2019高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系章末小結(jié)與測(cè)評(píng)講義（含解析）新人教A版必修2.doc

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第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 考點(diǎn)1 共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題 1．三點(diǎn)共線問(wèn)題 證明空間三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)面的交線上，即先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證第三點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則此點(diǎn)必在兩個(gè)平面的交線上． 2．共面問(wèn)題 證明共面問(wèn)題，一般有兩種證法：一是由某些元素確定一個(gè)平面，然后證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi)；二是分別由不同元素確定若干個(gè)平面，然后證明這些平面重合． 3．三線共點(diǎn)問(wèn)題 證明三線共點(diǎn)問(wèn)題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題． [典例1]　在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)． 證明： 連接EF，D1C，A1B. ∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥A1B，EF＝A1B. 又∵A1B∥D1C， ∴EF∥D1C， ∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，且EF＝D1C， ∴D1F與CE相交于點(diǎn)P. 又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD， ∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)， 又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 根據(jù)公理3可得P∈DA， 即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線． 證明：如圖所示， 連接A1B，CD1.顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線． 考點(diǎn)2 平行關(guān)系 1．空間中平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 2．判斷線面平行的兩種常用方法 面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法： (1)利用線面平行的判定定理； (2)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面． 3．判斷面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ)； (3)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β)． [典例2]　 如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱B1B，D1D，DA的中點(diǎn)．求證： (1)平面AD1E∥平面BGF； (2)D1E⊥AC. 證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是B1B和D1D的中點(diǎn)， ∴D1F∥BE且D1F＝BE. ∴四邊形BED1F是平行四邊形，∴D1E∥BF. 又∵D1E?平面BGF，BF?平面BGF， ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位線， ∴FG∥AD1. 又AD1?平面BGF，F(xiàn)G?平面BGF， ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E＝D1， ∴平面AD1E∥平面BGF. (2)連接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1. ∵D1E?平面BDD1B1，∴D1E⊥AC. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 2．在多面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，三角形CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF＝BC. 求證：FO∥平面CDE. 證明：如圖所示，取CD中點(diǎn)M，連接OM, EM， 在矩形ABCD中，OM∥BC且OM＝BC， 又EF∥BC且EF＝BC，則EF∥OM且EF＝OM. 所以四邊形EFOM為平行四邊形，所以FO∥EM. 又因?yàn)镕O?平面CDE，EM?平面CDE， 所以FO∥平面CDE. 考點(diǎn)3 垂直關(guān)系 1．空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 2．判定線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理； (2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”； (3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”； (4)利用面面垂直的性質(zhì)． 3．判定線線垂直的方法 (1)平面幾何中證明線線垂直的方法； (2)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b； (3)線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b. 4．判斷面面垂直的方法 (1)利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. [典例3]　 (2016九江高一檢測(cè))如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 證明：(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1， CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)， 所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．(2016汕尾模擬)如圖所示：平面α，β，直線a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB. 求證：a⊥β. 證明： ∵a∥α，過(guò)a作平面γ交α于a′，則a∥a′. ∵a⊥AB， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β＝AB， ∴a′⊥β，∴a⊥β. 考點(diǎn)4 空 間 角 空間角的求法 (1)找異面直線所成的角的三種方法 ①利用圖中已有的平行線平移； ②利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移； ③補(bǔ)形平移． (2)線面角：求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足．通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形． [典例4]　 如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A, B的一動(dòng)點(diǎn)． (1)證明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為 時(shí)，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動(dòng)點(diǎn)． ∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC， ∴△BPC是直角三角形． (2)如圖，過(guò)A作AH⊥PC于H， ∵BC⊥平面PAC， ∴BC⊥AH，PC∩BC＝C， ∴AH⊥平面PBC， ∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成角， ∵PA⊥平面ABC， ∴∠PCA即是PC與平面ABC所成角， ∵tan∠PCA＝＝， 又PA＝2，∴AC＝， ∴在Rt△PAC中，AH＝＝， ∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝， 即直線AB與平面PBC所成角的正弦值為. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 4．如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90，AB≠AC，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，AC＞AD，設(shè)PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角PBCA的平面角為γ，則α、β、γ的大小關(guān)系是________． 解析：∵D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)， ∴DE∥AC，∴PC與DE所成的角為∠PCA，即α； ∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角為∠PDA，即β； 過(guò)A作AH⊥BC，垂足為H，連接PH，易證BC⊥平面PAH， ∴∠PHA是二面角PBCA的平面角，即γ. ∵AB≠AC， ∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH， ∴＜＜，∴tan α＜tan β＜tan γ， ∴α<β<γ. 答案：α<β<γ 考點(diǎn)5 折疊問(wèn)題 解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析折疊前后元素的位置變化情況，看看哪些元素的位置變了，哪些沒(méi)有變，基本思路是利用不變求變，一般步驟如下： (1)平面→空間：根據(jù)平面圖形折出滿足條件的空間圖形．想象出空間圖形，完成平面圖形與平面圖形在認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化． (2)空間→平面：為解決空間圖形問(wèn)題，要回到平面上來(lái)，重點(diǎn)分析元素的變與不變． (3)平面→空間：弄清楚變與不變的元素以后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系去探求變化后元素在空間中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系． [典例5]　 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起． (1)如果二面角ADEC是直二面角，求證：AB＝AC； (2)如果AB＝AC，求證：平面ADE⊥平面BCDE. 證明：(1)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M， 則AM⊥平面BCDE， ∴AM⊥BC.又AD＝AE， ∴M是DE的中點(diǎn)．取BC中點(diǎn)N，連接MN，AN，則MN⊥BC. 又AM⊥BC，AM∩MN＝M， ∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC. 又∵N是BC中點(diǎn)，∴AB＝AC. (2)取BC的中點(diǎn)N，連接AN. ∵AB＝AC，∴AN⊥BC. 取DE的中點(diǎn)M，連接MN，AM，∴MN⊥BC. 又AN∩MN＝N， ∴BC⊥平面AMN， ∴AM⊥BC. 又M是DE的中點(diǎn)，AD＝AE， ∴AM⊥DE. 又∵DE與BC是平面BCDE內(nèi)的相交直線， ∴AM⊥平面BCDE. ∵AM?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCDE. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 5．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，將其沿對(duì)角線BD折成直二面角． 求證：(1)AB⊥平面BCD； (2)平面ACD⊥平面ABD. 證明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a， ∴AB2＋BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90，∴AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面BCD. (2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BD， ∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵AB∩BD＝B， ∴CD⊥平面ABD. 又∵CD?平面ACD， ∴平面ACD⊥平面ABD. （時(shí)間120分鐘 滿分150分） 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列推理錯(cuò)誤的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A∈l，l?α?A∈α 解析：選C　若直線l∩α＝A，顯然有l(wèi) ?α，A∈l，但A∈α. 2．下列命題正確的是(　　) A．一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則此直線與平面垂直 B．兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面 C．直線與平面所成的角的取值范圍是：0＜θ≤180 D．兩異面直線所成的角的取值范圍是：0＜θ＜90. 解析：選B　A錯(cuò)誤．一直線與一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，并不意味著和平面內(nèi)的任意直線垂直，所以此直線與平面不一定垂直；B正確．由線面垂直的性質(zhì)定理可知，兩條異面直線不能同時(shí)垂直于一個(gè)平面；C錯(cuò)誤．直線與平面所成的角的取值范圍是：0≤θ≤90；D錯(cuò)誤．兩異面直線所成的角的取值范圍是：0＜θ≤90. 3．下列說(shuō)法不正確的是(　　) A．空間中，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形 B．同一平面的兩條垂線一定共面 C．過(guò)直線上一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一平面內(nèi) D．過(guò)一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直 解析：選D　如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，顯然選項(xiàng)D不正確，故選D. 4．(2016廣州模擬)在空間中，下列命題正確的是(　　) A．平行直線在同一平面內(nèi)的射影平行或重合 B．垂直于同一平面的兩條直線平行 C．垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 解析：選B　A中的射影也有可能是兩個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤；C中兩個(gè)平面也可能相交，錯(cuò)誤；D中的兩個(gè)平面也有可能相交，錯(cuò)誤．所以只有B正確． 5．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 解析：選B　CE?平面ACC1A1，而B(niǎo)D⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE. 6．(2016湖南師大附中高一檢測(cè))設(shè)α，β，γ為兩兩不重合的平面，l，m，n為兩兩不重合的直線，給出下列三個(gè)說(shuō)法： ①若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；②若α∥β，l?α，則l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：選B　垂直于同一平面的兩個(gè)平面不一定平行，故①錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)知②正確；借助于三棱柱可知③正確． 7．(2015安徽高考)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 解析：選D　A項(xiàng)，α，β可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若m?α，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，所以原命題正確，故D項(xiàng)正確． 8．(2016濮陽(yáng)質(zhì)檢)a、b、c為三條不重合的直線，α、β、γ為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題： ①?α∥β；②?α∥β；③?a∥α；④?α∥a. 其中正確的命題是(　　) A．①②③ B．①④ C．② D．①③④ 解析：選C?、谡_．①錯(cuò)在α與β可能相交．③④錯(cuò)在a可能在α內(nèi)． 9．在四面體ABCD中，已知棱AC的長(zhǎng)為 ，其余各棱長(zhǎng)都為1，則二面角ACDB的余弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　取AC的中點(diǎn)E，CD的中點(diǎn)F，則EF＝，BE＝，BF＝，∴△BEF為直角三角形，cos θ＝＝. 10．在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　在平面A1B1C1D1內(nèi)過(guò)點(diǎn)C1作B1D1的垂線，垂足為E，連接BE.?C1E⊥平面BDD1B1，∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值．∵BC1＝＝，C1E＝＝，∴sin∠C1BE＝＝＝. 11．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　球心O為AC中點(diǎn)，半徑為R＝AC＝，V＝πR3＝. 12．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：選D　易知△BCD中，∠DBC＝45，∴∠BDC＝90，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13. 長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系是________． 解析：由平面BCC1B1⊥平面ABCD，知MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AB. 答案：垂直 14．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN等于________． 解析：∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN?平面A1ABB1， ∴B1C1⊥MN，又∠B1MN為直角． ∴B1M⊥MN，而B(niǎo)1M∩B1C1＝B1. ∴MN⊥平面MB1C1，又MC1?平面MB1C1， ∴MN⊥MC1， ∴∠C1MN＝90. 答案：90 15．如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P為SB的中點(diǎn)，則異面直線SA與PD所成角的正切值為_(kāi)_______． 解析：連接PO，則PO∥SA，∴∠OPD即為異面直線SA與PD所成的角，且△OPD為直角三角形，∠POD為直角，∴tan∠OPD＝＝＝. 答案： 16．(2016福州高一檢測(cè)) 如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線) 解析：∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A、B的點(diǎn)，∴BC⊥AC，∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴AF⊥BC，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC. 答案：AF 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分) 如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)． 求證：(1)EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 證明：(1)∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)， ∴EF是△ABD的中位線， ∴EF∥AD， ∵EF?平面ACD，AD?平面ACD， ∴EF∥平面ACD. (2)∵AD⊥BD，EF∥AD， ∴EF⊥BD. ∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)， ∴CF⊥BD. 又EF∩CF＝F， ∴BD⊥平面EFC. ∵BD?平面BCD， ∴平面EFC⊥平面BCD. 18．(本小題滿分12分)(2016常德高一檢測(cè)) 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F(xiàn)，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 證明：(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中， ∵F，F(xiàn)1分別是AC，A1C1的中點(diǎn)， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F， ∴平面AB1F1∥平面C1BF. (2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， ∴B1F1⊥AA1. 又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B(niǎo)1F1?平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 19．(本小題滿分12分)(2016滁州質(zhì)檢)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE. (1)若F為線段D1A的中點(diǎn)，求證：EF∥平面D1BC； (2)求證：BE⊥D1A. 證明：(1)取AB的中點(diǎn)G，連接EG、FG，則EG∥BC，F(xiàn)G∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG?平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC?平面D1BC. ∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF?平面EFG，∴EF∥平面D1BC. (2)易證BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE， ∴BE⊥平面D1AE，且D1A?平面D1AE， ∴BE⊥D1A. 20．(本小題滿分12分)在三棱錐SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC. (1)求證：BD⊥平面SAC； (2)求二面角EBDC的大?。? 解：(1)證明：如圖， ∵DE⊥SC，且E為SC的中點(diǎn)， 又SB＝BC，∴BE⊥SC. 又DE∩BE＝E，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD?平面BDE， ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC， ∴SA⊥BD. 又SA∩SC＝S， ∴BD⊥平面SAC. (2)由(1)知∠EDC為二面角EBDC的平面角， 又△SAC∽△DEC， ∴∠EDC＝∠ASC. 在Rt△SAB中，∠SAB＝90， 設(shè)SA＝AB＝1，則SB＝. 由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A， ∴BC⊥平面SAB，SB?平面SAB， ∴BC⊥SB. 在Rt△SBC中，SB＝BC＝，∠SBC＝90，則SC＝2. 在Rt△SAC中，∠SAC＝90，SA＝1，SC＝2. ∴cos∠ASC＝＝. ∴∠ASC＝60，即二面角EBDC的大小為60. 21．(12分)(2015北京高考) 如圖，在三棱錐VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)． (1)求證：VB∥平面MOC； (2)求證：平面MOC⊥平面VAB； (3)求三棱錐VABC的體積． 解：(1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥VB. 又因?yàn)閂B?平面MOC，OM?平面MOC， 所以VB∥平面MOC. (2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)， 所以O(shè)C⊥AB. 又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC， 所以O(shè)C⊥平面VAB. 又OC?平面MOC， 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝， 所以AB＝2，OC＝1. 所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝. 又因?yàn)镺C⊥平面VAB， 所以三棱錐CVAB的體積等于OCS△VAB＝. 又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等，所以三棱錐VABC的體積為. 22．(12分)(2015天津高考) 如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn)． (1)求證：EF∥平面A1B1BA； (2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1； (3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。? 解：(1)證明：如圖，連接A1B. 在△A1BC中，因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn)， 所以EF∥BA1. 又因?yàn)镋F?平面A1B1BA， 所以EF∥平面A1B1BA. (2)證明：因?yàn)锳B＝AC，E為BC的中點(diǎn)， 所以AE⊥BC. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC，BB1∥AA1， 所以BB1⊥平面ABC， 從而B(niǎo)B1⊥AE. 又因?yàn)锽C∩BB1＝B， 所以AE⊥平面BCB1. 又因?yàn)锳E?平面AEA1， 所以平面AEA1⊥平面BCB1. (3)取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N，連接A1M，A1N，NE. 因?yàn)镹和E分別為B1C和BC的中點(diǎn)， 所以NE∥B1B，NE＝B1B， 故NE∥A1A且NE＝A1A， 所以A1N∥AE，且A1N＝AE. 又因?yàn)锳E⊥平面BCB1， 所以A1N⊥平面BCB1， 從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角． 在△ABC中，可得AE＝2， 所以A1N＝AE＝2. 因?yàn)锽M∥AA1，BM＝AA1， 所以A1M∥AB，A1M＝AB. 又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1. 在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4. 在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝， 因此∠A1B1N＝30. 所以，直線A1B1與平面BCB1所成的角為30.