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第十六章 不等式選講
命題探究
解答過程
解法一:
(1)f(x)=
當(dāng)x<-1時(shí), f(x)≥1無(wú)解;
當(dāng)-1≤x≤2時(shí),由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
當(dāng)x>2時(shí),由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-+≤,
且當(dāng)x=時(shí),|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范圍為.
解法二:(1)f(x)=
其圖象如圖所示:
由圖可知f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.
(2)原式等價(jià)于存在x∈R使得f(x)-x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)-x2+x]max,設(shè)g(x)=f(x)-x2+x,
由(1)知g(x)=
(i)當(dāng)x≤-1時(shí),g(x)=-x2+x-3,
其圖象開口向下,對(duì)稱軸方程為x=>-1,
∴g(x)≤g(-1)=-5;
(ii)當(dāng)-1
1時(shí),①式化為x2+x-4≤0,從而11時(shí),①等價(jià)于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范圍是[2,+∞).(10分)
3.(2015課標(biāo)Ⅰ,24,10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|-1>0.
當(dāng)x≤-1時(shí),不等式化為x-4>0,無(wú)解;
當(dāng)-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集為.(5分)
(2)由題設(shè)可得,f(x)=
所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為(a+1)2.
由題設(shè)得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范圍為(2,+∞).(10分)
教師用書專用(4—12)
4.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )
A.(-∞,4) B.(-∞,1)
C.(1,4) D.(1,5)
答案 A
5.(2014湖南,13,5分)若關(guān)于x的不等式|ax-2|<3的解集為x-0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:由a>0,得f(x)=+|x-a|≥=+a≥2.
所以f(x)≥2.
(2)f(3)=+|3-a|.
當(dāng)a>3時(shí),f(3)=a+,由f(3)<5得30,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
證明 本題考查不等式的證明.
(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)
=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
2.(2017江蘇,21D,10分)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8.
證明 本小題主要考查不等式的證明,考查推理論證能力.
由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
因?yàn)閍2+b2=4,c2+d2=16,
所以(ac+bd)2≤64,
因此ac+bd≤8.
3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.
解析 (1)f(x)=(2分)
當(dāng)x≤-時(shí),由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)
當(dāng)-cd,則+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
證明 (1)因?yàn)?+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+>+.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
(ii)若+>+,則(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是
(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件.
教師用書專用(5—9)
5.(2013陜西,15A,5分)(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a+b=1,mn=2,則(am+bn)(bm+an)的最小值為 .
答案 2
6.(2015湖南,16(3),6分)選修4—5:不等式選講
設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.
證明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0得00,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.
解析 (1)由=+≥,得ab≥2,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.
故a3+b3≥2≥4,且當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.
所以a3+b3的最小值為4.
(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6.
8.(2014福建,21(3),7分)選修4—5:不等式選講
已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a.
(1)求a的值;
(2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r2≥3.
解析 (1)因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí),等號(hào)成立,
所以f(x)的最小值等于3,即a=3.
(2)證明:由(1)知p+q+r=3,又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù),
所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p1+q1+r1)2
=(p+q+r)2=9,
即p2+q2+r2≥3.
9.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,24,10分)選修4—5:不等式選講
設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:
(1)ab+bc+ca≤;
(2)++≥1.
證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由題設(shè)得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)易證+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.
所以++≥1.
三年模擬
A組 2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組
考點(diǎn)一 含絕對(duì)值不等式的解法
1.(2018湖南長(zhǎng)沙第二次模擬,23)已知函數(shù)f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.
(1)證明:f(x)≥;
(2)若f(4)<13,求a的取值范圍.
解析 (1)證明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|≥|(x+a2)-(x-a-1)|=|a2+a+1|=+≥.
(2)因?yàn)閒(4)=|a2+4|+|a-3|=
所以f(4)<13?或
解得-20恒成立,求實(shí)數(shù)n的最小值;
(2)若函數(shù)f(x)=求函數(shù)g(x)=f(x)+h(x)的值域.
解析 (1)h(x)-|x-2|≤n對(duì)任意的x>0恒成立,
等價(jià)于-|x-3|-|x-2|≤n對(duì)任意的x>0恒成立,
等價(jià)于-n≤(|x-2|+|x-3|)min.
因?yàn)閨x-2|+|x-3|≥|x-2-(x-3)|=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x∈[2,3]時(shí)取到等號(hào),所以-n≤1,得n≥-1.
所以實(shí)數(shù)n的最小值為-1.
(2)因?yàn)閒(x)=g(x)=f(x)+h(x),
所以g(x)=f(x)-|x-3|=
當(dāng)02恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)原不等式等價(jià)于或或
解得2恒成立?log2(a2-3a)+26的解集;
(2)若不等式f(x)≤10對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=3時(shí),f(x)>6,即|x+3|-|x-5|>6.
∴或或解得x≥5或46的解集為{x|x>4}.
(2)f(x)=|x+m|-|5-x|≤|(x+m)+(5-x)|=|m+5|.
由題意得|m+5|≤10,即-10≤m+5≤10,解得-15≤m≤5.
故m的取值范圍為[-15,5].
C組 2016—2018年模擬方法題組
方法1 含絕對(duì)值不等式的解法
1.(2018四川成都第七中學(xué)一診,23)已知函數(shù)f(x)=m-|x-1|-|x+1|.
(1)當(dāng)m=5時(shí),求不等式f(x)>2的解集;
(2)若函數(shù)y=x2+2x+3與y=f(x)的圖象恒有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=5時(shí), f(x)=
所以不等式f(x)>2的解集為.
(2)二次函數(shù)y=x2+2x+3=(x+1)2+2,該函數(shù)在x=-1時(shí)取到最小值2,
因?yàn)閒(x)=在x∈[-1,1]時(shí)取到最大值m-2,所以要使二次函數(shù)y=x2+2x+3與函數(shù)y=f(x)的圖象恒有公共點(diǎn),只需m-2≥2,即m≥4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4,+∞).
2.(2017廣東韶關(guān)1月調(diào)研,23)已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).
(1)當(dāng)m=-1時(shí),求不等式f(x)≤2的解集;
(2)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集為A,且?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|,
則f(x)≤2?|x-1|+|2x-1|≤2,
上述不等式可化為
或或
解得或或
∴0≤x≤或2時(shí),a-1>, f(x)≤0的解集為,
∴∩[0,2]≠?,∴a-1≥0且≤2,∴23的解集為P.
(1)求P;
(2)若a,b∈P,且a3不成立;當(dāng)-43,解得x>0,∴03成立,故P={x|x>0}.
(2)證明:∵a>0,b>a,∴a(b-a)≤=,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號(hào),又b<1,故+≥+=[b2+(1-b2)]=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)即a=,b=時(shí)取等號(hào).
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