2018-2019學年高中數學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 獨立性檢驗學案 蘇教版選修1 -2.docx

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1.1　獨立性檢驗 學習目標　1.了解22列聯(lián)表的意義.2.了解統(tǒng)計量χ2的意義.3.通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法． 知識點一　22列聯(lián)表 思考　山東省教育廳大力推行素質教育，增加了高中生的課外活動時間，某校調查了學生的課外活動方式，結果整理成下表： 體育 文娛 合計 男生 210 230 440 女生 60 290 350 合計 270 520 790 如何判定“喜歡體育還是文娛與性別是否有聯(lián)系”？ 答案　可通過表格與圖形進行直觀分析，也可通過統(tǒng)計分析定量判斷． 梳理　(1)22列聯(lián)表的定義 對于兩個研究對象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B；Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2.我們得到如下列聯(lián)表所示的抽樣數據： Ⅱ 類1 類2 合計 Ⅰ 類A a b a＋b 類B c d c＋d 合計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2)χ2統(tǒng)計量的求法 公式χ2＝. 知識點二　獨立性檢驗 獨立性檢驗的概念 用χ2統(tǒng)計量研究兩變量是否有關的方法稱為獨立性檢驗． 知識點三　獨立性檢驗的步驟 1．獨立性檢驗的步驟 要判斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”，可按下面的步驟進行： (1)提出假設H0：Ⅰ與Ⅱ沒有關系； (2)根據22列聯(lián)表及χ2公式，計算χ2的值； (3)查對臨界值，作出判斷． 其中臨界值如表所示： P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 表示在H0成立的情況下，事件“χ2≥x0”發(fā)生的概率． 2．推斷依據 (1)若χ2＞10.828，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”； (2)若χ2＞6.635，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”； (3)若χ2＞2.706，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”； (4)若χ2≤2.706，則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能作出結論“H0成立”，即不能認為Ⅰ與Ⅱ沒有關系． 1．列聯(lián)表中的數據是兩個分類變量的頻數．(　√　) 2．事件A與B的獨立性檢驗無關，即兩個事件互不影響．(　　) 3．χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的統(tǒng)計量．(　√　) 類型一　22列聯(lián)表 例1　在一項有關醫(yī)療保健的社會調查中，發(fā)現(xiàn)調查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的人數列聯(lián)表． 考點　 題點　 解　作列聯(lián)表如下： 喜歡甜食 不喜歡甜食 合計 男 117 413 530 女 492 178 670 合計 609 591 1 200 反思與感悟　分清類別是作列聯(lián)表的關鍵步驟．表中排成兩行兩列的數據是調查統(tǒng)計得來的結果． 跟蹤訓練1　(1)下面是22列聯(lián)表： y1 y2 合計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合計 b 46 100 則表中a，b的值分別為____________________． 答案　52　54 解析　∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54. (2)某學校對高三學生作一項調查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內向的426名學生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學生中有213名在考前心情緊張．作出22列聯(lián)表． 考點　 題點　 解　作列聯(lián)表如下： 性格內向 性格外向 合計 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 合計 426 594 1020 類型二　由χ2進行獨立性檢驗 例2　對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行三年的跟蹤研究，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表所示.  又發(fā)作過心臟病 未發(fā)作過心臟病 合計 心臟搭橋手術 39 157 196 血管清障手術 29 167 196 合計 68 324 392 試根據上述數據比較這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　假設病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術還是血管清障手術沒有關系，由表中數據得a＝39，b＝157，c＝29，d＝167，a＋b＝196，c＋d＝196，a＋c＝68，b＋d＝324，n＝392， 由公式得χ2＝≈1.779. 因為χ2≈1.779<2.706，所以不能得出病人又發(fā)作過心臟病與做過心臟搭橋手術還是血管清障手術有關系的結論，即這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響沒有差別． 反思與感悟　獨立性檢驗的關注點：在22列聯(lián)表中，如果兩個分類變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，關系越弱；|ad－bc|越大，關系越強． 跟蹤訓練2　某省進行高中新課程改革已經四年了，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某一教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調查，共調查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人． (1)根據以上數據建立一個22列聯(lián)表； (2)判斷是否有99%的把握說明對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有關系． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　(1)22列聯(lián)表如下所示： 贊同 不贊同 合計 老教師 10 10 20 青年教師 24 6 30 合計 34 16 50 (2)假設“對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關”， 由公式得χ2＝≈4.963<6.635， 所以沒有99%的把握認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡有關．  1．在一項打鼾與患心臟病的調查中，共調查了1671人，經過計算χ2＝27.63，根據這一數據分析，我們有理由認為打鼾與患心臟病是________的．(填有關或無關) 考點　 題點　 答案　有關 2．為了考察長頭發(fā)與女性頭暈是否有關系，隨機抽查了301名女性，得到如下所示的列聯(lián)表，試根據表格中已有數據填空. 經常頭暈 很少頭暈 合計 長發(fā) 35 ① 121 短發(fā) 37 143 ② 合計 72 ③ ④ 則空格中的數據分別為：①________；②________；③________；④________. 考點　 題點　 答案　86　180　229　301 3．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是________．(填序號) ①若χ2＞6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺?。? ②從獨立性檢驗可知，有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺??； ③若從χ2與臨界值的比較中得出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤． 考點　 題點　 答案　③ 解析　對于①，99%的把握是通過大量的試驗得出的結論，這100個吸煙的人中可能全患肺病也可能都不患，是隨機的，所以①錯；對于②，某人吸煙只能說其患病的可能性較大，并不一定患??；③的解釋是正確的． 4．某科研機構為了研究中年人禿發(fā)與患心臟病是否有關，隨機調查了一些中年人的情況，具體數據如表： 患心臟病 無心臟病 合計 禿發(fā) 20 300 320 不禿發(fā) 5 450 455 合計 25 750 775 根據表中數據得到χ2＝≈15.968，因為χ2>6.635，則斷定禿發(fā)與患心臟病有關系，那么這種判斷出錯的可能性為________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　0.01 解析　因為χ2>6.635，所以有99%的把握說禿發(fā)與患心臟病有關，故這種判斷出錯的可能性有1－0.99＝0.01. 5．根據下表計算： 不看電視 看電視 合計 男 37 85 122 女 35 143 178 合計 72 228 300 χ2≈________.(保留3位小數) 考點　 題點　 答案　4.514 解析　χ2＝≈4.514. 1．22列聯(lián)表 22列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小差異說明這兩個變量之間是否有相關關系． 2．對獨立性檢驗思想的理解 獨立性檢驗的基本思想類似于數學中的反證法．先假設“兩個分類變量沒有關系”成立，計算χ2統(tǒng)計量的值，如果χ2的值很大，說明假設不合理．χ2越大，兩個分類變量有關系的可能性越大．  一、填空題 1．在對某小學的學生進行吃零食的調查中，得到如下表數據： 吃零食 不吃零食 合計 男學生 27 34 61 女學生 12 29 41 合計 39 63 102 根據上述數據分析，我們得出的χ2約為________．(保留3位小數) 考點　 題點　 答案　2.334 解析　由公式可計算得χ2＝≈2.334. 2．有兩個分類變量X，Y，其22列聯(lián)表如下表所示， Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a,15－a均為大于5的整數，若在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為X，Y有關，則a的值為________． 考點　 題點　 答案　8或9 解析　根據公式，得χ2＝ ＝＞3.841，根據a＞5且15－a＞5， a∈Z，求得當a＝8或9時滿足題意． 3．利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量X和Y是否有關系時，通過查閱下表來確定“X與Y有關系”的可信程度．如果χ2≥5.024，那么有把握認為“X與Y有關系”的百分比約為________. P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　97.5% 解析　x0＝5.024，對應的0.025是“X和Y有關系”不合理的程度，因此兩個分類變量有關系的可信程度約為97.5%. 4．在一個22列聯(lián)表中，由其數據計算得χ2＝6.888，則其兩個變量間有關系的可能性為________． 考點　 題點　 答案　99% 解析　由于χ2＝6.888＞6.635， 所以其兩個變量間有關系的可能性為99%. 5．在獨立性檢驗中，兩個分類變量“X與Y有關系”的可信度為99%，則χ2統(tǒng)計量的取值范圍是________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　[6.635,7.879) 6．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 合計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 合計 60 50 110 由χ2＝，算得χ2＝≈7.8. 附表： P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結論是________．(填序號) ①有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”； ②有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”； ③在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”； ④在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案?、? 解析　由7.8>6.635知，有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”． 7．某班主任對全班50名學生進行了作業(yè)量的調查，數據如下表： 認為作業(yè)量大 認為作業(yè)量不大 合計 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合計 26 24 50 則推斷“學生的性別與認為作業(yè)量大有關”這種事件犯錯誤的概率不超過________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　0.025 解析　由公式得χ2＝≈5.059>5.024. ∵P(χ2≥5.024)＝0.025， ∴犯錯誤的概率不超過0.025. 8．假設有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其中22列聯(lián)表為： y1 y2 合計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 對同一樣本，以下數據能說明X與Y有關的可能性最大的一組是________．(填序號) ①a＝5，b＝4，c＝3，d＝2； ②a＝5，b＝3，c＝4，d＝2； ③a＝2，b＝3，c＝4，d＝5； ④a＝3，b＝2，c＝4，d＝5. 答案?、? 解析　對于同一樣本，|ad－bc|越小，說明x與y相關性越弱，而|ad－bc|越大，說明x與y相關性越強，通過計算知，對于①②③都有|ad－bc|＝|10－12|＝2.對于④，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7>2. 9．為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調查后得下表中的數據： 無效 有效 合計 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合計 21 79 100 設H0：服用此藥的效果與患者的性別無關，則χ2≈___________(小數點后保留3位有效數字)，從而得出結論；服用此藥的效果與患者的性別有關，這種判斷出錯的可能性為________． 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　4.882　5% 解析　由公式計算得χ2≈4.882， ∵χ2>3.841，∴我們有95%的把握認為服用此藥的效果與患者的性別有關，從而有5%的可能性出錯． 10．某班主任對全班30名男生進行了作業(yè)量多少的調查，數據如下表： 認為作業(yè)多 認為作業(yè)不多 合計 喜歡玩電腦游戲 12 8 20 不喜歡玩電腦游戲 2 8 10 合計 14 16 30 該班主任據此推斷男生認為作業(yè)多與喜歡玩電腦游戲有關系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________． 考點　 題點　 答案　0.050 解析　χ2＝≈4.286＞3.841， ∴這種推斷犯錯誤的概率不超過0.050. 11．某工廠為了調查工人文化程度與月收入的關系，隨機抽取了部分工人，得到如下列聯(lián)表： 月收入2000元以下 月收入2000元以上 合計 高中文化以上 10 45 55 高中文化及以下 20 30 50 合計 30 75 105 由上表數據計算得χ2＝≈6.109，估計有________的把握認為“文化程度與月收入有關系”． 考點　 題點　 答案　97.5% 解析　∵χ2＝6.109＞5.024， ∴有97.5%的把握認為“文化程度與月收入有關系”． 12．在22列聯(lián)表中，若每個數據變?yōu)樵瓉淼?倍，則χ2的值變?yōu)樵瓉淼腳_______倍． 考點　 題點　 答案　2 解析　由公式χ2＝中所有值變?yōu)樵瓉淼?倍， 得(χ2)′＝＝2χ2，故χ2也變?yōu)樵瓉淼?倍． 二、解答題 13．某企業(yè)有兩個分廠生產某種零件，按規(guī)定內徑尺寸(單位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質品．從兩個分廠生產的零件中各抽出了500件，量其內徑尺寸，得結果如下表： 甲廠： 分組 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14] 頻數 12 63 86 182 92 61 4 乙廠： 分組 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14] 頻數 29 71 85 159 76 62 18 (1)試分別估計兩個分廠生產的零件的優(yōu)質品率； (2)由以上統(tǒng)計數據填寫下面的22列聯(lián)表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異”？ 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質品 非優(yōu)質品 合計 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 解　(1)甲廠抽查的產品中有360件優(yōu)質品，從而甲廠生產的零件的優(yōu)質品率估計為＝72%； 乙廠抽查的產品中有320件優(yōu)質品，從而乙廠生產的零件的優(yōu)質品率估計為＝64%. (2)22列聯(lián)表如下： 甲廠 乙廠 合計 優(yōu)質品 360 320 680 非優(yōu)質品 140 180 320 合計 500 500 1000 χ2＝≈7.353>6.635， 所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“兩個分廠生產的零件的質量有差異．” 三、探究與拓展 14．俄羅斯世界杯期間，某一電視臺對年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊進行調查，對高于40歲的調查了50人，不高于40歲的調查了50人，所得數據制成如下列聯(lián)表： 不喜歡西班牙隊 喜歡西班牙隊 合計 高于40歲 p q 50 不高于40歲 15 35 50 合計 a b 100 若工作人員從所有統(tǒng)計結果中任取一個，取到喜歡西班牙隊的人的概率為，則有超過________的把握認為年齡與西班牙隊的被喜歡程度有關． 附：χ2＝. P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 考點　獨立性檢驗及其基本思想 題點　獨立性檢驗的方法 答案　95% 解析　設“從所有人中任意抽取一人，取到喜歡西班牙隊的人”為事件A， 由已知得P(A)＝＝，解得q＝25. 所以p＝25，a＝40，b＝60. χ2＝＝≈4.167>3.841. 故有超過95%的把握認為年齡與西班牙隊的被喜歡程度有關． 15．某市調研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 10 乙班 30 合計 110 (1)請完成上面的列聯(lián)表； (2)根據列聯(lián)表的數據，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”； (3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到9號或10號的概率． 考點　 題點　 解　(1)由題意知，優(yōu)秀的概率P＝，故優(yōu)秀人數為30，故22列聯(lián)表如下： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 合計 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合計 30 80 110 (2)根據列聯(lián)表中的數據，得到 χ2＝≈7.486＜10.828. 因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”． (3)設“抽到9或10號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數為(x，y)，所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1, 3)，…，(6,6)，共36個． 事件A包含的基本事件有(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，(5,5)，(4,6)，(6,4)，共7個． 所以P(A)＝，即抽到9號或10號的概率為.