2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 3 第1課時 平均值不等式學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

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第1課時平均值不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平均值不等式的特征結(jié)構(gòu).2.了解平均值不等式的推廣.3.會用平均值不等式解決相關(guān)問題知識點一二元平均值不等式思考回顧a2b22ab的證明過程，并說明等號成立的條件答案a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，a2b22ab.梳理(1)重要不等式定理1：對任意實數(shù)a，b，有a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號)(2)二元平均值不等式定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號)定理2的應(yīng)用：對兩個正實數(shù)x，y，()如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時，它們的積P取得最大值；()如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時，它們的和S取得最小值知識點二三元平均值不等式思考類比二元平均值不等式：(a0，b0)，請寫出a，b，cR時，三元平均值不等式答案.梳理(1)定理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)(2)定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有(當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“”號)(3)平均值不等式的推廣對于n個正數(shù)a1，a2，an(n2)，把數(shù)值，分別稱為這n個正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值，且有，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時取“”號.類型一平均值不等式成立的條件例1給出以下說法：任意x0，lgx2；任意xR，ax2(a0且a1)；任意x，tanx2；任意xR，sinx2.其中正確的是()ABCD答案C解析在中，lg xR，sin x1,1，不能確定lg x0，sin x0，因此錯誤；在中，ax0，ax22，當(dāng)且僅當(dāng)x0時取等號，故正確；在中，當(dāng)x時，tan x0，有tan x2，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，故正確故選C.反思與感悟平均值不等式成立的條件(1)各項均為正數(shù)(2)當(dāng)且僅當(dāng)各項均相等時，“”才能成立跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a，b為實數(shù)，且ab0，下列不等式中一定成立的個數(shù)是()2；ab2；ab.A1B2C3D4答案B解析ab0，22，成立；當(dāng)a，b0，b0時，ab2，22c.同理22b，22a.將以上三不等式相加，得22(abc)，abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立類型三證明不等式的技巧“1”的代換例3已知a，b，cR，且abc1，求證：9.證明方法一a，b，c為正實數(shù)，且abc1，3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立9.方法二a，b，cR，且abc1，(abc)111332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立9.引申探究1若本例條件不變，求證：1.證明a2b22ab，2ab.同理，2bc，2ca.(2ab)(2bc)(2ca)abc1，1，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立2若本例條件不變，求證：a2b2c2.證明a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2b2c2a2c22ab2bc2ac，即2(a2b2c2)2ab2bc2ac，2(a2b2c2)a2b2c2a2b2c22ab2bc2ac(abc)21，a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號3若本例條件不變，求證：.證明a2b22ab，2(a2b2)(ab)2.又a，b，cR，|ab|(ab)同理，(bc)，(ac)三式相加，得(abc)，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號反思與感悟用基本不等式證明不等式時，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點進行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進行證明跟蹤訓(xùn)練3已知a，b，cR且abc1，求證：8.證明a，b，cR且abc1，1.同理1，1.由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘得8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號.1下列不等式中，正確的個數(shù)是()若a，bR，則；若xR，則x222；若xR，則x212；若a，bR，則.A0B1C2D3答案C解析顯然不正確；正確；對雖然x22無解，但x222成立，故正確；不正確，如a1，b4.2下列不等式的證明過程正確的是()A若a，bR，則22B若x0，則cosx22C若x0，則x24D若a，bR，且ab0，則22答案D解析對于A，a，b必須同號；對于B，cos x不一定大于0；對于C，由x0，得x24.對于D，由ab0，得0，0，所以22.3若直線1(a0，b0)過點(1,1)，則ab的最小值等于()A2B3C4D5答案C解析1過點(1,1)，1.ab(ab)2224.當(dāng)且僅當(dāng)ab2時，等號成立4當(dāng)x1時，函數(shù)yx的最小值是_答案3解析因為x1，所以yx(x1)1213，當(dāng)且僅當(dāng)x1，且x1，即x2時等號成立故函數(shù)的最小值為3.5已知a0，b0，且ab1，求證：a2b2.證明a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab(ab)21，a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立1應(yīng)用平均值不等式證明問題時，如果能熟練掌握一些常見結(jié)論，可使應(yīng)用更加靈活快捷對于二元平均值不等式有以下結(jié)論(1)ab2.(2)(a，bR)(3)2(a，b同號)(4)(ab)4(a，bR)(5)a2b2c2abbcca.2對于三元平均值不等式有以下結(jié)論(1)abc3.(2)a3b3c33abc.(3).上式中a，b，c均為正數(shù)，等號成立的條件均為abc.一、選擇題1設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()A8B4C1D.答案B解析是3a與3b的等比中項，3a3b3ab3，ab1.(ab)24.2“a1”是“對任意正數(shù)x,2x1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a1時，2x2x2(當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號)，所以a12x1(x0)反過來，對任意正數(shù)x，如當(dāng)a2時，2x1恒成立，所以2x1a1.3設(shè)0a1,0b0，b0，且ab4，則有()A.B.2C.1D.答案C解析ab2，2，B錯誤；00，則下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2C.D.2答案D解析當(dāng)ab時，a2b22ab，選項A不恒成立；當(dāng)a0，bbc，則與的大小關(guān)系是_答案解析abc，ab0，bc0，ac0，(ab)(bc)22，當(dāng)且僅當(dāng)abbc時取等號，.9M，N()x+y，P，其中0xy，則M，N，P的大小關(guān)系為_答案PNN，又0xy，P()xyN，PN0時，有不等式：x2，x3，.受此啟發(fā)，可以推廣為xn1(nN)，則a_.答案nn解析由題意有x(n1)n1，所以ann.三、解答題11已知x0，y0，求證：(1xy2)(1x2y)9xy.證明由均值不等式，得分別當(dāng)且僅當(dāng)xy21，x2y1時，“”成立因此(1xy2)(1x2y)99xy，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時，“”成立12已知a1,0b1,0b1，logab0，logba0，logba0，(logab)22，當(dāng)且僅當(dāng)a時取等號，logablogba2.13設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.證明a0，b0，ab1，2ab1，4，(ab)2248，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號四、探究與拓展14已知a，b，cR，且abc1.求證：(1)；(2)6.證明(1)，2ab.同理2ac,2bc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號同時成立()2abc222abc(ab)(ac)(bc)3(abc)3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立(2)，且由于3a21，等號不成立，.同理，3(abc)96.15設(shè)單位圓的內(nèi)接三角形的面積為，三邊長分別為a，b，c，且不全相等，求證：.證明三角形的面積SabsinC，2，abc1，bcacabcab()，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號三邊長a，b，c不全相等，.