高考數學大一輪復習 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 第四節(jié) 數系的擴充與復數的引入教師用書 理

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1、 第四節(jié)　數系的擴充與復數的引入 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.理解復數的基本概念； 2.理解復數相等的充要條件； 3.了解復數的代數表示法及其幾何意義； 4.會進行復數代數形式的四則運算； 5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義。 2016，全國卷Ⅰ，2,5分(復數的四則運算) 2016，全國卷Ⅱ，1,5分(復數的幾何意義) 2016，全國卷Ⅲ，2,5分(復數的四則運算) 2015，全國卷Ⅰ，1,5分(復數的乘除，模) 2015，全國卷Ⅱ，2,5分(復數的乘法，相等) 每年平均有一個小題，難度較低，重點考查復數的代數形

2、式的四則運算(特別是乘、除法)，也涉及復數的概念及幾何意義等知識。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．復數的有關概念 (1)復數的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實數；若b≠0，則a＋bi為虛數；若a＝0，且b≠0，則a＋bi為純虛數。 (2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。 (3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。 (4)復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸除去原點叫做虛軸。實軸上的點都表

3、示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數。 (5)復數的模：向量的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 2．復數的幾何意義 (1)復數z＝a＋bi　復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)。 (2)復數z＝a＋bi　平面向量(a，b∈R)。 3．復數的運算 (1)復數的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)則： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－

4、d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝(c＋di≠0)。 (2)復數加法的運算定律 復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。 微點提醒 1．i的乘方具有周期性 in＝(k∈Z)。 2．復數的模與共軛復數的關系： z＝|z|2＝||2。 3．兩個注意點： (1)兩個虛數不能比較大小。 (2)利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件。 小|題|快|練 一 、走進教材 1．(選修2－

5、2P106A組T2改編)若復數(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值為(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．1或2　　　 D．－1 【解析】　依題意，有解得a＝2。故選B。 【答案】　B 2．(選修2－2P112A組T5(3)改編)復數2的共軛復數是(　　) A．2－i B．2＋i C．3－4i D．3＋4i 【解析】　2＝2＝(2＋i)2＝3＋4i所以其共軛復數是3－4i。故選C。 【答案】　C 二、雙基查驗 1．(2016全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－3,1)

6、 B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 【解析】　由已知可得復數z在復平面內對應的點的坐標為(m＋3，m－1)，所以解得－3

7、＝1，b＝－1 【解析】　由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根據兩復數相等的充要條件得a＝1，b＝－1。故選D。 【答案】　D 4．若復數z滿足＝2i，則z對應的點位于第______象限。 【解析】　z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z對應的點為(－2,2)，在第二象限內。 【答案】　二 5．若復數z滿足z＋i＝，則|z|＝________。 【解析】　因為z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，則|z|＝。 【答案】　 微考點　大課堂 考點一 復數的有關概念 【典例1】　(1)設x∈R，則“x＝1”是“復數z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數”的(

8、　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)若a＋bi＝(i是虛數單位，a，b∈R)，則ab＝(　　) A．－2　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．2 (3)設復數z＝－1－i(i為虛數單位)，z的共軛復數為，則|(1－z)|＝(　　) A. B．2 C. D．1 【解析】　(1)由純虛數的定義知： ?x＝1，故選C。 (2)a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2。 故選A。 (3)依題意得(1－z)＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，則|(1－z)|＝|－3＋i|＝＝。故選

9、A。 【答案】　(1)C　(2)A　(3)A 反思歸納　1.復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可。 2．解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部。 【變式訓練】　(1)設i是虛數單位，若復數a－(a∈R)是純虛數，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)若復數z＝1＋i(i為虛數單位)，是z的共軛復數，則z2＋2的虛部為(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 【解析】　(1)∵a－＝a－＝

10、(a－3)－i為純虛數，∴a－3＝0，即a＝3。故選D。 (2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虛部為0。故選A。 【答案】　(1)D　(2)A 考點二 復數的幾何意義 【典例2】　(1)(2016太原模擬)復數z＝(i為虛數單位)，z在復平面內所對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2015陜西高考)設復數z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 【解析】　(1)因為z＝＝＝＝＝＋i，所以z在復平面內所對應的點在第一象

11、限。故選A。 (2)由|z|≤1知復數z在復平面內對應的點構成的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內部，右圖中陰影部分表示在圓內(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－11＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－。故選D。 【答案】　(1)A　(2)D 反思歸納　1.復數z、復平面上的點Z及向量一一對應，即z＝a＋bi，(a，b∈R)?Z(a，b)?。 2．由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀。 【變式訓練】　(1)如圖，若向量對應的復數為z，則z＋表示的復數為(　　)

12、 A．1＋3i 　　　 B．－3－i C．3－i 　　　 D．3＋i (2)已知復數z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，則的取值范圍為________。 【解析】　(1)由圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故選D。 (2)因為|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3。 設＝k，則y＝kx。聯立 化簡為(1＋k2)x2－4x＋1＝0。 因為直線y＝kx與圓有公共點，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范圍為[－，]。 【答案】　(1)D　

13、(2)[－，] 考點三 復數的運算 【典例3】　(1)(2016全國卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則＝(　　) A．1 B．－1 C.＋i D.－i (2)(2016全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i (3)(2016全國卷Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝(　　) A．1 B. C. D．2 【解析】　(1)＝＝－i。故選D。 (2)＝＝i。 (3)因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B。 【答案】　(1)D　(

14、2)C　(3)B 反思歸納　(1)復數的乘法。復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可。 (2)復數的除法。除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。 (3)利用復數相等求參數。a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)。 【變式訓練】　(1)＝(　　) A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i (2)設復數z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【解析】　(1)＝＝＝

15、－1－i，故選D。 (2)z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。 故選A。 【答案】　(1)D　(2)A 微考場　新提升 1．(2016山東高考)若復數z＝，其中i為虛數單位，則＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析　易知z＝1＋i，所以＝1－i。故選B。 答案　B 2．(2016全國卷Ⅱ)設復數z滿足z＋i＝3－i，則＝(　　) A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i 解析　易知z＝3－2i，所以＝3＋2i。故選C。 答案　C 3．設z1，z2是復數，則下列命題中的假命題是(　　) A．

16、若|z1－z2|＝0，則1＝2 B．若z1＝2，則1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，則z11＝z22 D．若|z1|＝|z2|，則z＝z 解析　對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?1＝2，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋i，則|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命題。故選D。 答案　D 4．(2017浙江模擬)已知i是虛數單位，若＝b＋i(a，b∈R)，則ab的值為________。 解析　由＝b＋i，得＝＝3－ai＝b＋i，所以b＝3，a＝－1，則ab＝－3。 答案?。? 5．已知a∈R，若為實數，則a＝________。 解析　＝＝＝＋i， ∵為實數，∴＝0，∴a＝－。 答案?。? 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375