高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教師用書 理

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)2015，江蘇卷，6,5分(平面向量坐標(biāo)運(yùn)算)2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)1.以考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算為主，平面向量基本定理的應(yīng)用也是考查的熱點(diǎn)；2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，主要與平面向量的數(shù)量積結(jié)合考查。微知識小題練自|主|排|查1平面向量基本定理(1)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2。2平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成ax iyj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應(yīng)的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y)，其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y。3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加法、減法設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)向量的數(shù)乘設(shè)a(x，y)，R，則a(x，y)向量坐標(biāo)的求法設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)4向量共線的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10。微點(diǎn)提醒1能作為基底的兩個向量必須是不共線的。2向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同，向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都變了，但由于向量的坐標(biāo)均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，故平移后坐標(biāo)不變。3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2x2y10。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一個三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(2,2) B(3，1)C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1)【解析】由題意得或，(3，3)。設(shè)P(x，y)，則(x1，y3)，當(dāng)時，(x1，y3)(3，3)，所以x2，y2時，即P(2,2)。當(dāng)時，(x1，y3)(3，3)，所以x3，y1，即P(3,1)。故選D?！敬鸢浮緿2(必修4P108A組T7改編)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則()A B.C2 D2【解析】由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)。由manb與a2b共線，得，所以。故選A?！敬鸢浮緼二、雙基查驗1若向量(1,2)，(3,4)，則()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)【解析】，(1,2)(3,4)(4,6)。故選A。【答案】A2已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，則ab等于()A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1)【解析】由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)。故選A?！敬鸢浮緼3已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，3)，則與同向的單位向量是()A. B.C. D.【解析】A(4,1)，B(7，3)，(3，4)。與同向的單位向量為。故選A。【答案】A4梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別是CD，AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b。若manb，則_?！窘馕觥縜baab，m，n1。4?！敬鸢浮?5在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_?！窘馕觥吭O(shè)(x，y)，因為，所以(1,3)(2,4)(x，y)，所以即所以(1，1)，所以(1，1)(2,4)(3，5)?！敬鸢浮?3，5)微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量基本定理及其應(yīng)用母題發(fā)散【典例1】(1)如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2De12e2與e12e2(2)(2017福州模擬)在ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又t，則實數(shù)t的值為_?！窘馕觥?1)選項A中，設(shè)e1e2e1，則無解；選項B中，設(shè)e12e2(e12e2)，則無解；選項C中，設(shè)e1e2(e1e2)，則無解；選項D中，e12e2(e12e2)，所以兩向量是共線向量。故選D。(2)因為，所以32，即22，所以2。即P為AB的一個三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))，又因為A，M，Q三點(diǎn)共線，設(shè)。所以，又tt()tt。故解得故t的值是?！敬鸢浮?1)D(2)【母題變式】在本典例(2)中，試問點(diǎn)M在AQ的什么位置？【解析】由(2)的解析及，2知，()(1)(1)。因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)?！敬鸢浮奎c(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)反思?xì)w納應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：(1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對所求向量不斷進(jìn)行化簡，直至用基底表示為止；(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解?？键c(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)。設(shè)a，b，c，且3c，2b。(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)?！窘馕觥坑梢阎胊(5，5)，b(6，3)，c(1,8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)。(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)。M(0,20)。又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)。N(9,2)。(9，18)?！敬鸢浮?1)(6，42)(2)m1，n1(3)M(0,20)N(9,2)(9，18)反思?xì)w納向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行。若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則?！咀兪接?xùn)練】(1)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則_。(2)設(shè)向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_?！窘馕觥?1)(1，1)，(2，4)(1，1)(3，5)。(2)設(shè)a(x，y)，x<0，y<0，則x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)?！敬鸢浮?1)(3，5)(2)(4，2)考點(diǎn)三 向量共線的坐標(biāo)表示多維探究角度一：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)值【典例3】設(shè)0<<，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，則tan_?！窘馕觥坑蒩b得sin2cos20，即2sincoscos2，又0<<，cos0，所以2sincos可得tan?！敬鸢浮拷嵌榷豪孟蛄抗簿€的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例4】(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_。(2)已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_?！窘馕觥?1)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2。設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)。(2)解法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)。又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)。解法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)，因為(4,4)，且與共線，所以，即xy。又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)?！敬鸢浮?1)(2,4)(2)(3,3)反思?xì)w納平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)。如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便。(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)。一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量。(3)三點(diǎn)共線問題。A，B，C三點(diǎn)共線等價于與共線?！咀兪接?xùn)練】(1)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b與a2b共線，則m的值為_。(2)設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值為_?！窘馕觥?1)ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由于ma4b與a2b共線，(2m4)4(3m8)，解得m2。(2)由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)(當(dāng)且僅當(dāng)ba時，等號成立)?！敬鸢浮?1)2(2)微考場新提升1在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且a，b，則()Aba BbaCab Dab解析ababa。故選A。答案A2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()Aab B.abCab Dab解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab。故選B。答案B3設(shè)向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析設(shè)d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6，20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)。故選D。答案D4Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個向量集合，則PQ等于_。解析P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)。則得此時ab(13，23)。答案(13，23)5若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實數(shù)a的值為_。解析(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a1)3(3)，即4a5，a。答案微專題巧突破向量問題坐標(biāo)化向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如向量運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認(rèn)為是從幾何的角度來研究向量的特征；而引入坐標(biāo)后，就可以通過代數(shù)運(yùn)算來研究向量，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎(chǔ)。在處理很多與向量有關(guān)的問題時，坐標(biāo)化是一種常見的思路，利用坐標(biāo)可以使許多問題的解決變得更加簡捷?！镜淅?2016四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內(nèi)的動點(diǎn)P，M滿足|1，則|2的最大值是()A.B.C. D.【解析】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(，0)，C(，0)，A(0,3)，則點(diǎn)P的軌跡方程為x2(y3)21。設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則x2x0，y2y0，代入圓的方程得22，所以點(diǎn)M的軌跡方程為22，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以|max，所以|2max。故選B?！敬鸢浮緽【變式訓(xùn)練】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為。如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動。若xy，其中x，yR，求xy的最大值?！窘馕觥恳設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B。設(shè)AOC，則C(cos，sin)。由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以當(dāng)時，xy取得最大值2?！敬鸢浮?6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375