2019高中數學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系章末小結與測評講義(含解析)新人教A版必修2.doc
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第二章 點、直線、平面之間的位置關系 考點1 共點、共線、共面問題 1.三點共線問題 證明空間三點共線問題,通常證明這些點都在兩個面的交線上,即先確定出某兩點在某兩個平面的交線上,再證第三點是兩個平面的公共點,則此點必在兩個平面的交線上. 2.共面問題 證明共面問題,一般有兩種證法:一是由某些元素確定一個平面,然后證明其余元素在這個平面內;二是分別由不同元素確定若干個平面,然后證明這些平面重合. 3.三線共點問題 證明三線共點問題,先證兩條直線交于一點,再證明第三條直線經過這點,把問題轉化為證明點在直線上的問題. [典例1] 在長方體ABCDA1B1C1D1 中,E為AB的中點,F(xiàn)為AA1的中點,求證:CE,D1F,DA三線交于一點. 證明: 連接EF,D1C,A1B. ∵E為AB的中點,F(xiàn)為AA1的中點, ∴EF∥A1B,EF=A1B. 又∵A1B∥D1C, ∴EF∥D1C, ∴E,F(xiàn),D1,C四點共面,且EF=D1C, ∴D1F與CE相交于點P. 又D1F?平面A1D1DA,CE?平面ABCD, ∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點, 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA, 根據公理3可得P∈DA, 即CE,D1F,DA三線交于一點. [對點訓練] 1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,設線段A1C與平面ABC1D1交于點Q,求證:B,Q,D1三點共線. 證明:如圖所示, 連接A1B,CD1.顯然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1. ∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1=Q, ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1, ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1,即B,Q,D1三點共線. 考點2 平行關系 1.空間中平行關系的相互轉化 2.判斷線面平行的兩種常用方法 面面平行判定的落腳點是線面平行,因此掌握線面平行的判定方法是必要的,判定線面平行的兩種方法: (1)利用線面平行的判定定理; (2)利用面面平行的性質,即當兩平面平行時,其中一平面內的任一直線平行于另一平面. 3.判斷面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理; (2)面面平行的傳遞性(α∥β,β∥γ?α∥γ); (3)利用線面垂直的性質(l⊥α,l⊥β?α∥β). [典例2] 如圖,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面是正方形,E,F(xiàn),G分別是棱B1B,D1D,DA的中點.求證: (1)平面AD1E∥平面BGF; (2)D1E⊥AC. 證明:(1)∵E,F(xiàn)分別是B1B和D1D的中點, ∴D1F∥BE且D1F=BE. ∴四邊形BED1F是平行四邊形,∴D1E∥BF. 又∵D1E?平面BGF,BF?平面BGF, ∴D1E∥平面BGF. ∵FG是△DAD1的中位線, ∴FG∥AD1. 又AD1?平面BGF,F(xiàn)G?平面BGF, ∴AD1∥平面BGF. 又∵AD1∩D1E=D1, ∴平面AD1E∥平面BGF. (2)連接BD,B1D1,∵底面是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥AC,D1D∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1. ∵D1E?平面BDD1B1,∴D1E⊥AC. [對點訓練] 2.在多面體ABCDEF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,三角形CDE是等邊三角形,棱EF∥BC且EF=BC. 求證:FO∥平面CDE. 證明:如圖所示,取CD中點M,連接OM, EM, 在矩形ABCD中,OM∥BC且OM=BC, 又EF∥BC且EF=BC,則EF∥OM且EF=OM. 所以四邊形EFOM為平行四邊形,所以FO∥EM. 又因為FO?平面CDE,EM?平面CDE, 所以FO∥平面CDE. 考點3 垂直關系 1.空間中垂直關系的相互轉化 2.判定線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理; (2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”; (3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則與另一個也垂直”; (4)利用面面垂直的性質. 3.判定線線垂直的方法 (1)平面幾何中證明線線垂直的方法; (2)線面垂直的性質:a⊥α,b?α?a⊥b; (3)線面垂直的性質:a⊥α,b∥α?a⊥b. 4.判斷面面垂直的方法 (1)利用定義:兩個平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β. [典例3] (2016九江高一檢測)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D不同于點C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點. 求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1; (2)直線A1F∥平面ADE. 證明:(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱, 所以CC1⊥平面ABC. 又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD. 又因為AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1, CC1∩DE=E, 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因為A1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點, 所以A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1, 所以CC1⊥A1F. 又因為CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE,A1F?平面ADE, 所以A1F∥平面ADE. [對點訓練] 3.(2016汕尾模擬)如圖所示:平面α,β,直線a,且α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB. 求證:a⊥β. 證明: ∵a∥α,過a作平面γ交α于a′,則a∥a′. ∵a⊥AB, ∴a′⊥AB. ∵α⊥β,α∩β=AB, ∴a′⊥β,∴a⊥β. 考點4 空 間 角 空間角的求法 (1)找異面直線所成的角的三種方法 ①利用圖中已有的平行線平移; ②利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移; ③補形平移. (2)線面角:求斜線與平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內的射影,即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足.通常是解由斜線段,垂線段,斜線在平面內的射影所組成的直角三角形. [典例4] 如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A, B的一動點. (1)證明:△PBC是直角三角形; (2)若PA=AB=2,且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為 時,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值. 解:(1)證明:∵AB是⊙O的直徑,C是圓周上不同于A,B的一動點. ∴BC⊥AC, ∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,又PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC, ∴△BPC是直角三角形. (2)如圖,過A作AH⊥PC于H, ∵BC⊥平面PAC, ∴BC⊥AH,PC∩BC=C, ∴AH⊥平面PBC, ∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成角, ∵PA⊥平面ABC, ∴∠PCA即是PC與平面ABC所成角, ∵tan∠PCA==, 又PA=2,∴AC=, ∴在Rt△PAC中,AH==, ∴在Rt△ABH中,sin∠ABH===, 即直線AB與平面PBC所成角的正弦值為. [對點訓練] 4.如圖,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90,AB≠AC,D、E分別是BC、AB的中點,AC>AD,設PC與DE所成的角為α,PD與平面ABC所成的角為β,二面角PBCA的平面角為γ,則α、β、γ的大小關系是________. 解析:∵D、E分別是BC、AB的中點, ∴DE∥AC,∴PC與DE所成的角為∠PCA,即α; ∵PA⊥平面ABC,∴PD與平面ABC所成的角為∠PDA,即β; 過A作AH⊥BC,垂足為H,連接PH,易證BC⊥平面PAH, ∴∠PHA是二面角PBCA的平面角,即γ. ∵AB≠AC, ∴AD>AH,又AC>AD,∴AC>AD>AH, ∴<<,∴tan α<tan β<tan γ, ∴α<β<γ. 答案:α<β<γ 考點5 折疊問題 解決折疊問題的關鍵在于認真分析折疊前后元素的位置變化情況,看看哪些元素的位置變了,哪些沒有變,基本思路是利用不變求變,一般步驟如下: (1)平面→空間:根據平面圖形折出滿足條件的空間圖形.想象出空間圖形,完成平面圖形與平面圖形在認識上的轉化. (2)空間→平面:為解決空間圖形問題,要回到平面上來,重點分析元素的變與不變. (3)平面→空間:弄清楚變與不變的元素以后,再立足于不變的元素的位置關系、數量關系去探求變化后元素在空間中的位置關系與數量關系. [典例5] 如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E是AB的中點,沿DE將△ADE折起. (1)如果二面角ADEC是直二面角,求證:AB=AC; (2)如果AB=AC,求證:平面ADE⊥平面BCDE. 證明:(1)過點A作AM⊥DE于點M, 則AM⊥平面BCDE, ∴AM⊥BC.又AD=AE, ∴M是DE的中點.取BC中點N,連接MN,AN,則MN⊥BC. 又AM⊥BC,AM∩MN=M, ∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC. 又∵N是BC中點,∴AB=AC. (2)取BC的中點N,連接AN. ∵AB=AC,∴AN⊥BC. 取DE的中點M,連接MN,AM,∴MN⊥BC. 又AN∩MN=N, ∴BC⊥平面AMN, ∴AM⊥BC. 又M是DE的中點,AD=AE, ∴AM⊥DE. 又∵DE與BC是平面BCDE內的相交直線, ∴AM⊥平面BCDE. ∵AM?平面ADE, ∴平面ADE⊥平面BCDE. [對點訓練] 5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=a,AC∩BD=E,將其沿對角線BD折成直二面角. 求證:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD. 證明:(1)在△ABD中,AB=a,AD=2a,BD=a, ∴AB2+BD2=AD2, ∴∠ABD=90,∴AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD, ∴AB⊥平面BCD. (2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形,且AB⊥BD, ∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD. 又∵AB∩BD=B, ∴CD⊥平面ABD. 又∵CD?平面ACD, ∴平面ACD⊥平面ABD. (時間120分鐘 滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.下列推理錯誤的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A∈l,l?α?A∈α 解析:選C 若直線l∩α=A,顯然有l(wèi) ?α,A∈l,但A∈α. 2.下列命題正確的是( ) A.一直線與一個平面內的無數條直線垂直,則此直線與平面垂直 B.兩條異面直線不能同時垂直于一個平面 C.直線與平面所成的角的取值范圍是:0<θ≤180 D.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0<θ<90. 解析:選B A錯誤.一直線與一個平面內的無數條直線垂直,并不意味著和平面內的任意直線垂直,所以此直線與平面不一定垂直;B正確.由線面垂直的性質定理可知,兩條異面直線不能同時垂直于一個平面;C錯誤.直線與平面所成的角的取值范圍是:0≤θ≤90;D錯誤.兩異面直線所成的角的取值范圍是:0<θ≤90. 3.下列說法不正確的是( ) A.空間中,一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形 B.同一平面的兩條垂線一定共面 C.過直線上一點可以作無數條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一平面內 D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直 解析:選D 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AD⊥平面DCC1D1,因此平面ABCD、平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,顯然選項D不正確,故選D. 4.(2016廣州模擬)在空間中,下列命題正確的是( ) A.平行直線在同一平面內的射影平行或重合 B.垂直于同一平面的兩條直線平行 C.垂直于同一平面的兩個平面平行 D.平行于同一直線的兩個平面平行 解析:選B A中的射影也有可能是兩個點,錯誤;C中兩個平面也可能相交,錯誤;D中的兩個平面也有可能相交,錯誤.所以只有B正確. 5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 解析:選B CE?平面ACC1A1,而BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥CE. 6.(2016湖南師大附中高一檢測)設α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,給出下列三個說法: ①若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β;②若α∥β,l?α,則l∥β;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n.其中正確的說法個數是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:選B 垂直于同一平面的兩個平面不一定平行,故①錯誤;由面面平行的性質知②正確;借助于三棱柱可知③正確. 7.(2015安徽高考)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同平面,則下列命題正確的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若α,β不平行,則在α內不存在與β平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 解析:選D A項,α,β可能相交,故錯誤;B項,直線m,n的位置關系不確定,可能相交、平行或異面,故錯誤;C項,若m?α,α∩β=n,m∥n,則m∥β,故錯誤;D項,假設m,n垂直于同一平面,則必有m∥n,所以原命題正確,故D項正確. 8.(2016濮陽質檢)a、b、c為三條不重合的直線,α、β、γ為三個不重合的平面,現(xiàn)給出四個命題: ①?α∥β;②?α∥β;③?a∥α;④?α∥a. 其中正確的命題是( ) A.①②③ B.①④ C.② D.①③④ 解析:選C?、谡_.①錯在α與β可能相交.③④錯在a可能在α內. 9.在四面體ABCD中,已知棱AC的長為 ,其余各棱長都為1,則二面角ACDB的余弦值為( ) A. B. C. D. 解析:選C 取AC的中點E,CD的中點F,則EF=,BE=,BF=,∴△BEF為直角三角形,cos θ==. 10.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為( ) A. B. C. D. 解析:選D 在平面A1B1C1D1內過點C1作B1D1的垂線,垂足為E,連接BE.?C1E⊥平面BDD1B1,∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.∵BC1==,C1E==,∴sin∠C1BE===. 11.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD,則四面體ABCD的外接球的體積為( ) A. B. C. D. 解析:選C 球心O為AC中點,半徑為R=AC=,V=πR3=. 12.如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45,∠BAD=90,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成四面體ABCD,則在四面體ABCD中,下列結論正確的是( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 解析:選D 易知△BCD中,∠DBC=45,∴∠BDC=90,又平面ABD⊥平面BCD,而CD⊥BD,∴CD⊥平面ABD,∴AB⊥CD,而AB⊥AD,CD∩AD=D,∴AB⊥平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13. 長方體ABCDA1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內,MN⊥BC于M,則MN與AB的位置關系是________. 解析:由平面BCC1B1⊥平面ABCD,知MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AB. 答案:垂直 14.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是棱AA1和AB上的點,若∠B1MN是直角,則∠C1MN等于________. 解析:∵B1C1⊥平面A1ABB1,MN?平面A1ABB1, ∴B1C1⊥MN,又∠B1MN為直角. ∴B1M⊥MN,而B1M∩B1C1=B1. ∴MN⊥平面MB1C1,又MC1?平面MB1C1, ∴MN⊥MC1, ∴∠C1MN=90. 答案:90 15.如圖,圓錐SO中,AB、CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P為SB的中點,則異面直線SA與PD所成角的正切值為________. 解析:連接PO,則PO∥SA,∴∠OPD即為異面直線SA與PD所成的角,且△OPD為直角三角形,∠POD為直角,∴tan∠OPD===. 答案: 16.(2016福州高一檢測) 如圖,AB是⊙O的直徑,C是圓周上不同于A、B的點,PA垂直于⊙O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此,________⊥平面PBC.(填圖中的一條直線) 解析:∵AB是⊙O的直徑,C是圓周上不同于A、B的點,∴BC⊥AC,∵PA垂直于⊙O所在的平面,∴BC⊥PA,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,AF?平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C,∴AF⊥平面PBC. 答案:AF 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分) 如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分別是AB、BD的中點. 求證:(1)EF∥平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD. 證明:(1)∵E,F(xiàn)分別是AB,BD的中點, ∴EF是△ABD的中位線, ∴EF∥AD, ∵EF?平面ACD,AD?平面ACD, ∴EF∥平面ACD. (2)∵AD⊥BD,EF∥AD, ∴EF⊥BD. ∵CB=CD,F(xiàn)是BD的中點, ∴CF⊥BD. 又EF∩CF=F, ∴BD⊥平面EFC. ∵BD?平面BCD, ∴平面EFC⊥平面BCD. 18.(本小題滿分12分)(2016常德高一檢測) 如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,F(xiàn),F(xiàn)1分別是AC,A1C1的中點. 求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF; (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 證明:(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中, ∵F,F(xiàn)1分別是AC,A1C1的中點, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面AB1F1∥平面C1BF. (2)在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1, ∴B1F1⊥AA1. 又B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面ACC1A1,而B1F1?平面AB1F1, ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 19.(本小題滿分12分)(2016滁州質檢)矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為CD的中點,沿AE將△DAE折起到△D1AE的位置,使平面D1AE⊥平面ABCE. (1)若F為線段D1A的中點,求證:EF∥平面D1BC; (2)求證:BE⊥D1A. 證明:(1)取AB的中點G,連接EG、FG,則EG∥BC,F(xiàn)G∥D1B,且EG∩FG=G,EG、FG?平面EFG;D1B∩BC=B,D1B、BC?平面D1BC. ∴平面EFG∥平面D1BC,注意到EF?平面EFG,∴EF∥平面D1BC. (2)易證BE⊥EA,平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE, ∴BE⊥平面D1AE,且D1A?平面D1AE, ∴BE⊥D1A. 20.(本小題滿分12分)在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E,又SA=AB,SB=BC. (1)求證:BD⊥平面SAC; (2)求二面角EBDC的大?。? 解:(1)證明:如圖, ∵DE⊥SC,且E為SC的中點, 又SB=BC,∴BE⊥SC. 又DE∩BE=E,根據直線與平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE,BD?平面BDE, ∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC,BD?平面ABC, ∴SA⊥BD. 又SA∩SC=S, ∴BD⊥平面SAC. (2)由(1)知∠EDC為二面角EBDC的平面角, 又△SAC∽△DEC, ∴∠EDC=∠ASC. 在Rt△SAB中,∠SAB=90, 設SA=AB=1,則SB=. 由SA⊥BC,AB⊥BC,AB∩SA=A, ∴BC⊥平面SAB,SB?平面SAB, ∴BC⊥SB. 在Rt△SBC中,SB=BC=,∠SBC=90,則SC=2. 在Rt△SAC中,∠SAC=90,SA=1,SC=2. ∴cos∠ASC==. ∴∠ASC=60,即二面角EBDC的大小為60. 21.(12分)(2015北京高考) 如圖,在三棱錐VABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC,且AC=BC=,O,M分別為AB,VA的中點. (1)求證:VB∥平面MOC; (2)求證:平面MOC⊥平面VAB; (3)求三棱錐VABC的體積. 解:(1)證明:因為O,M分別為AB,VA的中點, 所以OM∥VB. 又因為VB?平面MOC,OM?平面MOC, 所以VB∥平面MOC. (2)證明:因為AC=BC,O為AB的中點, 所以OC⊥AB. 又因為平面VAB⊥平面ABC,且OC?平面ABC, 所以OC⊥平面VAB. 又OC?平面MOC, 所以平面MOC⊥平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=, 所以AB=2,OC=1. 所以等邊三角形VAB的面積S△VAB=. 又因為OC⊥平面VAB, 所以三棱錐CVAB的體積等于OCS△VAB=. 又因為三棱錐VABC的體積與三棱錐CVAB的體積相等,所以三棱錐VABC的體積為. 22.(12分)(2015天津高考) 如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,點E和F分別為BC和A1C的中點. (1)求證:EF∥平面A1B1BA; (2)求證:平面AEA1⊥平面BCB1; (3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大?。? 解:(1)證明:如圖,連接A1B. 在△A1BC中,因為E和F分別是BC和A1C的中點, 所以EF∥BA1. 又因為EF?平面A1B1BA, 所以EF∥平面A1B1BA. (2)證明:因為AB=AC,E為BC的中點, 所以AE⊥BC. 因為AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1, 所以BB1⊥平面ABC, 從而BB1⊥AE. 又因為BC∩BB1=B, 所以AE⊥平面BCB1. 又因為AE?平面AEA1, 所以平面AEA1⊥平面BCB1. (3)取BB1的中點M和B1C的中點N,連接A1M,A1N,NE. 因為N和E分別為B1C和BC的中點, 所以NE∥B1B,NE=B1B, 故NE∥A1A且NE=A1A, 所以A1N∥AE,且A1N=AE. 又因為AE⊥平面BCB1, 所以A1N⊥平面BCB1, 從而∠A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角. 在△ABC中,可得AE=2, 所以A1N=AE=2. 因為BM∥AA1,BM=AA1, 所以A1M∥AB,A1M=AB. 又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1. 在Rt△A1MB1中,可得A1B1==4. 在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N==, 因此∠A1B1N=30. 所以,直線A1B1與平面BCB1所成的角為30.- 配套講稿:
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