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第2講 不等式選講
1．請考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．曲線C2：x2＋y2－4y＝0，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，若點P的極坐標為(2，－)．
(1)求曲線C2的極坐標方程；
(2)若C1與C2相交于M、N兩點，求＋的值．
解析：(1)因為
所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(2)把曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的方程得
(2－t)2＋(－2＋t)2－4(－2＋t)＝0，
化簡得t2－t＋16＝0，
t1＋t2＝，t1t2＝16，∴t1>0，t2>0.
又點P(2，－)的直角坐標為(2，－2)，故＋＝＋＝＝＝.
[選修4－5：不等式選講]
已知f(x)＝|2x＋m|(m∈R)．
(1)當m＝0時，求不等式f(x)＋|x－2|<5的解集；
(2)對于任意實數(shù)x，不等式|2x－2|－f(x)
2.
2．請考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
以平面直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C1的極坐標方程為ρsin(θ－)＝，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos(θ－)．
(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的參數(shù)方程；
(2)設M，N分別是曲線C1，C2上的兩個動點，求|MN|的最小值．
解析：(1)依題意，ρsin(θ－)＝ρsin θ－ρcos θ＝，所以曲線C1的普通方程為x－y＋2＝0.
因為曲線C2的極坐標方程為
ρ2＝2ρcos(θ－)＝ρcos θ＋ρsin θ，
所以x2＋y2－x－y＝0，
即(x－)2＋(y－)2＝1，
所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù))．
(2)由(1)知，圓C2的圓心(，)圓心到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝.
又半徑r＝1，所以|MN|min＝d－r＝－1.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|(m∈R)的最小值為4.
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c＝m，求證：＋＋≥3.
解析：(1)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|≥|(x－m)－(x＋1)|＝|m＋1|，
所以|m＋1|＝4，解得m＝－5或m＝3.
(2)證明：由題意，a＋2b＋3c＝3.
于是＋＋＝(a＋2b＋3c)(＋＋)
＝(3＋＋＋＋＋＋)
≥(3＋2 ＋2 ＋2 )＝3，
當且僅當a＝2b＝3c時等號成立，即a＝1，b＝，c＝時等號成立．
3．(2018廈門第二次質檢)請考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C1：＋y2＝1，曲線C2：(φ為參數(shù))，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C1，C2的極坐標方程；
(2)射線l的極坐標方程為θ＝α(ρ≥0)，若l分別與C1，C2交于異于極點的A，B兩點，求的最大值．
解析：(1)C1：x2＋4y2＝4，∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
故C1的極坐標方程：ρ2(3sin2θ＋1)＝4.
C2的直角坐標方程：(x－2)2＋y2＝4，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，故C2的極坐標方程：
ρ＝4cos θ.
(2)直線l分別與曲線C1，C2聯(lián)立，得到
則|OA|2＝，
則|OB|2＝16cos2α，
∴＝4cos2α(3sin2α＋1)＝(4－4sin2α)(3sin2α＋1)，
令t＝sin2α，則＝(4－4t)(3t＋1)＝－12t2＋8t＋4，∴t＝，即sin α＝時，
有最大值.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋a|，其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的值域；
(2)對于滿足b2＋c2＋bc＝1的任意實數(shù)b，c，關于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解，求a的取值范圍．
解析：(1)∵a>0，∴－a<2，
∴f(x)＝
故f(x)∈[－a－2，a＋2]．
(2)∵()2－bc＝(b－c)2≥0，
∴bc≤()2，
∵(b＋c)2＝bc＋1，
∴(b＋c)2≤()2＋1，
∴－≤b＋c≤.
當且僅當b＝c＝時，(b＋c)max＝，
∴[3(b＋c)]max＝2
關于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解?[f(x)]max≥[3(b＋c)]max
即a＋2≥2，故a≥2－2，
又a>0，所以a≥2－2.
4．請考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時請寫清題號．
[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos(θ－)＝2.已知點Q為曲線C1上的動點，點P在線段OQ上，且滿足|OQ||OP|＝4.動點P的軌跡為C2.
(1)求C2的直角坐標方程；
(2)設點A的極坐標為(2，)，點B在曲線C2上，求△AOB面積的最大值．
解析：(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，Q的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)，
由題設知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝，
由|OQ||OP|＝4得C2的極坐標方程
ρ＝2cos(θ－)(ρ>0)，
因此C2的直角坐標方程為(x－)2＋(y－)2＝1，但不包括點(0,0)．
(2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)，
由題設知|OA|＝2，ρB＝2cos(α－)，
于是△AOB面積為S＝|OA|ρBsin∠AOB
＝2cos(α－)|sin(α－)|＝2|sin2α－|≤，
當α＝0時，S取得最大值.
所以△AOB面積的最大值為.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝x2－|x|＋1.
(1)求不等式f(x)≥2x的解集；
(2)若關于x的不等式f(x)≥|＋a|在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．
解析：(1)不等式f(x)≥2x等價于x2－|x|－2x＋1≥0， ①
當x≥0時，①式化為x2－3x＋1≥0，
解得x≥或0≤x≤；
當x<0時，①式化為x2－x＋1≥0，
解得x<0，綜上所述，不等式f(x)≥2x的解集為
{x|x≤或x≥}．
(2)不等式f(x)≥|＋a|在[0，＋∞)上恒成立，
?－f(x)≤＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，
?－x2＋x－1≤＋a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
?－x2＋x－1≤a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
由－x2＋x－1＝－(x－)2－≤－(當且僅當x＝時取等號)，
x2－x＋1＝(x－)2＋≥(當且僅當x＝時取等號)，
所以－≤a≤，
綜上所述，a的取值范圍是[－，]．
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