高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)12 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(十二) 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)(1，－)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．y2＝－2x　　　　 B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B　[由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ax，則(－)2＝a，解得a＝2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x，故選B．] 2．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在雙曲線－＝1上，則拋物線的方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342108】 A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝8x D　[由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

2、為(2,0)或(－2,0)，因此拋物線方程為y2＝8x.] 3．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4　　 B．6　　　　C．8　　　　D．12 B　[拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為6，即點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是6.] 4．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ C　[拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，則焦點(diǎn)為F(2,0)．從而kAF＝＝－.] 5．如圖242，南北方向的公路l，A地在公路正東2 km處，

3、B地在A東偏北30方向2km處，河流沿岸曲線PQ上任意一點(diǎn)到公路l和到A地距離相等．現(xiàn)要在曲線PQ上建一座碼頭，向A、B兩地運(yùn)貨物，經(jīng)測算，從M到A、到B修建費(fèi)用都為a萬元/km，那么，修建這條公路的總費(fèi)用最低是(　　)萬元． 圖242 A．(2＋)a B．2(＋1)a C．5a D．6a C　[依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、l為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線的定義知：欲求從M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只須求出B到直線l距離即可，因B地在A地東偏北30方向2km處， ∴B到點(diǎn)A的水平距離為3(km)， ∴B到直線l距離為：3＋2＝5(km)， 那么修建這兩條公路的總費(fèi)用最低為：5

4、a(萬元)，故選C．] 二、填空題 6．拋物線y＝2x2的準(zhǔn)線方程為________． y＝－　[化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，故＝，開口向上， ∴準(zhǔn)線方程為y＝－.] 7．拋物線y＝－x2上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________． 4　[拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，準(zhǔn)線方程為y＝1，則|MF|的長度等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線y＝1的距離，從而點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F，E的距離之和的最小值為點(diǎn)E(1，－3)到直線y＝1的距離．即最小值為4.] 8．對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐

5、標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)． 其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號(hào)) ②④　[拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上的一點(diǎn)，則|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)為，過該焦點(diǎn)的直線方程為y＝k，若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k＝－2，此時(shí)存在，所以④滿足．] 三、解答題 9．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，求k的值． [解]　根據(jù)拋物線的方程求出焦

6、點(diǎn)坐標(biāo)，利用PF⊥x軸，知點(diǎn)P，F(xiàn)的橫坐標(biāo)相等，再根據(jù)點(diǎn)P在曲線y＝上求出k. ∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲線y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴P(1,2)． 將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝(k＞0)得k＝2. 10．如圖243是拋物線形拱橋，設(shè)水面寬|AB|＝18米，拱頂距離水面8米，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超過多少米才能使貨船通過拱橋？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342109】 圖243 [解]　如圖所示，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，過點(diǎn)O且平行于AB的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(9，－8

7、)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)． ∵B點(diǎn)在拋物線上，∴81＝－2p(－8)， ∴p＝，∴拋物線的方程為x2＝－y. 當(dāng)x＝時(shí)，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6. ∴|DE|不超過6米才能使貨船通過拱橋． [能力提升練] 1．已知P為拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為(　　) A．2 B．4 C． D．＋1 A　[將P點(diǎn)到直線l1：x＝－1的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離，過點(diǎn)F作直線l2的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，此即為所求最小值點(diǎn)，∴P到兩直線的距離之和的最小值為＝2，

8、故選A．] 2．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y D　[由e2＝1＋＝4得＝，則雙曲線的漸近線方程為y＝x，即xy＝0 拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 則有＝2，解得p＝8 故拋物線C2的方程為x2＝16y.] 3．拋物線y2＝2x上的兩點(diǎn)A，B到焦點(diǎn)的距離之和是5，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是________． 2　[拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x＝－，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y

9、2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.] 4．在拋物線y2＝－12x上，與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． (－6,6)或(－6，－6)　[設(shè)所求點(diǎn)為P(x，y)，拋物線y2＝－12x的準(zhǔn)線方程為x＝3，由題意知3－x＝9，即x＝－6. 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝6. 因此P(－6,6)或P(－6，－6)．] 5．如圖244，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過點(diǎn)A作AB垂直于y軸，

10、垂足為點(diǎn)B，OB的中點(diǎn)為M. 圖244 (1)求拋物線的方程； (2)過點(diǎn)M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342110】 [解]　(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)由題意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)． 又F(1,0)，所以kAF＝，則FA的方程為y＝(x－1)． 因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－， 則MN的方程為y＝－x＋2. 解方程組，得， 所以N. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375