2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3.3 第1課時(shí) 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案 蘇教版必修5.docx

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第1課時(shí)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.2.會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 思考　對(duì)于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出S64? 答案　比較兩式易知，兩式相減能消去相同項(xiàng)，解出S64，即S64＝＝264－1. 梳理　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 已知量 首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n與公比q 首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an與公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 特別提醒：在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到Sn＝的使用條件為q≠1，而當(dāng)q＝1時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn＝na1. 知識(shí)點(diǎn)二　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用 思考　要求等比數(shù)列前8項(xiàng)的和： (1)若已知其前三項(xiàng)，用哪個(gè)公式比較合適？ (2)若已知a1，a9，q的值．用哪個(gè)公式比較合適？ 答案　(1)用Sn＝.(2)用Sn＝. 梳理　一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意： (1) 一定不要忽略q＝1的情況． (2) 知道首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n，可以用；知道首尾兩項(xiàng)a1，an和q，可以用. (3) 在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)． 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝b，公比為q，則前3項(xiàng)和為.() 2．等比數(shù)列{an}的公比q≠1，則前n項(xiàng)和Sn＝.() 3．首項(xiàng)為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和為Sn＝na.(√) 類(lèi)型一　等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用 命題角度1　前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用 例1　求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 解　(1)因?yàn)閍1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27q8. 又由q<0， 可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 反思與感悟　求等比數(shù)列前n項(xiàng)和，要確定首項(xiàng)、公比或首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比，應(yīng)特別注意q＝1是否成立． 跟蹤訓(xùn)練1　若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案　2　2n＋1－2 解析　設(shè)等比數(shù)列的公比為q， ∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40， ∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20， 解得q＝2，且a1＝2. 因此Sn＝＝2n＋1－2. 命題角度2　通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用 例2　在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 解　由題意，得若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意． 此時(shí)，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式， 得S3＝＝＝6， 解得q＝－2. 此時(shí)，a3＝a1q2＝2(－2)2＝8. 綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. 反思與感悟　(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類(lèi)討論． (2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式．當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn＝比較方便；當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn＝比較方便． 跟蹤訓(xùn)練2　在等比數(shù)列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 解　方法一　由題意知 解得或 從而Sn＝＝(5n－1) 或Sn＝＝，n∈N*. 方法二　若q＝1，則S3∶S2＝3∶2， 而事實(shí)上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以 兩式作比，得＝， 解得或 從而Sn＝＝(5n－1) 或Sn＝＝，n∈N*. 類(lèi)型二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用 例3　小華準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清．商場(chǎng)提出的付款方式為：購(gòu)買(mǎi)2個(gè)月后第1次付款，再過(guò)2個(gè)月后第2次付款，…，購(gòu)買(mǎi)12個(gè)月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算，求小華每期付款金額是多少． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 解　方法一　設(shè)小華每期付款x元，第k個(gè)月末付款后的欠款本利為Ak元，則： A2＝5000(1＋0.008)2－x＝50001.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝50001.0084－1.0082x－x， … A12＝50001.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 解得x＝ ＝≈880.8. 故小華每期付款金額約為880.8元． 方法二　設(shè)小華每期付款x元，到第k個(gè)月時(shí)已付款及利息為Ak元，則： A2＝x； A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)； A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)； … A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A12＝50001.00812， 即50001.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x＝≈880.8. 故小華每期付款金額約為880.8元． 反思與感悟　解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和． 跟蹤訓(xùn)練3　一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%，這個(gè)熱氣球上升的高度能超過(guò)125m嗎？ 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 解　用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度， 由題意，得an＋1＝an， 因此，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝25，公比q＝的等比數(shù)列． 熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ＝＝125<125. 故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過(guò)125m. 1．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項(xiàng)和Sn＝__________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案　 解析　當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝n； 當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝. 2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則＝______. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　 解析　方法一　由等比數(shù)列的定義，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2， 得＝＋1＋q＋q2＝. 方法二　∵S4＝，a2＝a1q， ∴＝＝. 3．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)的和是________． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　211 解析　∵q4＝＝＝4，且q>0， ∴q＝，∴S5＝＝＝211. 4．某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 答案　11a(1.15－1) 解析　去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a， ∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)． 1．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”． 2．前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類(lèi)討論，即當(dāng)q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況． 3．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和． 一、填空題 1．設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝____________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案　 解析　Sn＝＝. 2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　84 解析　由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3， 得q2＋q－6＝0. ∵q>0， ∴q＝2， ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2S3 ＝2221＝84. 3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案?。?1 解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0， ∴q＝－2，則＝＝－11. 4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1， 即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝. 5．設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則a1＝________. 答案　－1 解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，將q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3a1＋2，解得a1＝－1. 6．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項(xiàng)和為_(kāi)_________． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案　3(1－3－10) 解析　由3an＋1＋an＝0，得＝－， 故數(shù)列{an}是公比q＝－的等比數(shù)列． 又a2＝－，可得a1＝4. 所以S10＝＝3(1－3－10)． 7．一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和是________米．(結(jié)果保留到個(gè)位) 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用題 題點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用題 答案　300 解析　小球10次著地共經(jīng)過(guò)的路程為100＋100＋50＋…＋1008＝299≈300(米)． 8．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　3 解析　∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，∴q3＝3，∴a4＝a1q3＝13＝3. 9．?dāng)?shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　2n－1 解析　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1， 即 各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2， 故an＝a1＋2n－2＝2n－1. 10．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　 解析　由已知4S2＝S1＋3S3， 即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)． ∴a2＝3a3， ∴{an}的公比q＝＝. 11．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，則數(shù)列的公比q＝________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量計(jì)算問(wèn)題 答案　－ 解析　當(dāng)q＝1時(shí)， Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9，不合題意； 當(dāng)q≠1時(shí)，＋＝2， 得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0， 解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)， ∴q＝－. 二、解答題 12．求和：121＋222＋323＋…＋n2n，n∈N*. 考點(diǎn)　錯(cuò)位相減法求和 題點(diǎn)　錯(cuò)位相減法求和 解　設(shè)Sn＝121＋222＋323＋…＋n2n， 則2Sn＝122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1， ∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1 ＝－n2n＋1＝2n＋1－2－n2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 13．已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求{bn}的前n項(xiàng)和． 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2. 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則 Sn＝＝－. 三、探究與拓展 14．在等比數(shù)列{an}中，對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝____________. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 答案　 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1. ∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，∴{an}的公比為2. ∴{a}的公比為4，首項(xiàng)為a＝1. ∴a＋a＋…＋a＝＝. 15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2＝6，S4＝30，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足bnbn＋1＝an，b1＝1. (1)求an，bn； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 考點(diǎn)　等比數(shù)列前n項(xiàng)和 題點(diǎn)　求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 解　(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意可得a1＋a1q＝6，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝30，解得a1＝q＝2(負(fù)值舍去)，可得an＝a1qn－1＝2n，由bnbn＋1＝an＝2n，b1＝1，可得b2＝2，即有bn＋1bn＋2＝an＋1＝2n＋1，可得＝2，可得數(shù)列{bn}中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別為公比為2的等比數(shù)列，即有bn＝ (2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T(mén)n＝＋＝＋＝3()n－3；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，前n項(xiàng)和為T(mén)n＝Tn－1＋＝3()n－1－3＋＝()n＋3－3.綜上可得，Tn＝