2018-2019高中數(shù)學 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明學案 蘇教版必修5.docx

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3.4.1　基本不等式的證明 學習目標　1.理解基本不等式的內容及證明.2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式． 知識點一　算術平均數(shù)與幾何平均數(shù) 思考　如圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQ＝a，BQ＝b，過點Q作PQ垂直于AB且交圓O于點P，連結AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？ 答案　PO＝＝.易證Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQQB，即PQ＝. 梳理　一般地，對于正數(shù)a，b，為a，b的算術平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)．兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即≤. 知識點二　基本不等式及其常見推論 ≤(a≥0，b≥0)．當對正數(shù)a，b賦予不同的值時，可得以下推論： (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同號)； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 1．對于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．() 2.≥.(√) 3．若a>0，b>0，則ab≤恒成立．() 類型一　常見推論的證明 例1　證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究 證明不等式2≤(a，b∈R)． 證明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 兩邊同除以4，即得2≤，當且僅當a＝b時，取等號． 反思與感悟　作差法與不等式性質是證明中常用的方法． 跟蹤訓練1　已知a，b，c為任意的實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 類型二　用基本不等式證明不等式 例2　已知x，y都是正數(shù)． 求證：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　(1)∵x，y都是正數(shù)， ∴>0，>0， ∴＋≥2＝2，即＋≥2， 當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立． (2)∵x，y都是正數(shù)， ∴x＋y≥2>0， x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥222＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立． 反思與感悟　利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項： (1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用． 跟蹤訓練2　已知a，b，c都是正實數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正實數(shù)， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥222＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 類型三　用基本不等式比較大小 例3　某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x(a，b，x均大于零)，則x與的大小關系為________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　x≤ 解析　第二年產(chǎn)量為A＋Aa＝A(1＋a)， 第三年產(chǎn)量為A(1＋a)＋A(1＋a)b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增長率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1＋x)2. 依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a＞0，b＞0，x＞0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2， ∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(當且僅當a＝b時，等號成立)． 反思與感悟　基本不等式≥一端為和，一端為積，使用基本不等式比較大小要擅于利用這個橋梁化和為積或者化積為和． 跟蹤訓練3　設a＞b＞1，P＝，Q＝， R＝lg，則P，Q，R的大小關系是____________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　P0， ∴l(xiāng)g＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q.② 綜合①②，有Pa＋b，∴b>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. ∵b>a>0，∴>.故b>>>a. 2．下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是______． ①lg(x2＋1)≥lg(2x); ②x2＋1>2x； ③≤1; ④x＋≥2. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、? 解析　對于①，當x≤0時，無意義，故①不恒成立；對于②，當x＝1時，x2＋1＝2x，故②不成立；對于④，當x<0時，不成立；對于③，x2＋1≥1，∴≤1成立． 3．四個不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則與中的較小者為______． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　 解析　因為a，b，c，d成等差數(shù)列，則a＋d＝b＋c，又因為a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>. 4．lg9lg11與1的大小關系是______________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　lg9lg11<1 解析　∵lg9>0，lg11>0， ∴l(xiāng)g9lg11≤2＝2 ＝2<2＝1， 即lg9lg11<1. 5．設a>0，b>0，給出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4； ③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序號) 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　①②③ 解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立； 由于a＋≥2，b＋≥2， ∴≥4，當且僅當a＝b＝1時，等號成立，故②恒成立； 由于a＋b≥2，＋≥2， 故(a＋b)≥4，當且僅當a＝b時，等號成立，故③恒成立； 當a＝3時，a2＋9＝6a，故④不恒成立． 綜上，恒成立的是①②③. 1．兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當…時，取等號”這句話的含義要有正確的理解．一方面：當a＝b時，＝；另一方面：當＝時，也有a＝b. 2.在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或把恒等式變形配湊成適當?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式． 一、填空題 1．a(chǎn)，b∈R，則a2＋b2與2|ab|的大小關系是____________． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　a2＋b2≥2|ab| 解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當且僅當|a|＝|b|時，等號成立)． 2．若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中恒成立的是______． ①a2＋b2>2ab; ②a＋b≥2； ③＋>；④＋≥2. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、? 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯誤； 對于②，③，當a<0，b<0時，顯然錯誤； 對于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2， 當且僅當a＝b時，等號成立． 3．若x>0，y>0且x＋y＝4，則＋的最小值為______． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　1 解析　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1， ∴＋＝(x＋y) ＝≥(2＋2)＝1， 當且僅當x＝y(tǒng)＝2時，等號成立． 4．如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么ab________c＋d.(填≥，≤) 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　≤ 解析　因為a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因為cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，當且僅當a＝b＝c＝d＝2時，等號成立． 5．設f(x)＝lnx,0. 又因為f(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調遞增， 所以f>f()，即p1,01,00. ∴－logab－logba＝－logab－ ≥2＝2. ∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2. 當且僅當logab＝logba，即ab＝1時，取等號． ∴l(xiāng)ogab＋logba∈(－∞，－2]． 7．設正數(shù)a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，則logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)， ∴y＝logax是增函數(shù)， 又≥，∴l(xiāng)oga≥loga＝logat. 8．設a，b為非零實數(shù)，給出不等式： ①≥ab；②≥2；③≥； ④＋≥2.其中恒成立的不等式是________． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、佗? 解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；＝＝≥＝＝2，可知②正確；當a＝b＝－1時，不等式的左邊為＝－1，右邊為＝－，可知③不正確；當a＝1，b＝－1時，可知④不正確． 9．已知a＞b＞c，則與的大小關系是______________________________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　因為a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，當且僅當a－b＝b－c時，等號成立． 10．設a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關系是________．(用“＞”連接) 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　m＞p＞n 解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1， ∴l(xiāng)oga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n. 二、解答題 11．設a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正數(shù)， ∴，，也都是正數(shù)， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8；(2)≥9. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當且僅當a＝b＝時，等號成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(當且僅當a＝b＝時，等號成立)． 方法二?。?＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，當且僅當a＝b＝時，等號成立． 13．已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1. 求證：≥8. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c均為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘得 ≥＝8. 當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立． 三、探究與拓展 14．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為______． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　2 解析　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0， ∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2. 當且僅當b＝2a＝2時，等號成立． 15．設x，y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則x＋y的最小值為____________． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　2(＋1) 解析　∵x，y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，當且僅當x＝y(tǒng)＝1＋時取等號．