高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21

模塊復(fù)習(xí)課核心知識回顧一、常用邏輯用語1命題及其關(guān)系(1)原命題：若p，則q.則逆命題：若q，則p.否命題：若p，則q.逆否命題：若q，則p.(2)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性2充分條件與必要條件(1)若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件(2)若pq，則p是q的充要條件(3)若pq，qp，則p是q的充分不必要條件(4)若pq，qp，則p是q的必要不充分條件(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題pq的真假：“全真則真”，“一假則假”(2)命題pq的真假：“一真則真”，“全假則假”(3)命題p的真假：p與p的真假性相反4全稱命題與特稱命題的否定(1)全稱命題的否定p：xM，p(x)p：x0M，p(x0)(2)特稱命題的否定p：x0M，p(x0)p：xM，p(x)二、圓錐曲線與方程1橢圓(1)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓的標準方程焦點在x軸上：1(a>b>0)，焦點在y軸上：1(a>b>0)(3)橢圓的幾何性質(zhì)范圍：對于橢圓1(a>b>0)，axa，byb.對稱性：橢圓1或1(a>b>0)，關(guān)于x軸，y軸及原點對稱頂點：橢圓1的頂點坐標為A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)離心率：e，離心率的范圍是e(0,1)a，b，c的關(guān)系：a2b2c2.2雙曲線(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡，叫做雙曲線(2)雙曲線的標準方程焦點在x軸上：1(a>0，b>0)，焦點在y軸上：1(a>0，b>0)；(3)雙曲線的幾何性質(zhì)范圍：對于雙曲線1(a>0，b>0)，ya或ya，xR，對稱性：雙曲線1或1(a>0，b>0)關(guān)于x軸，y軸及原點對稱頂點：雙曲線1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1(a,0)，A2(a,0)，雙曲線1(a>0，b>0)的頂點坐標為A1(0，a)，A2(0，a)，漸近線：雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx.離心率：e，雙曲線離心率的取值范圍是e(1，)，a，b，c的關(guān)系：c2a2b2.3拋物線(1)拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線(2)拋物線的標準方程焦點在x軸上：y22px(p>0)，焦點在y軸上：x22py(p>0)(3)拋物線的幾何性質(zhì)范圍：對于拋物線x22py(p>0)，xR，y0，)對稱性：拋物線y22px(p>0)，關(guān)于x軸對稱，拋物線x22py(p>0)，關(guān)于y軸對稱頂點：拋物線y22px和x22py(p>0)的頂點坐標為(0,0)離心率：拋物線上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e1.三、空間向量與立體幾何1空間向量及其運算(1)共線向量定理：abab(b0)(2)P，A，B三點共線xy(xy1)(3)共面向量定理：p與a，b共面pxayb(4)P，A，B，C四點共面xyz(xyz1)，(5)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空間的一個基底(6)空間向量運算的坐標表示設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，ababa1b1，a2b2，a3b3，abab0a1b1a2b2a3b30，|a|，cosa，b，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)，|.2立體幾何中的向量方法(1)異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cos |cosa，b|，(2)直線與平面所成的角直線與平面所成的角為，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin |cosa，n|(3)二面角二面角為，n1，n2為兩平面的法向量，則|cos |cosn1，n2|易錯易混辨析1一個命題的逆命題和否命題有相同的真假性()提示一個命題的逆命題和否命題互為逆否命題，因此具有相同的真假性2使a>b成立的充分不必要條件是a>b1.()提示a>b1a>b.3“pq”的否定為“(p)(q)”，“pq”的否定為“(p)(q)”() 提示“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”4命題p：x(0，)，則x22x1>0，則p為：x0(，0，使x2x010.()提示p應(yīng)為x0(0，)，使x2x010.5命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)是偶函數(shù)”()提示命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)”6命題“菱形的兩條對角線相等”是全稱命題且是真命題()提示此命題是全稱命題，但是是假命題7“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件()提示x>6x>1，但x>1x>6.8若命題pq為假，且p為假，則q假()提示由p為真，pq為假知，q為假9橢圓上的點到焦點的最大距離為ac，最小距離為aC()提示橢圓長軸的端點到焦點的距離有最大值或最小值10已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓()提示|F1F2|8，故點的軌跡是線段F1F2.11橢圓2x23y212的焦點坐標為(0，)()提示橢圓標準方程為1，c2a2b22，故橢圓的焦點坐標為(，0)12已知橢圓的標準方程為1(m>0)，焦距為6，則實數(shù)m的值為4. ()提示當焦點在x軸上時，由25m29得m4，當焦點在y軸上時，m2259得m.13已知F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動點P滿足|PF1|PF2|10，則點P的軌跡是雙曲線的右支()提示點P的軌跡是一條射線14“0k<3”是方程1表示雙曲線的充要條件()提示當0k<3時，方程1表示雙曲線，若方程1表示雙曲線，則有(k1)(k5)<0，即1<k<5，故原命題錯誤15雙曲線2x2y28的實軸長為2.()提示雙曲線標準方程為1，因此雙曲線的實軸長為4.16等軸雙曲線的漸近線相同()提示等軸雙曲線的漸近線方程都是yx.17到定點和定直線距離相等的點的軌跡是拋物線()提示當定點在定直線上時點的軌跡是一條直線18拋物線y2x2的焦點坐標是.()提示拋物線標準方程為x2y，故焦點坐標為.19拋物線y22px(p>0)中過焦點的最短弦長為2p.()提示拋物線中通徑是最短的弦長20拋物線yax2(a0)的準線方程為y2，則實數(shù)a的值是.()提示拋物線標準方程為x2y，則2，解得a.21若空間任一點O和不共線的三點A，B，C滿足，則點P與A，B，C共面()提示11，故四點共面22a，b為空間向量，則cosa，bcosb，a()提示a，bb，a，則cosa，bcosb，a23兩個平面垂直，則這兩個平面的法向量也垂直()提示由平面法向量的定義可知24直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直()提示直線的方向向量與平面的法向量平行25若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足k1e1k2e2k3e30，則k1k2k30.()提示假設(shè)k10，則e1e2e3，則e1，e2，e3共面26若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150，則直線與平面所成的角為30.()提示直線與平面所成的角為60.27若直線與平面所成的角為0，則直線在平面內(nèi)()提示直線與平面也可能平行28兩個平面的法向量所成的角為120，則兩個平面所成的二面角也是120.()提示二面角的度數(shù)是120或60.29兩條異面直線所成的角為30，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150.()提示根據(jù)向量所成角的定義知正確30若二面角是30，則在二面角的兩個半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30.()提示在二面角的兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30或150.高考真題感悟1已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A1B1C1 D1B由yx可得.由橢圓1的焦點為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B2已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為() 【導(dǎo)學(xué)號：46342195】A BC DA由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A3若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A2 BC DA設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A4已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A BC DC方法1：將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD圖由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C方法2：以B1為坐標原點，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，則(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為.故選C5已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10A因為F為y24x的焦點，所以F(1,0)由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，當且僅當k2，即k1時，取得等號故選A6如圖1，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中點圖1(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角MABD的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號：46342196】解(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF.因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD由BADABC90得BCAD，又BCAD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB(2)由已知得BAAD，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)設(shè)M(x，y，z)(0<x<1)，則 (x1，y，z)，(x，y1，z)因為BM與底面ABCD所成的角為45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20. 又M在棱PC上，設(shè)，則x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以M，從而.設(shè)m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，2)于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值為.7已知橢圓C：1(ab0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點解(1)由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|2，可得A，B的坐標分別為，則k1k21，得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1)8設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線x3上，且1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【導(dǎo)學(xué)號：46342197】解(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在C上，所以1.因此點P的軌跡方程為x2y22.(2)由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375