2019版高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2 點、線、面之間的位置關系 1.2.3 第1課時 直線與平面垂直練習 新人教B版必修2.doc

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第一課時　直線與平面垂直 1.在下列四個正方體中,滿足AB⊥CD的是(　A　) 解析:在選項B、C、D圖中,分別平移AB使之與CD相交,則交角都不是直角,可排除選項B、C、D.故選A. 2.經(jīng)過平面α外一點作平面α的垂線,則(　A　) (A)有且只有1條 (B)可作無數(shù)條 (C)1條或無數(shù)條 (D)最多2條 解析:利用直線和平面垂直的性質(zhì)可知只有1條. 3.在四面體PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分別為AB,BC,CA的中點,下列結(jié)論中不成立的是(　D　) (A)BC∥平面PDF (B)BC⊥平面PAE (C)DF⊥平面PAE (D)AE⊥平面APC 解析:因為D,F分別為AB,AC的中點, 所以DF∥BC, 因為DF?平面PDF,BC?平面PDF, 故BC∥平面PDF,故A項正確, 又AB=AC,PB=PC,E為BC的中點, 所以AE⊥BC,PE⊥BC, 而AE∩PE=E, 所以BC⊥平面PAE, 又DF∥BC, 所以DF⊥平面PAE,故B、C項正確, 由于AE與AP不垂直, 故AE與平面APC不垂直.選D. 4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E為BD上一點,PE⊥DE,則PE的長為(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:如圖所示,連接AE. 因為PA⊥平面ABCD, BD?平面ABCD,所以PA⊥BD. 又因為BD⊥PE,PA∩PE=P, 所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE. 所以AE==. 所以在Rt△PAE中, 由PA=1,AE=,得PE=. 5.已知下列命題(其中a,b為直線,α為平面): ①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個平面垂直; ②若一條直線平行于一個平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面; ③若a∥α,b⊥α,則a⊥b; ④若a⊥b,則過b有唯一一個平面α與a垂直. 其中真命題有:　　　　. 解析:①不正確,因為這無數(shù)條直線可能是一組平行線;②不正確,和此直線垂直的直線與平面可能平行也可能相交;③正確;④正確. 答案:③④ 6.如圖所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于　　　　. 解析:因為PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥QD, 又因為PQ⊥QD,PA∩PQ=P, 所以QD⊥平面PAQ. 所以AQ⊥QD, 即Q在以AD為直徑的圓上,當圓與BC相切時,點Q只有一個, 故BC=2AB=2. 答案:2 7.已知直線a,b和平面α,下列推論不正確的是(　D　) (A)?a⊥b (B)?b⊥α (C)?a∥α或a?α (D)?a∥b 解析:D不正確,因為直線與平面平行,直線不一定與平面內(nèi)的所有直線平行. 8.已知平面α∩平面β=l,EA⊥α于A,EB⊥β于B,a?α,a⊥AB,則直線a與l的位置關系是　　　　. 解析:由EA⊥α,EB⊥β知l⊥EA,l⊥EB, 從而l⊥平面EAB, 而a⊥AB,a⊥EA, 所以a⊥平面EAB, 所以l∥a. 答案:平行 9.如圖所示,PA⊥平面ABC,M,N分別為PC,AB的中點,使得MN⊥AC的一個條件為　　　　. 解析:取AC中點Q,連接MQ,NQ, 則MQ∥AP,NQ∥BC, 由已知條件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,則NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN. 答案:AC⊥BC 10.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點E是棱BC的中點,點F是棱CD上的動點.試確定點F的位置,使得D1E⊥平面AB1F. 解:連接A1B、CD1, 則AB1⊥A1B, 所以AB1⊥平面A1BCD1. 又D1E?平面A1BCD1, 所以D1E⊥AB1. 于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF. 連接DE, 又D1D⊥AF,D1E∩D1D=D1, 所以AF⊥平面EDD1, 所以DE⊥AF. 因為四邊形ABCD是正方形,E是BC的中點, 所以,當且僅當F是CD的中點時,DE⊥AF,即當點F是CD的中點時,D1E⊥平面AB1F. 11.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1, BB1,A1B1,A1D1的中點.求證: (1)直線BC1∥平面EFPQ; (2)直線AC1⊥平面PQMN. 解:(1)如圖,連接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方體, 知AD1∥BC1, 因為F,P分別是AD,DD1的中點, 所以FP∥AD1.從而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ, 且BC1?平面EFPQ, 故直線BC1∥平面EFPQ. (2)如圖,連接AC,BD, 則AC⊥BD. 由CC1⊥平面ABCD, BD?平面ABCD, 可得CC1⊥BD. 又AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1. 而AC1?平面ACC1,所以BD⊥AC1. 連接B1D1,因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點, 所以MN∥B1D1, 故MN∥BD,從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1. 又PN∩MN=N,所以直線AC1⊥平面PQMN. 12.(2017全國Ⅲ卷)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形, AD=CD. (1)證明:AC⊥BD; (2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合的點,且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比. 解:(1)取AC的中點O,連接DO,BO. 因為AD=CD,所以AC⊥DO, 又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO, 從而AC⊥平面DOB,又BD?平面DOB,所以AC⊥BD. (2)連接EO. 由(1)及題設知∠ADC=90,所以DO=AO. 在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2, 又AB=BD, 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故∠DOB=90, 由題設知△AEC為直角三角形,所以EO=AC, 又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD. 故E為BD的中點,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面ACDE的體積之比為1∶1.