2020版高中數學 第三章 導數及其應用 微專題突破五 利用導數求切線方程學案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

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專題突破五　利用導數求切線方程 曲線的切線問題是高考的常見題型之一．而導數f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，所以利用導數解決相切問題是常用的方法．下面對“求過一點的切線方程”的題型做以下歸納． 一、已知切點，求曲線的切線方程 此類題只需求出曲線的導數f′(x)，并代入點斜式方程即可． 例1　已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________． 考點　 題點　 答案　2x－y＝0 解析　設x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因為f(x)為偶函數，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 點評　本題可以先利用分段型奇偶性原則，求出函數的解析式，再求函數切線，或者利用原函數與導函數的關系來求解． 跟蹤訓練1　曲線y＝在點(1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1 考點　 題點　 答案　D 解析　由題意知，點(1，－1)在該曲線上，又y′＝＝，所以曲線在點(1，－1)處的切線的斜率k＝＝－2，故所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. 二、已知過某點，求切線方程 過某點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法． 例2　求過曲線f(x)＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程． 考點　 題點　 解　設P(x0，y0)為切點， 則切線的斜率為f′(x0)＝3x－2. 所以切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)． 又知切線過點(1，－1)， 所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)， 或y－＝， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 點評　可以發(fā)現直線5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)為切點，實際上是經過點(1，－1)，且以為切點的直線．這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點． 跟蹤訓練2　求過點(2,0)且與曲線f(x)＝相切的直線方程． 考點　 題點　 解　設P(x0，y0)為切點， 則切線的斜率為f′(x0)＝－. 所以切線方程為y－y0＝－(x－x0)， 即y－＝－(x－x0)． 又已知切線過點(2,0)，代入上述方程， 得－＝－(2－x0)． 解得x0＝1，y0＝＝1，即切線方程為x＋y－2＝0. 三、求兩條曲線的公切線 例3　(2018河南南陽一中月考)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切． (1)求切線方程； (2)求實數a的值． 考點　 題點　 解　(1)因為y＝x3，所以y′＝3x2， 設過點(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(x0，x)， 則在點(x0，x)處的切線斜率為k＝3x， 所以切線方程為y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x. 又點(1,0)在切線上，所以3x－2x＝0， 解得x0＝0或x0＝. 故所求的切線方程為y＝0或y＝x－. (2)由直線y＝0與曲線y＝ax2＋x－9相切可得方程ax2＋x－9＝0有一個實數根，此時Δ＝2－4a(－9)＝0，解得a＝－； 由直線y＝x－與曲線y＝ax2＋x－9相切，兩方程聯立消去y，得ax2－3x－＝0，此時Δ＝9－4a＝0，解得a＝－1. 綜上可得，a＝－1或a＝－. 點評　本例是先求過某點的切線方程，由切線與另一曲線——拋物線相切，利用判別式Δ＝0即可求得參數． 跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為(　　) A．－1B．－3C．－4D．－2 考點　導數的運算法則 題點　導數的運算法則的運用 答案　D 解析　∵f′(x)＝， ∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1. g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)， 則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0， 于是解得m＝－2. 1．函數f(x)＝exlnx的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1 C．y＝e(x－1) D．y＝x－e 考點　 題點　 答案　C 解析　∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋，∴f′(1)＝e，又f(1)＝0，∴在(1,0)處的切線方程為y＝e(x－1)． 2．已知f(x)＝ex－x，則過原點與f(x)圖象相切的直線方程是(　　) A．y＝(e－1)x B．y＝ex C．y＝x D．y＝e2x 考點　 題點　 答案　A 解析　設切點坐標為(x0，－x0)， 由題意可得切線斜率k＝f′(x0)＝－1， 所以切線方程為y＝(－1)x， 由－x0＝(－1)x0，解得x0＝1， 所以切線方程為y＝(e－1)x. 3．過點P(3,9)與曲線y＝2x2－7相切的切線的方程為________． 考點　 題點　 答案　8x－y－15＝0或16x－y－39＝0 解析　令y＝f(x)＝2x2－7，則f′(x)＝4x， 由點P(3,9)不在曲線上， 設所求切線的切點為A(x0，y0)， 則切線的斜率k＝4x0， 故所求的切線方程為y－y0＝4x0(x－x0)， 將P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得 9－(2x－7)＝4x0(3－x0)， 解得x0＝2或4， 故切點為(2,1)或(4,25)． 從而所求切線方程為8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 4．已知f(x)為偶函數，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是__________． 考點　 題點　 答案　2x＋y＋1＝0 解析　設x>0，則－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)為偶函數，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切線方程為y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0. 5．已知函數y＝x2lnx(x>0)． (1)求這個函數的圖象在x＝1處的切線方程； (2)若過點(0,0)的直線l與這個函數的圖象相切，求直線l的方程． 考點　 題點　 解　(1)函數y＝x2lnx的導數為y′＝2xlnx＋x， 函數的圖象在x＝1處的切線斜率為2ln1＋1＝1， 切點為(1,0)， 可得切線的方程為y－0＝x－1，即x－y－1＝0. (2)設切點為(m，m2lnm)， 可得切線的斜率為2mlnm＋m， 則切線的方程為y－m2lnm＝(2mlnm＋m)(x－m)， 由于切線過點(0,0)， ∴－m2lnm＝(2mlnm＋m)(－m)， 由m>0，可得－lnm＝－2lnm－1， 即lnm＝－1，解得m＝， 所以直線l的方程為x＋ey＝0. 6．已知雙曲線C：y＝(m<0)與點M(1,1)． (1)求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C的兩支相切； (2)設(1)中的兩個切點分別為A，B，求證：直線AB的斜率為定值． 考點　 題點　 證明　(1)設Q在雙曲線C上， 要證明命題成立，只需要證明關于t的方程y′|x＝t＝kMQ有兩個符號相反的實根． y′|x＝t＝kMQ?－＝?t2－2mt＋m＝0，且t≠0，t≠1. 因為Δ＝4m2－4m>0，所以方程t2－2mt＋m＝0有兩個不相等實根，設兩根分別為t1與t2， 則由t1t2＝m<0，知t1，t2是符號相反的實數，且t1，t2均不等于0與1，命題得證． (2)設A，B， 由(1)知kAB＝＝＝－1， 即直線AB的斜率為定值－1.