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1、
二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)
第27卷第5期
2011年10月
大學(xué)數(shù)學(xué)
COLLEGEMATHEMATICS
Vo1.27.No.5
Oct.2011
二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)
李國安
(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,寧波315211)
[摘要]利用分布密度分拆的思想,導(dǎo)出T2iFreund型指數(shù)分布的一個(gè)特征,利用該特征,獲得了二
元Freund型指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)及矩估計(jì),還給出了強(qiáng)度服從二元Freund型指數(shù)分布時(shí)并聯(lián)結(jié)構(gòu)
系統(tǒng)的可靠度估計(jì)及模擬.
[關(guān)鍵詞]Freund型;二元指數(shù)分布;特征;最大似然估計(jì);矩估計(jì);可靠度;模擬
2、
[中圖分類號]O212.4[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號]1672—1454(2011)05—0048—04
Freund[1]于1961年引入了如下的二元指數(shù)分布
1exp[一;2一(1+2一)z1],0≤z1<z2,
Px1,x2
(Xl,z.一12expE—z一(1+.一:)z2],o≤z≤z,
它是第一個(gè)一元指數(shù)分布的二元推廣,關(guān)于它的特征及參數(shù)估計(jì)研究就顯得有一定意義.本文在第1節(jié)
給出了二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì),在第2節(jié)給出了強(qiáng)度服從二元Freund型指數(shù)分布
時(shí)并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度估計(jì)及模擬.
1二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)
3、稱(X,y)服從二元Freund型指數(shù)分布的隨機(jī)變量,指它有如下的密度函數(shù):
P,cz,===;二三二::二;;:::
記作(x,y)~FBVED(X,A2,A:,).設(shè)z===min(x,y),設(shè)J一1,當(dāng)X<Y時(shí),設(shè)i--2,當(dāng)x≥y時(shí);記
P一P(I—i)(一1,2),f()表示給定I=i時(shí)Z的條件密度函數(shù);記Pf(2)表示(Z,D的聯(lián)合密度;記
P廠(z)廠一l(z)表示(z,,lX--Y1)的聯(lián)合密度.有如下的引理:
引理1設(shè)(x,y)~FBVED(A,2,,),則有
f戶1f1()一1e-U12k,z>O,
I2f2()一2e-U12,z>O.
證
4、直接計(jì)算可得.
弓I理2設(shè)(x,y)~FBVED(A,,:,;),貝4有
fP1f1(z),{一Y1(z)=/t1/~;exp[--(1+z)2——z],x>O,z>O,
【2f2()廠1一YI(z)一2expE-(+2)一z],x>0,z>O.
證直接計(jì)算可得.
定理1(x,y)--F]BVED(A1,2,:,;)當(dāng)且僅當(dāng)P—P(J===)一_Ai,:1,2,這里i=11+2.且(1)
[收稿日期]2008一lI一06;[修改日期]2009—02—19
第5期49
(2)同時(shí)滿足:
(i)給定i--1時(shí),Z與y—X相互獨(dú)立,且
Z～E(),y—X~
5、E(a;);
(ii)給定1=2時(shí),Z與—y相互獨(dú)立,且
Z～E(),X—y～E().
證直接驗(yàn)證可得.
定理2設(shè)(x,y)～FBVED(A-,z,:,:),(,yJ)(=1,2,…,)為它的樣本,那么參數(shù),,
,;最大似然估計(jì)及矩估計(jì)均為
一
===
,i=l,2;
Z
W2
』—y
W
fX—y『
這一
00一,:,一,【,x≥y,I,x<y,""—一—一,
WIX—yl一
證由
由此得
,WfX—y1一
EW—
a
上
1
+a2,1,2,
EZ—1
,
EW
Ew
1Ix—yf一,.得
zfx—y{,
～
Wi—
6、a
土
1--ka,12
Z—
1+2
,i一1,2,
W1X—yl—
WlX—YI—
Z
V,
Z
一
::
一
;一
wfX—y
iX—y
接下來證明,,z,,;分別是對應(yīng)參數(shù)的最大似然估計(jì).
由(,,fxj—yJi)(一1,2,…,)的似然函數(shù)
L—((Ⅳ1J
(+2)
(+2).
.exp【-一(+z)一(∑w,『一J);一(∑VIxJ～J
1nL一()l+(∑)lm.:+(妻,JXi—yJJ);
+(∑zfxJ一J):一(-ka:)ZJ.
9~04"alnL=.
,
alnL
一.,可31nL=.,可31nL一.可得本定理結(jié)論.
7、
),]
(1)
lJ
一
一
=
Ij
一
∑
∑
50大學(xué)數(shù)學(xué)第27卷
2強(qiáng)度服從二元Freund型指數(shù)分布的并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度估計(jì)及模擬
考慮由兩個(gè)結(jié)構(gòu)單元A和A并聯(lián)組成的系統(tǒng)A[7],設(shè)A和A.的強(qiáng)度(X,X)
～
FBVED(11,A,,:),系統(tǒng)A所承受的應(yīng)力x服從指數(shù)分布E(b),其密度函數(shù)為g()
一
bexp(--bx),(z>0),其中6>O是未知參數(shù).X的分布函數(shù)記為G(z).又設(shè)應(yīng)力與強(qiáng)度相互獨(dú)立.上
述假定稱為模型MA.
以上并聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)A的可靠度為
PA—P(max(X1,X2)>X)===IP(max(X1
8、,X2)>z)dG(x)
一
j.lexp(一;z)+exp(一)lbexp(一bz)d
—
f..『_去xP(一(+)z)Jbexp(一6z)dz—J.l干_==干xL一(十)z)(一Dz)dz
^20
一
瓦十:+——:;
(+2一)(+6)(+2--11;)(1+一;)(+2+6)
設(shè)有來自(X,X,X)的樣本(X,X,X)(z===1,2,…).記一∑X,則P的估計(jì)為
=1
PA一
一一
^^一^一
一.—一
+——一一一一:
(+一:)(:+妻)(+～;)(+妻)+z—:)(+z—).;L(+.+)
類似文[7],我們不加證明直接給出P的如下的
9、統(tǒng)計(jì)性質(zhì).
定理3在模型MA的條件下,有
(i)PA三PA(一c3);(ii)q~(PA--PA)N(0,d)(n---~),
模擬過程及結(jié)果如下:根據(jù)定理1,先獨(dú)立地產(chǎn)生四組容量均為500的(0,1)上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù):
"1,f2,…,(=1,2,3,4;一500).
然后將它們轉(zhuǎn)換成二點(diǎn)分布B(1,竽)及參數(shù)為,和的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù),也可獨(dú)立地產(chǎn)生四,^
組容量均為500的分別服從二點(diǎn)分布B(1,)及參數(shù)為:,;和的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù),^,
i1,i2,…,i(一500),a】,n2,…,n(:500).
若i,一0
若i,一1
J==500
J=500
b1
10、,b2,…,b(一500),1,2,…,(一500).
,則取
W1J一1,W2J一0,X1—J,Xv一6J+zJ(一500);
,則取
WI—o,Wzi一1,x1i=ai+zi,x2i—zJj=500).
可產(chǎn)生服從FBVED(11,,:,:)的偽隨機(jī)數(shù)
(zl1,21),(12,z22),…,(1,X2)(n--500).
獨(dú)立地產(chǎn)生一組容量為500的服從參數(shù)為b的指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù)
z1,z2,…,X(一500).
依的公式計(jì)算P的值,依公式(1)及的公式獲得結(jié)果;將上述過程重復(fù)100次,計(jì)算平均值.具
體模擬時(shí)參數(shù)值取為
1—1.65,2—1.45,;:1.25,
11、一1.05,6—1.2,
則PA一0.5407372251;其模擬結(jié)果為
一,,^一^
一1.643283445,2—1.462085507,:一1.240117302,;一1.053438361,PA:0.5453028264.
第5期5l
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r3-]
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Characterizati0nandParameterEstimationof
TheMultivariateExponentialDistributionofFreund
LIGuo—an
(DepartmentofMathematics,NingboUnivers
15、ity,Ningbo,315211,China)
Abstract:Byusingpartitioningtechniqueofdistributiondensity,acharacterizationofthebivariateexponential
distributionofFreundarederived,usingthischaracterization,themaximumlikelihoodestimatorsandthemoment
estimatorsofparametersoftheFreundtypeSbivariateexponentialdistribution
16、areobtained.Moreover,theestimatorof
reliabilityforparallelstructuralsystemwithstrengthhavingtheFreundtypeSbivariateexponentialdistributionisgiven,
Somesimulationresultsarealsogiven.
Keywords:Freundtypes;bivariateexponentialdistribution;characterization;maximumlikelihoodestimator;
momentestimator;reliability;simulation
二元Freund型指數(shù)分布的特征及參數(shù)估計(jì)
