高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何階段復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21

第三課空間向量與立體幾何核心速填1空間向量的有關(guān)定理和推論(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共線向量定理的推論：若，不共線，則P，A，B三點(diǎn)共線的充要條件是，且1.(3)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得pxayb.(4)共面向量定理的推論：已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是xyz(其中xyz1)(5)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，其中a，b，c叫做空間的一個(gè)基底2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要結(jié)論：ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.3模、夾角和距離公式(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|；cosa，b.(2)設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則dAB|.4空間向量的結(jié)論與線面位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)設(shè)直線l的方向向量是u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，則luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)(2)設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.5空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大?。?)如圖31，AB，CD是二面角l的兩個(gè)半平面，內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，圖31()如圖31，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2體系構(gòu)建題型探究空間向量的基本概念及運(yùn)算如圖32，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：圖320；0；0；0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_解析容易推出0，所以正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序號(hào)是.答案規(guī)律方法1.空間向量的線性運(yùn)算包括加、減及數(shù)乘運(yùn)算，選定空間不共面的三個(gè)向量作為基向量，并用它們表示出目標(biāo)向量，這是用向量法解決立體幾何問(wèn)題的基本要求，解題時(shí)可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運(yùn)算法則表示所需向量2空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達(dá)式ab|a|b|cosa，b及其變式cosa，b是兩個(gè)重要公式(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問(wèn)題的重要公式，如a2|a|2，a在b上的投影|a|cos 等跟蹤訓(xùn)練1.如圖33，已知ABCDABCD是平行六面體設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCCB對(duì)角線BC上的分點(diǎn)，設(shè)，則_.圖33連接BD，則M為BD的中點(diǎn)，()()()().，.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，則x()A(0,3，6)B(0,6，20)C(0,6，6)D(6,6，6)(2)已知向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，ab，bC求向量a，b，c；求ac與bc所成角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342183】解析(1)由bx2a得x4a2b，又4a2b4(2,3，4)2(4，3，2)(0,6，20)，所以x(0,6，20)答案B(2)向量a(x,1,2)，b(1，y，2)，c(3,1，z)，且ab，bc，解得向量a(1,1,2)，b(1，1，2)，c(3,1,1)ac(2,2,3)，bc(4,0，1)，(ac)(bc)24203(1)5，|ac|，|bc|，ac與bc所成角的余弦值為.規(guī)律方法熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)加減運(yùn)算：ab(x1x2，y1y2，z1z2).(2)數(shù)量積運(yùn)算：abx1x2y1y2z1z2.(3)向量夾角：cosa，b.(4)向量長(zhǎng)度：設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則|.提醒：在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時(shí)注意先對(duì)向量式子進(jìn)行化簡(jiǎn)再運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC一定是()A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形C(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，|，|，|，|2|2|2，ABC一定為直角三角形利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題在四棱錐PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M為PC的中點(diǎn)(1)求證：BM平面PAD；(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說(shuō)明理由思路探究(1)證明向量垂直于平面PAD的一個(gè)法向量即可；(2)假設(shè)存在點(diǎn)N，設(shè)出其坐標(biāo)，利用，列方程求其坐標(biāo)即可解以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，(1)證明：(0,1,1)，平面PAD的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，n0，即n，又BM平面PAD，BM平面PAD(2)(1,2,0)，(1,0，2)，假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD設(shè)N(0，y，z)，則(1，y1，z1)，從而MNBD，MNPB，即N，在平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN平面PBD規(guī)律方法利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系(1)線線平行：證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量(2)線線垂直：證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直(3)線面平行：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示(4)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題(5)面面平行：證明兩個(gè)平面的法向量平行(即是共線向量)；轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題(6)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直；轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3如圖34，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在BB1，DD1上，且AMA1B，ANA1D圖34(1)求證：A1C平面AMN.(2)當(dāng)AB2，AD2，A1A3時(shí)，問(wèn)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)P使得C1P平面AMN，若存在，試確定P的位置. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342184】解(1)證明：因?yàn)镃B平面AA1B1B，AM平面AA1B1B，所以CBAM，又因?yàn)锳MA1B，A1BCBB，所以AM平面A1BC，所以A1CAM，同理可證A1CAN，又AMANA，所以A1C平面AMN.(2)以C為原點(diǎn)，CD所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B2，AD2，A1A3，所以C(0,0,0)，A1(2,2,3)，C1(0,0,3)，(2,2,3)，由(1)知CA1平面AMN，故平面AMN的一個(gè)法向量為(2,2,3)設(shè)線段AA1上存在一點(diǎn)P(2,2，t)，使得C1P平面AMN，則(2,2，t3)，因?yàn)镃1P平面AMN，所以443t90，解得t.所以P，所以線段AA1上存在一點(diǎn)P，使得C1P平面AMN.利用空間向量求空間角如圖35，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CDBE，O為BC的中點(diǎn)將ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐ABCDE，其中AO.(1)(2)圖35(1)證明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值思路探究(1)利用勾股定理可證AOOD，AOOE，從而證得AO平面BCDE；(2)用“三垂線”法作二面角的平面角后求解或用向量法求兩個(gè)平面的法向量的夾角解(1)證明：由題意，得OC3，AC3，AD2.如圖，連接OD，OE，在OCD中，由余弦定理，得OD.由翻折不變性，知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD同理可證AOOE.又因?yàn)镺DOEO，所以AO平面BCDE.(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O作OHCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH.因?yàn)锳O平面BCDE，OHCD，所以AHCD所以AHO為二面角ACDB的平面角結(jié)合圖(1)可知，H為AC的中點(diǎn)，故OH，從而AH.所以cosAHO.所以二面角ACDB的平面角的余弦值為.規(guī)律方法 用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0<90，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量n與直線a的方向向量a夾角的余弦cosn，a，易知n，a或者n，a(3)二面角：如圖36，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先應(yīng)判斷二面角是銳角還是鈍角圖36跟蹤訓(xùn)練4在如圖37所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線圖37(1)已知G，H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH平面ABC(2)已知EFFBAC2，ABBC，求二面角FBCA的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342185】解(1)證明：設(shè)CF的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在CEF中，因?yàn)辄c(diǎn)G，I分別是CE，CF的中點(diǎn)，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB在CFB中，因?yàn)镠，I分別是FB，CF的中點(diǎn)，所以HIBC又HIGII，BCOBB，所以平面GHI平面ABC因?yàn)镚H平面GHI，所以GH平面ABC(2)連接OO，則OO平面ABC又ABBC，且AC是圓O的直徑，所以BOAC以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得B(0,2，0)，C(2，0,0)過(guò)點(diǎn)F作FMOB于點(diǎn)M，所以FM3，可得F(0，3)故(2，2，0)，(0，3)設(shè)m(x，y，z)是平面BCF的法向量由可得可得平面BCF的一個(gè)法向量m.因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n(0,0,1)，所以cosm，n，所以二面角FBCA的余弦值為.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375