2019高考數(shù)學一輪復習 第9章 解析幾何 第9課時 拋物線（一）練習 理.doc

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第9課時 拋物線（一） 1．拋物線x2＝y(tǒng)的焦點到準線的距離是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．1 C. D. 答案　D 解析　拋物線標準方程x2＝2py(p>0)中p的幾何意義為：拋物線的焦點到準線的距離，又p＝，故選D. 2．過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y(tǒng) B．y2＝x或x2＝y(tǒng) C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 答案　A 解析　設拋物線的標準方程為y2＝kx或x2＝my，代入點P(－2，3)，解得k＝－，m＝，∴y2＝－x或x2＝y(tǒng)，選A. 3．若拋物線y＝ax2的焦點坐標是(0，1)，則a＝(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　因為拋物線的標準方程為x2＝y(tǒng)，所以其焦點坐標為(0，)，則有＝1，a＝，故選D. 4．若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準線的距離為4，則拋物線的標準方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 答案　C 解析　∵拋物線y2＝2px，∴準線為x＝－. ∵點P(2，y0)到其準線的距離為4，∴|－－2|＝4. ∴p＝4，∴拋物線的標準方程為y2＝8x. 5．已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 答案　C 解析　因為點A在拋物線的準線上，所以－＝－2，所以該拋物線的焦點F(2，0)，所以kAF＝＝－. 6．(2018衡水中學調研卷)若拋物線y2＝2px(p>0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝36x C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x 答案　C 解析　因為拋物線y2＝2px(p>0)上一點到拋物線的對稱軸的距離為6，所以若設該點為P，則P(x0，6)．因為P到拋物線的焦點F(，0)的距離為10，所以由拋物線的定義得x0＋＝10?、?因為P在拋物線上，所以36＝2px0　②.由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，則拋物線的方程為y2＝4x或y2＝36x. 7．(2016課標全國Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　由題意，不妨設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A(，2)，D(－，)，設O為坐標原點，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以選B. 8．(2018吉林長春調研測試)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A. B．2 C. D．3 答案　B 解析　由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，設拋物線的焦點為F(1，0)，則動點P到l2的距離等于|PF|，則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2，故選B. 9．點A是拋物線C1：y2＝2px(p>0)與雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的交點，若點A到拋物線C1的準線的距離為p，則雙曲線C2的離心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　求拋物線C1：y2＝2px(p>0)與雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的交點為解得所以＝，c2＝5a2，e＝，故選C. 10．(2013課標全國Ⅱ，理)設拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案　C 解析　方法一：設點M的坐標為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，則x0＝5－. 又點F的坐標為(，0)，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)(x－)＋(y－y0)y＝0. 將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4. 由y02＝2px0，得16＝2p(5－)，解之得p＝2或p＝8. 所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選C. 方法二：由已知得拋物線的焦點F(，0)，設點A(0，2)，拋物線上點M(x0，y0)，則＝(，－2)，＝(，y0－2)． 由已知得，＝0，即y02－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M(，4)． 由拋物線定義可知：|MF|＝＋＝5. 又p>0，解得p＝2或p＝8，故選C. 11．(2018合肥質檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為(　　) A． B．1 C． D． 答案　A 解析　設M(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入拋物線方程可得yM＝p，則直線MF的斜率為＝＝，選項A正確． 12．(2018太原一模)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則＋＋＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．2p 答案　A 解析　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)(，0)，則(x1－，y1)＋(x2－，y2)＋(x3－，y3)＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0. 13．(2018河南新鄉(xiāng)第一次調研)經過拋物線y2＝8x的焦點和頂點且與其準線相切的圓的半徑為________． 答案　3 解析　圓心是x＝1與拋物線的交點．r＝1＋2＝3. 14．(2018福建閩侯三中期中)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30(O為坐標原點)時，|PF|＝________． 答案　 解析　設l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30，|BF|＝2，所以|AB|＝.設P(x0，y0)，則x0＝，代入x2＝4y中，得y0＝，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 15．已知定點Q(2，－1)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，動點P為拋物線上任意一點，當|PQ|＋|PF|取最小值時，P的坐標為________． 答案　(，－1) 解析　設點P在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D，P，Q三點共線時|PQ|＋|PF|最小．將Q(2，－1)的縱坐標代入y2＝4x得x＝，故P的坐標為(，－1)． 16.右圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米． 答案　2 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系， 設拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)， 由點(2，－2)在拋物線上，可得p＝1，則拋物線方程為x2＝－2y. 當y＝－3時，x＝， 所以水面寬為2 米． 17．拋物線y2＝2px(p>0)有一個內接直角三角形，直角頂點是原點，一條直角邊所在直線方程為y＝2x，斜邊長為5，求此拋物線方程． 答案　y2＝4x 解析　設拋物線y2＝2px(p>0)的內接直角三角形為AOB，直角邊OA所在直線方程為y＝2x，另一直角邊所在直線方程為y＝－x. 解方程組可得點A的坐標為； 解方程組可得點B的坐標為(8p，－4p)． ∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5， ∴＋(64p2＋16p2)＝325. ∴p＝2，∴所求的拋物線方程為y2＝4x. 18．(2018上海春季高考題)利用“平行于圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個射燈(射出的光錐為圓錐)在廣告牌上投影出其標識，如圖1所示，圖2是投影射出的拋物線的平面圖，圖3是一個射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點O、A、B在拋物線上，OC是拋物線的對稱軸，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米． (1)求拋物線的焦點到準線的距離； (2)在圖3中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB、DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大小(精確到0.01)． 答案　(1)　(2)9.59 解析　(1)如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為y軸，建系． ∴B(1.5，－4.5)． 設拋物線方程為x2＝－2py. 點B(1.5，－4.5)在拋物線上． ∴p＝.∴焦點到準線距離為. (2)如圖，C為DE中點，OC∥SD，∴O為SE中點． SC⊥DE，OC＝4.5，∴SE＝2OC＝9. DE＝AB＝3，∴CE＝1.5. ∴sin∠CSE＝＝≈0.167. ∴∠SCE≈9.59. ∴圓錐的母線與軸的夾角約為9.59. 1．拋物線y＝4x2關于直線x－y＝0對稱的拋物線的準線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－ C．x＝－1 D．x＝－ 答案　D 解析　拋物線x2＝y(tǒng)的準線方程為y＝－，關于x＝y(tǒng)對稱的準線方程x＝－為所求． 2．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　) A. B．3 C. D. 答案　A 解析　拋物線y2＝2x的焦點為F(，0)，準線是l，由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離，因此要求點P到點(0，2)的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值，可以轉化為求點P到點(0，2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值，結合圖形不難得出相應的最小值就等于焦點F到點(0，2)的距離，因此所求的最小值等于＝，選A. 3．拋物線y＝4ax2(a≠0)的焦點坐標是(　　) A．(0，a) B．(a，0) C．(0，) D．(，0) 答案　C 解析　拋物線方程化標準方程為x2＝y(tǒng)，焦點在y軸上，焦點為(0，)． 4．已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　先確定切線的方程，再聯(lián)立方程組求解． 拋物線y2＝2px的準線為直線x＝－，而點A(－2，3)在準線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點為F(2，0)．設切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①.由于Δ＝1－4(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.因為切點在第一象限，所以k＝. 將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，所以點B的坐標為(8，8)，所以直線BF的斜率為＝. 5．(2018海口一模)過點F(0，3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝－12y D．x2＝12y 答案　D 6．(2018湖北黃岡中學檢測)若坐標原點到拋物線y＝mx2的準線的距離為2，則實數(shù)m＝(　　) A．8 B．8 C． D． 答案　D 解析　x2＝y(tǒng)，故由題意可得＝2，所以m＝. 7．(2018江西吉安一中期中)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，其上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足|AF|－|BF|＝2，則y1＋x12－y2－x22＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案　D 解析　∵|AF|－|BF|＝2，∴y1＋1－(y2＋1)＝2，∴y1－y2＝2，所以y1＋x12－y2－x22＝5(y1－y2)＝10，故選D. 8．(2018云南昆明適應性檢測)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A，B在C上，且點F是△AOB的重心，則cos∠AFB為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由重心坐標公式得＝，y1＋y2＝0，故A，B關于x軸對稱，則x1＝x2＝p，所以|AF|＝|BF|＝p＋＝p，|AB|2＝6p2，所以由余弦定理可得cos∠AFB＝＝－，故選D. 9．(2018湖南郴州第二次質檢)已知正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，則這個正三角形的邊長為(　　) A．2p B．2p C．4p D．4p 答案　C 解析　∵拋物線y2＝2px關于x軸對稱，∴若正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，則A，B關于x軸對稱，如圖所示，∴直線OA的傾斜角為30，斜率為，∴直線OA的方程為y＝x，由得∴A(6p，2p)，則B(6p，－2p)，∴|AB|＝4p，∴這個正三角形的邊長為4p.故選C. 10．(2016浙江，理)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是________． 答案　9 解析　由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準線為x＝－1，設點M的坐標為(x，y)，則x＋1＝10，所以x＝9.故M到y(tǒng)軸的距離是9. 11．在拋物線y2＝4x上找一點M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3，2)，F(xiàn)(1，0)，求M點的坐標及此時的最小值． 答案　M(1，2)，最小值為4 解析　如圖點A在拋物線y2＝4x的內部，由拋物線的定義可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|， 其中|MH|為M到拋物線的準線的距離． 過A作拋物線準線的垂線交拋物線于M1，垂足為B， 則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4， 當且僅當點M在M1的位置時等號成立． 此時M1點的坐標為(1，2)． 12．(2018黑龍江大慶一模)已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線y2＝4x的準線相切，則m＝________． 答案　 解析　圓x2＋y2＋mx－＝0圓心為(－，0)，半徑r＝，拋物線y2＝4x的準線為x＝－1.由|－＋1|＝，得m＝. 13．一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝ax上，另一個頂點在坐標原點，若這個三角形的面積為36，則a＝________． 答案　2 解析　設正三角形邊長為x，則36＝x2sin60. ∴x＝12. 當a>0時，將(6，6)代入 y2＝ax得a＝2. 當a<0時，將(－6，6)代入 y2＝ax得a＝－2，故a＝2. 14．已知拋物線y＝ax2－1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為________． 答案　2 解析　y＝ax2－1變形為x2＝(y＋1)，此拋物線焦點坐標為(0，－1)，由題意－1＝0， ∴a＝. ∴拋物線為y＝x2－1，令y＝0，得x＝2，如圖． 頂點A(0，－1)，|BC|＝4. ∴S△ABC＝|BC||AF|＝41＝2. 15．(2017湖北恩施一中開學考)長為2的線段AB的兩個端點在拋物線y2＝x上滑動，則線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值是________． 答案　 解析　設拋物線y2＝x的焦點為F，準線為l，點A，B，M在l上的射影分別為點C，D，N，連接AC，BD，MN，如圖．由梯形的中位線定理，可得|MN|＝(|AC|＋|BD|)．連接AF，BF，根據(jù)拋物線的定義得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根據(jù)平面幾何知識，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，當且僅當點F在AB上時取等號，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)≥|AB|＝1. 設點M的橫坐標為a，拋物線y2＝x的準線方程為x＝－，則 |MN|＝a＋≥1，解得a≥. 因此，當且僅當線段AB為經過拋物線焦點的弦時，AB的中點M到y(tǒng)軸的距離最小，為. 16．過點M(2，－2p)作拋物線x2＝2py(p>0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB中點的縱坐標為6，求拋物線方程． 答案　x2＝2y或x2＝4y 解析　x2＝2py變形為y＝x2， ∴y′＝.設A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y′|x＝x1＝. ∴切線AM方程為y－y1＝(x－x1)． 即y＝x－.同理BM方程為y＝x－. 又(2，－2p)在兩條直線上， ∴－2p＝－，－2p＝－. ∴x1，x2是方程－－2p＝0的兩根． 即x2－4x－4p2＝0.∴x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2. ∴y1＋y2＝(x12＋x22) ＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝(16＋8p2)． 又∵線段AB中點縱坐標為6， ∴y1＋y2＝12，即(16＋8p2)＝12. 解得p＝1或p＝2. ∴拋物線方程為x2＝2y或x2＝4y.