2019屆高考數(shù)學總復習 模塊四 立體幾何 第12講 空間幾何體、空間中的位置關系學案 文.docx

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第12講　空間幾何體、空間中的位置關系 1.(1)[2017全國卷Ⅱ] 如圖M4-12-1,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為 (　　) 圖M4-12-1 A.90π　　　　　B.63π　　　　　C.42π　　　　　D.36π (2)[2016全國卷Ⅰ] 如圖M4-12-2,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是 (　　) 圖M4-12-2 A.17π B.18π C.20π D.28π (3)[2014全國卷Ⅰ] 如圖M4-12-3,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體是 (　　) 圖M4-12-3 A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱 (4)[2013全國卷Ⅱ] 一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為 (　　) 圖M4-12-4 [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　三視圖問題 (1)根據(jù)三視圖求幾何體體積的解題策略: 關鍵一:根據(jù)三視圖確定幾何體的結構特征,作出其直觀圖,由三視圖中的數(shù)據(jù)確定幾何體的數(shù)字特征; 關鍵二:根據(jù)組合體的結構特征,利用分割法、補形法將其轉化為規(guī)則的幾何體,再求解. (2)根據(jù)幾何體的三視圖求表面積的解題策略: 關鍵一:根據(jù)三視圖確定幾何體的結構特征,作出其直觀圖,由三視圖中的數(shù)據(jù)確定幾何體的數(shù)字特征; 關鍵二:求組合體的表面積時,需注意組合體的銜接部分的面積; 關鍵三:要分清側面積和表面積. (3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀的解題策略: 關鍵一:熟悉柱、錐、臺、球的三視圖; 關鍵二:明確三視圖的形成原理,遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則,并結合空間想象將三視圖還原為直觀圖. (4)由幾何體的直觀圖求三視圖的解題策略:關鍵一:注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向; 關鍵二:注意看到的部分是實線,看不到的部分是虛線. 2.(1)[2014全國卷Ⅱ] 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為3,D為BC中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為 (　　) A.3 B.32 C.1 D.32 命題角度　求三棱錐的體積 對于三棱錐常用等體積轉化法求體積: 關鍵一:三棱錐的每個面都可以作為底面,尋找滿足公式的底面和高; 關鍵二:利用三棱錐體積公式求解. (2)[2015全國卷Ⅰ] 《九章算術》 是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖M4-12-5,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 (　　) 圖M4-12-5 A.14斛 B.22斛 C.36斛　　　 D.66斛 [試做] ________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 3.(1)[2017全國卷Ⅱ] 長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為　　　　. (2)[2013全國卷Ⅰ] 已知H是球O的直徑AB上一點,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為　　　　. [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　以幾何體為背景的問題 (1)解決以幾何體為背景的問題: 關鍵一:將背景問題轉化為立體幾何的問題; 關鍵二:要熟記柱、錐、臺、球的體積公式. (2)解決長方體、正方體外接球的問題: 關鍵一:球的直徑為長方體、正方體的體對角線; 關鍵二:利用球的表面積公式、體積公式求解. (3)解決球的表面積或體積問題: 關鍵一:R2=h2+r2(R為球的半徑,r為平面α截球O所得圓面的半徑,h為球心O到截面的距離); 關鍵二:利用球的表面積或體積公式求解. 4.[2018全國卷Ⅱ] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為 (　　) A.22 B.32 C.52 D.72 [試做]________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 命題角度　解決異面直線所成角問題 關鍵一:先通過作圖(三角形中位線、平行四邊形補形)來構造平行線,再通過解三角形求解; 關鍵二:補形法(補成長方體、正方體).當異面直線所成角為π2時,兩異面直線垂直. 小題1空間幾何體的三視圖與直觀圖 1(1)如圖M4-12-6所示, 圖M4-12-6 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為棱CD,CC1,A1B1的中點,用過點E,F,G的平面截正方體,則位于截面以下部分的幾何體的側(左)視圖為 (　　) 圖M4-12-7 (2)已知某幾何體的三視圖如圖M4-12-8所示,則該幾何體的最大棱長為 (　　) 圖M4-12-8　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.6 C.7 D.22 [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點撥】 識別三視圖應注意以下幾方面:①看線型,是虛線還是實線,是線段還是曲線,可確定此幾何體是簡單多面體還是旋轉體等;②分部分,想整體,看僅僅是簡單幾何體還是組合體;③對比一些熟悉的三視圖模型分析,如正方體、圓錐、三棱錐等的三視圖. 【自我檢測】 1.某幾何體的正視圖與俯視圖如圖M4-12-9所示,則其側視圖可以為 (　　) 圖M4-12-9　　　　　　　　圖M4-12-10 2.某幾何體的三視圖如圖M4-12-11所示,則此幾何體的各面中面積最大的面的面積為 (　　) 圖M4-12-11 A.22 B.23 C.32 D.2 3.已知一個棱長為2的正方體被一個平面截后所得幾何體的三視圖如圖M4-12-12所示,則該截面的面積為 (　　) 圖M4-12-12 A.92 B.4 C.3 D.3102 4.[2018全國卷Ⅰ] 某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖M4-12-13所示.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為 (　　) 圖M4-12-13 A.217 B.25 C.3 D.2 小題2空間幾何體的表面積與體積 2(1)某幾何體的三視圖 圖M4-12-14 如圖M4-12-14所示,且圖中的曲線都是圓弧,則該幾何體的體積為 (　　) A.4π3 　　　 B.5π3 C.7π6 　　　 D.11π6 (2)在棱長為2的正四面體P-ABC中,M,N分別為PA,BC的中點,點D是線段PN上一點,且PD=2DN,則三棱錐D-MBC的體積為　　　　. [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點撥】 高考中求幾何體的體積和表面積的解題策略: (1)求幾何體的表面積時應注意以下幾點:①多面體的表面積是各個面的面積之和,不要忘了底面積;②組合體的表面積注意銜接部分的處理;③旋轉體的表面積問題可轉化為其側面展開圖去求解. (2)求幾何體的體積常用的方法:①直接法,利用公式直接求解;②體積轉換法,根據(jù)具體情況,變換定點和底面,轉化為較容易求解的形式,注意靈活選擇;③分割與補全法,把不規(guī)則的幾何體分割為幾個規(guī)則的幾何體,或者補全為一個規(guī)則的幾何體,再求解. 【自我檢測】 1.[2018全國卷Ⅰ] 已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為 (　　) A.122π B.12π C.82π D.10π 2.某幾何體的三視圖如圖M4-12-15所示,則該幾何體的體積為 (　　) 圖M4-12-15 A.18 B.24 C.32 D.36 3.在如圖M4-12-16所示的幾何體中,ABCD是矩形,ABFE和CDEF都是等腰梯形,且AD⊥平面CDEF,若AB=20,AD=15,EF=30,AB與EF間的距離為25,則幾何體EF-ABCD的體積為　　　　. 圖M4-12-16 小題3多面體與球 3(1)[2018全國卷Ⅲ] 設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 (　　) A.123 B.183 C.243 D.543 (2)在三棱錐P-ABC中,∠BAC=90,AB=AC=2,BC的中點為M,且PM=2,當該三棱錐體積最大時,它的內切球半徑為　　　　. [聽課筆記]____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點撥】 空間幾何體與球“接”“切”問題的注意點: (1)多面體外接球問題,關鍵是確定球心位置,方法是先選擇多面體中的其中一面,確定此面多邊形外接圓的圓心,再過此圓心作垂直此面的垂線,則球心一定在此垂線上,最后根據(jù)其他頂點情況確定球心的準確位置.對于特殊的多面體還可以通過補成正方體或長方體的方法找到球心位置. (2)求解多面體的內切球的問題,一般是將多面體分割為以球心為頂點,多面體的各面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求球的半徑. 【自我檢測】 1.某幾何體的三視圖如圖M4-12-17所示,則該幾何體的外接球的表面積為 (　　) 圖M4-12-17 A.3π B.43π C.12π D.48π 2.在三棱錐P-ABC中,AC⊥BC,PA⊥PB,AB=4,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為 (　　) A.4π B.8π C.12π D.16π 3.若一個正三棱錐的所有棱長均為2,則它的外接球的體積為　　　　. 4.在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC=4,BC=3,AB=5,PA=3,則該三棱錐的內切球的表面積為　　　　. 小題4空間線面位置關系的判斷 4(1)若α,β是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,則下列說法中錯誤的是 (　　) A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β B.如果m?α,α∥β,那么m∥β C.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β (2)[2018全國卷Ⅰ] 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為 (　　) A.8 B.62 C.82 D.83 [聽課筆記] ____________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【考場點撥】 高考中判斷空間線面位置關系的注意點: (1)對于空間線面位置關系的判斷,常用的方法有:①根據(jù)定理逐項判斷,可以舉反例,也可以證明,要結合題目靈活選擇;②必要時可以借助空間幾何體模型,如借助長方體、正四面體中的線面位置關系來判斷. (2)求角時,一般先利用平行關系找到這個角,然后把這個角放到三角形中去求解. (3)位置關系的判斷常用反例法去排除選項. 【自我檢測】 1.已知直線l,m與平面α,β,且l?α,m?β,則下列說法中正確的是 (　　) A.若l∥m,則必有α∥β B.若l⊥m,則必有α⊥β C.若l⊥β,則必有α⊥β D.若α⊥β,則必有m⊥α 2.在如圖M4-12-18所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出下列幾種說法,其中正確的是 (　　) 圖M4-12-18 A.A1C1與B1C成60角 B.D1C1⊥AB C.AC1與DC成45角 D.A1C1⊥AD 3.設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列說法中正確的是 (　　) A.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α B.若m?α,n?β,α⊥β,則m⊥n C.“直線m與平面α內的無數(shù)條直線都垂直”是“直線m與平面α垂直”的充分不必要條件 D.若m⊥n,n⊥β,m⊥α,則α⊥β 全品高考第二輪專題 | 數(shù)學(文科) 模塊四　立體幾何 第12講　空間幾何體、空間中的位置關系 典型真題研析 1.(1)B　(2)A　(3)B　(4)A　[解析](1)由三視圖可知,此幾何體應是一個圓柱切去一部分后所得,如圖所示.通過切割及補形知,此幾何體的體積等同于底面半徑為3,高為7的圓柱,所以所求體積V=π327=63π. (2)該幾何體為一個球去掉八分之一,設球的半徑為r,則7843πr3=28π3,解得r=2,故該幾何體的表面積為784π22+314π22=17π. (3)從俯視圖為矩形可以看出,此幾何體不可能是三棱錐或四棱錐,其直觀圖如圖,是一個三棱柱. (4)在空間直角坐標系O-xyz中畫出三棱錐,由已知可知三棱錐O-ABC為題中所描敘的四面體,而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO,故選A. 2.(1)C　(2)B　[解析](1)因為D為BC的中點,所以AD⊥BC,故AD⊥平面BCC1B1,且AD=3,所以V三棱錐A-B1DC1=13SB1DC1AD=1312B1C1BB1AD=1312233=1. (2)米堆的體積即為四分之一的圓錐的體積,設圓錐底面半徑為r,則142πr=8,得r=16π,所以米堆的體積為1314πr25≈3209(立方尺),32091.62≈22(斛). 3.(1)14π　(2)9π2　[解析](1)長方體的體對角線長l=32+22+12=14,而長方體的外接球的直徑恰為長方體的體對角線長,所以球O的直徑2R=l=14,所以球O的表面積S=4πR2=14π. (2)截面為圓,由已知得該圓的半徑為1.設球的半徑為r,則AH=23r,所以OH=13r, 所以13r2+12=r2,r2=98,所以球的表面積是4πr2=9π2. 4.C　[解析] 如圖,由AB∥CD,可知∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角.設正方體的棱長為2,連接BE,則在Rt△ABE中,AB=2,BE=BC2+CE2=22+12=5,tan∠BAE=BEAB=52,故選C. 考點考法探究 小題1 例1　(1)C　(2)B　[解析](1)取AA1的中點H,連接GH,則GH為過點E,F,G的平面與正方體的面A1B1BA的交線.延長GH,交BA的延長線于點P,連接EP,交AD于點N,則NE為過點E,F,G的平面與正方體的面ABCD的交線.連接NH,則NH為過點E,F,G的平面與正方體的面AA1D1D的交線.同理,連接EF并延長,交D1C1的延長線于點Q,連接GQ,交B1C1于點M,連接FM,則EF,FM,GM分別為過點E,F,G的平面與正方體的面DCC1D1,面BCC1B1,面A1B1C1D1的交線,所以過點E,F,G的平面截正方體所得的截面為圖中的六邊形EFMGHN,故可得位于截面以下部分的幾何體的側(左)視圖為選項C中的圖形. (2)根據(jù)三視圖作出原幾何體(四棱錐P-ABCD)的直觀圖如圖所示,可得PA=AB=AD=1,CD=2,PB=PD=BC=2,PC=6,故該幾何體的最大棱長為6. 【自我檢測】 1.B　[解析] 由俯視圖與正視圖可知該幾何體可以是一個三棱柱挖去一個圓柱,因此其側視圖為矩形內有一條虛線,虛線在矩形的左側,只有選項B符合題意,故選B. 2.B　[解析] 由三視圖可得,該幾何體為如圖所示的三棱錐A1-BCD,其中幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體. 可得S△BCD=1222=2,SA1BC=SA1DC=12222=22,SA1DB=1222(22)2-(2)2=23,故此幾何體的各面中面積最大的面的面積為23.故選B. 3.A　[解析] 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AD的中點,則題中三視圖所對應的幾何體是正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱臺AEF-A1B1D1后剩余的部分,則截面為等腰梯形FEB1D1,且FE=2,B1D1=22,腰EB1=1+4=5,則等腰梯形的高為(5)2-(22)2=322,則截面的面積為(2+22)3222=92. 4.B　[解析] 由三視圖可知圓柱表面上點M,N的位置如圖①,將圓柱的側面展開得到圖②.在圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑即為側面展開圖中的線段MN, MN=22+1642=25,故選B. 小題2 例2　(1)B　(2)29　[解析](1)由三視圖可知,該幾何體是由半個圓柱與18個球組成的組合體,如圖所示. 其中,圓柱的底面半徑是1,高是3,球的半徑是1,∴該幾何體的體積V=12π123+184π313=5π3,故選B. (2)由題得VD-MBC=VM-BDC.連接AD,因為三棱錐P-ABC是正四面體,N為BC的中點, PD=2DN,所以AD為三棱錐A-PBC的高,且AD=22-(233)2=263.又M為AP的中點,所以三棱錐M-BDC的高為12263=63.又因為S△BCD=133422=33, 所以VD-MBC=VM-BDC=133363=29. 【自我檢測】 1.B　[解析] 因為圓柱的軸截面是正方形,且面積為8,所以圓柱的高為22,底面直徑為22,所以圓柱的表面積S=2π222+2π(2)2=12π.故選B. 2.B　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是由三棱柱削去一個同底的三棱錐后得到的,如圖,三棱柱的高為5,削去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面是直角邊長分別為3和4的直角三角形,所以該幾何體的體積為12345-1312343=30-6=24.故選B. 3.3500　[解析] 在EF上取兩點M,N,使得EM=NF=5,連接DM,AM,BN,CN,則該幾何體被分割成兩個三棱錐和一個三棱柱,根據(jù)三棱柱、三棱錐的體積公式以及題中所給的相關量,可以求得幾何體EF-ABCD的體積V=12201520+2131220155=3500. 小題3 例3　(1)B　(2)22-6　[解析](1)由題易知當點D到平面ABC的距離最大時,三棱錐D-ABC的體積最大.∵S△ABC=34AB2=93,∴AB=6. 設△ABC的中心為M,由等邊三角形的性質得,AM=BM=CM=23.設球心為O,則OA=OB=OC=4,∴OM=OB2-BM2=2,∴點D到平面ABC的距離的最大值為OM+4=6.故三棱錐D-ABC體積的最大值為13936=183. (2)如圖,當PM⊥平面ABC時,三棱錐P-ABC的體積取得最大值,連接AM,則AM=2,從而可得PB=PA=PC=2,則S△PBC=12222=2,S△ABC=1222=2,S△PBA=S△PAC=3422=3,設三棱錐P-ABC的內切球的半徑為r,則13(2+2+3+3)r=1322,解得r=22-6. 【自我檢測】 1.C　[解析] 由三視圖可知,該幾何體是高為2的三棱錐,且其底面是腰長為2的等腰直角三角形,故其外接球的直徑等于棱長為2的正方體的體對角線的長,設其外接球的半徑為R,則(2R)2=22+22+22=12,所以其外接球的表面積為4πR2=12π.故選C. 2.D　 [解析] 由題意可知,△ACB與△APB均為直角三角形,設點D為AB的中點,連接PD,CD,如圖所示,則DA=DB=DC=DP=12AB=2,∴點D為三棱錐P-ABC的外接球的球心,且三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=2,∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積S=4πR2=16π.故選D. 3.3π2　[解析] 如圖,構造正方體ANDM-FBEC.因為三棱錐A-BCD的所有棱長均為2,所以正方體ANDM-FBEC的棱長為1,所以該正方體的外接球的直徑為3,從而可知三棱錐A-BCD的外接球的半徑為32,所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為43π323=3π2. 4.16π81　[解析] 由題意得,三棱錐P-ABC的表面積S=1243+1243+1253+1253=27,三棱錐P-ABC的體積V=1312433=6.設三棱錐P-ABC的內切球的半徑為r,則V=Sr,即Sr=27r=6,解得r=29,所以三棱錐P-ABC的內切球的表面積為4πr2=4π292=16π81. 小題4 例4　(1)D　(2)C　[解析](1)對于A,如果m⊥n,m⊥α,則n∥α或n?α,又因為n⊥β,所以α⊥β,故A中說法正確;對于B,如果m?α,α∥β,那么m與β無公共點,則m∥β,故B中說法正確;對于C,如果α∩β=l,m∥α,m∥β,則m∥l,故C中說法正確;對于D,如果m⊥n,m⊥α,n∥β,則有α⊥β或α∥β或α與β斜交,故D中說法錯誤.故選D. (2)如圖,連接BC1,易知∠AC1B即為AC1與平面BB1C1C所成的角,由題易知∠AC1B=30,易得AC1=2AB=4.設BB1=h,則有42=22+22+h2, 解得h=22, 所以該長方體的體積V=2222=82. 【自我檢測】 1.C　[解析] 對于A,平面α和平面β還有可能相交,所以A中說法錯誤;對于B,平面α和平面β還有可能斜交或平行,所以B中說法錯誤;對于C,因為l?α,l⊥β,所以α⊥β,所以C中說法正確;對于D,直線m可能和平面α不垂直,所以D中說法錯誤. 2.A　[解析] 直線A1C1與B1C是異面直線,連接A1D,則B1C∥A1D,所以∠DA1C1即為A1C1與B1C所成的角,連接DC1,顯然△DA1C1是等邊三角形,所以∠DA1C1=60,所以A中說法正確;由正方體的性質易得D1C1∥AB,所以B中說法錯誤;因為DC∥D1C1,所以∠D1C1A即為AC1與DC所成的角,連接AD1,在Rt△AC1D1中,AD1≠D1C1,故AC1與DC不可能成45角,所以C中說法錯誤;易得∠D1A1C1即為A1C1與AD所成的角,在等腰直角三角形D1A1C1中,∠D1A1C1=45,所以A1C1與AD不垂直,所以D中說法錯誤.故選A. 3.D　[解析] 對于A,m還可能與α平行或斜交或m?α,故A中說法不正確;對于B,m和n不一定垂直,故B中說法不正確;對于C,直線m與平面α內的無數(shù)條直線垂直,并不能推出直線m垂直平面α內的任意一條直線,故C中說法不正確;對于D,若m⊥n,n⊥β,m⊥α,則α⊥β,故D中說法正確. [備選理由] 本例題可首先確定幾何體的空間結構,然后補形為棱柱,求解棱柱的外接球即可求得最終結果,是對聽課例3的補充. 例　[配例3使用] 已知一個三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖是等腰直角三角形,則該三棱錐的外接球的體積為　　　　. [答案]43π [解析] 如圖所示,在長、寬、高分別為22,2,2的長方體中,點E,F分別為對應棱的中點,則三視圖對應的幾何體為三棱錐E-ABF,將三棱錐補形為三棱柱ABF-A1B1E,則三棱錐的外接球即三棱柱的外接球.分別取AB,A1B1的中點G,H,連接GH,易知外接球的球心為GH的中點,據(jù)此可得外接球的半徑R=(2)2+12=3,故其外接球的體積V=43πR3=43π.