點(diǎn)． 因?yàn)锳1B∥平面ADC1，A1B?平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD. 因?yàn)镺為A1C的中點(diǎn)，所以D為BC的中點(diǎn)， 所以＝1. 1．(2018江蘇)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______． 答案　 解析　由題意知所給的幾何體是棱長(zhǎng)均為的八面體，它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐＝2()21＝. 2.(2017江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 答案　 解析　設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R， 又V1＝πR22R＝2πR3，V2＝πR3， 所以＝＝. 3．(2018江蘇南京師大附中模擬)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D－A1BC的體積是________． 答案　 解析　 ＝＝＝. 4．(2018全國(guó)Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90.以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA. (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q－ABP的體積． (1)證明　由已知可得，∠BAC＝90，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC?平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解　由已知可得， DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2. 如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC，垂足為E， 則QE∥DC且QE＝DC. 由(1)知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD?平面ACD，所以DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱錐Q－ABP的體積VQ－ABP＝S△ABPQE＝32sin 451＝1. 5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4，BD＝4，AB＝2CD＝8. (1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)， 證明：平面MBD⊥平面PAD； (2)當(dāng)M點(diǎn)位于線段PC什么位置時(shí)，PA∥平面MBD? (1)證明　在△ABD中， ∵AD＝4，BD＝4，AB＝8， ∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD. 又BD?平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD. (2)解　當(dāng)CM＝CP時(shí)，PA∥平面MBD. 證明如下： 連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)N，連結(jié)MN. ∵AB∥DC，AB≠CD， ∴四邊形ABCD是梯形． ∵AB＝2CD，∴CN∶NA＝1∶2. 又∵CM∶MP＝1∶2， ∴CN∶NA＝CM∶MP，∴PA∥MN. ∵M(jìn)N?平面MBD，∴PA∥平面MBD. A組　專(zhuān)題通關(guān) 1．已知一個(gè)圓錐的底面積為2π，側(cè)面積為4π，則該圓錐的體積為_(kāi)_______． 答案　π 解析　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l， 則πr2＝2π，πrl＝4π， 解得r＝，l＝2，故高h(yuǎn)＝， 所以V＝πr2h＝π2＝π. 2．(2018江蘇興化一中模擬)在三棱錐S－ABC中，直線SA⊥平面ABC，SA＝1，△ABC的面積為3，若點(diǎn)G為△ABC的重心，則三棱錐S－AGB的體積為_(kāi)_______． 答案　 解析　VS－AGB＝VS－ABC＝31＝. 3．已知圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為4 cm，母線與軸的夾角為30，上底面半徑是下底面半徑的，則這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積是________ cm2. 答案　24π 解析　如圖是將圓臺(tái)還原為圓錐后的軸截面， 由題意知AC＝4 cm，∠ASO＝30， O1C＝OA， 設(shè)O1C＝r，則OA＝2r， 又＝＝sin 30，∴SC＝2r，SA＝4r， ∴AC＝SA－SC＝2r＝4 cm，∴r＝2 cm. ∴圓臺(tái)的側(cè)面積為S＝π(r＋2r)4＝24π(cm2)． 4．三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則＝________. 答案　 解析　V1＝VD－ABE＝VE－ABD＝VE－ABP＝VA－BEP＝VA－BCP＝VP－ABC＝V2. 5.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝3BC，過(guò)A1，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與平面α的交點(diǎn)為Q，則的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　設(shè)A1Q∩DC＝P，則點(diǎn)P∈AB， 因?yàn)锳D∥BC，且AD＝3BC，所以＝＝， 又BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以＝＝＝， 從而B(niǎo)B1＝3BQ，即＝2. 6．(2018南京金陵中學(xué)模擬)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為36，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______． 答案　9π 解析　正方體的棱長(zhǎng)為， 設(shè)球的半徑為R，則2R＝， ∴R＝， ∴V球＝π3＝9π. 7．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)，沿AE，EF，AF折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，則這個(gè)四面體的體積為_(kāi)_______． 答案　 解析　以AE，EF，AF為折痕， 折疊這個(gè)正方形，使點(diǎn)B，C，D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)四面體，如圖所示． ∵在折疊過(guò)程中，始終有AB⊥BE，AD⊥DF， 即AP⊥PE，AP⊥PF， 且PE∩PF＝P，PE，PF?平面PEF， ∴AP⊥平面EFP. 四面體的底面積為S△EFP＝PEPF， 高為AP＝2. ∴四面體A－EFP的體積 VA－EFP＝112＝. 8．如圖1所示是一種生活中常見(jiàn)的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF，現(xiàn)測(cè)得AB＝20 cm，AD＝15 cm，EF＝30 cm，AB與EF間的距離為25 cm，則幾何體EF－ABCD的體積為_(kāi)_______cm3. 答案　3 500 解析　在EF上，取兩點(diǎn)M，N(圖略)，分別滿(mǎn)足EM＝NF＝5，連結(jié)DM，AM，BN，CN，則該幾何體就被分割成兩個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱，根據(jù)柱、錐體的體積公式以及題中所給的相關(guān)量，可以求得V＝201520＋220155＝3 500. 9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AD＋DC1最小時(shí)，三棱錐D－ABC1的體積為_(kāi)_______． 答案　 解析　將側(cè)面展開(kāi)如圖所示， 所以由平面幾何性質(zhì)可得AD＋DC1≥AC1，當(dāng)且僅當(dāng)A，D，C1三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)． 此時(shí)BD＝1，所以S△ABD＝ABBD＝. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中有BB1⊥CB， 又AB⊥CB，且BB1∩AB＝B，BB1，AB?平面ABD， 所以CB⊥平面ABD， 所以C1B1⊥平面ABD，即C1B1是三棱錐C1－ABD的高， 所以VD－ABC1＝VC1－ABD＝C1B1S△ABD＝2＝. 10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90. (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90，且四棱錐P－ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積． (1)證明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，AP∩PD＝P，AP，PD?平面PAD， 從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解　在平面PAD內(nèi)作PE⊥AD，垂足為E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AD∩AB＝A，AD，AB?平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD. 設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝x，PE＝x. 故四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝ABADPE＝x3. 由題設(shè)得x3＝，故x＝2. 從而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2. 可得四棱錐P－ABCD的側(cè)面積為PAPD＋PAAB＋PDDC＋BC2sin 60＝6＋2. B組　能力提高 11.如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OA⊥OB，且OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為_(kāi)_______． 答案　 解析　由題意可得三棱錐V－AOB的體積為 V三棱錐V－AOB＝S△AOBVO＝. △VAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， 其面積為()2＝， 設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h， 則V三棱錐O－VAB＝S△VABh ＝h＝V三棱錐V－AOB＝， 解得h＝， 即點(diǎn)O到平面VAB的距離是. 12.如圖所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)，PA＝2，AB＝1，則三棱錐C－PED的體積為_(kāi)_______． 答案　 解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱錐P－CED的高，PA＝2. ∵ABCD是正方形，E是AC的中點(diǎn)， ∴△CED是等腰直角三角形． AB＝1，故CE＝ED＝， S△CED＝CEED＝＝. 故VC－PED＝VP－CED＝S△CEDPA ＝2＝. 13．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60，平面ACEF⊥平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點(diǎn)M在線段EF上． (1)求證：BC⊥平面ACEF； (2)當(dāng)FM為何值時(shí)，AM∥平面BDE？證明你的結(jié)論． (1)證明　∵在等腰梯形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60， ∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120， ∴∠DCA＝∠DAC＝30， ∴∠ACB＝90，即BC⊥AC. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD， 平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面ACEF. (2)解　當(dāng)FM＝a時(shí)，AM∥平面BDE. 證明如下： 設(shè)AC∩BD＝N，連結(jié)EN，如圖． ∵∠ACB＝90，∠ABC＝60，BC＝a， ∴AC＝a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2， ∵四邊形ACEF是平行四邊形，∴EF＝AC＝a. ∵AM∥平面BDE，AM?平面ACEF， 平面ACEF∩平面BDE＝NE， ∴AM∥NE，∴四邊形ANEM為平行四邊形， ∴FM∶ME＝1∶2， ∴FM＝EF＝AC＝. ∴當(dāng)FM＝a時(shí)，AM∥平面BDE. 14.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn)． (1)求證：直線EF∥平面A1ACC1； (2)在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明． (1)證明　連結(jié)A1C，A1E. ∵側(cè)面A1ABB1是菱形，E是AB1的中點(diǎn)， ∴E也是A1B的中點(diǎn)， 又F是BC的中點(diǎn)，∴EF∥A1C. ∵A1C?平面A1ACC1，EF?平面A1ACC1， ∴直線EF∥平面A1ACC1. (2)解　當(dāng)＝時(shí)，平面EFG⊥平面ABC， 證明如下：連結(jié)EG，F(xiàn)G. ∵側(cè)面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60， ∴△A1AB是等邊三角形， ∵E是A1B的中點(diǎn)，＝，∴EG⊥AB. ∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，EG?平面A1ABB1， ∴EG⊥平面ABC. 又EG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC.