高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算教師用書 理

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1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解向量的實(shí)際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。2015，全國卷，7,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2015，全國卷，13,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2014，北京卷，10,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念)高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以向量的線性運(yùn)算為主；以向量的概念和線性運(yùn)算知識(shí)為載體，與三角函數(shù)等

2、知識(shí)綜合考查的可能性較大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。試題多為客觀題，難度不大，分值約為5分。微知識(shí)小題練自|主|排|查1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為零的向量，其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和運(yùn)算三

3、角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba。(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)。減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba。微點(diǎn)提醒1三個(gè)常用的結(jié)論：(1)零向量與任何向量共線。(2)平行向量與起點(diǎn)無關(guān)。(3)若存在非零實(shí)數(shù)，使得或或，則A，B，C三點(diǎn)共線。2三個(gè)注意點(diǎn)：(1)向量共線與線段共線不同，前者可以不在同一直線上，而

4、后者必須在同一直線上。同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上。(2)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)。(3)在向量共線的充要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則_。【解析】()。【答案】2(必修4P92A組T11改編)在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A平行四邊形 B矩形C梯形 D菱形【解析】因?yàn)?a2b2，所以，且|，所以四邊形ABCD為梯形。故選C?！敬鸢?/p>

5、】C二、雙基查驗(yàn)1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量D不可能都是單位向量【解析】因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄?，故選C?！敬鸢浮緾2若mn，nk，則向量m與向量k()A共線 B不共線C共線且同向 D不一定共線【解析】若m0,0k，則k與m不一定共線，故選D?！敬鸢浮緿3若向量a，b滿足|a|3，|b|8，則|ab|的最小值為()A11 B2C4 D5【解析】當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，|ab|的最小值為5。故選D?！敬鸢浮緿4已知a，b是非零向量，若|ab|ab|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為_?！窘馕觥咳鐖D，在以a與b為鄰邊的四邊形中，|ab|與|

6、ab|分別為四邊形的兩條對(duì)角線，故由對(duì)角線長相等的平行四邊形是矩形可知，以a，b為鄰邊的四邊形是矩形?！敬鸢浮烤匦?已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_?！窘馕觥坑梢阎胊bk(b3a)，解得【答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念【典例1】給出下列四個(gè)命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線。其中假命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【解析】不正確。|a|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確。因?yàn)椋珹，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；

7、不正確。兩向量不能比較大?。徊徽_。當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線。故選D?！敬鸢浮緿反思?xì)w納(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵。(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)。(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談。(5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量?！咀兪接?xùn)練】下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點(diǎn)的

8、兩個(gè)非零向量不平行【解析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C?！敬鸢浮緾考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算母題發(fā)散【典例2】(1)(2015全國卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D

9、.(2)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC。若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_?！窘馕觥?1)()。故選A。(2)()，所以1，2，即12?！敬鸢浮?1)A(2)【母題變式】若將本典例(2)的條件改為“2，”，則_?！窘馕觥浚?。又2，2()。，即?！敬鸢浮糠此?xì)w納平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義。向量加法和減法均適合三角形法則。(2)求已知向量的和。一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則。(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較求參數(shù)的值

10、?！就卣棺兪健?2017惠州模擬)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且，則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上C點(diǎn)P在線段AB的延長線上D點(diǎn)P不在直線AB上【解析】()，即，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上。故選B?！敬鸢浮緽考點(diǎn)三 共線定理的應(yīng)用多維探究角度一：共線定理的簡單運(yùn)用【典例3】設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線。(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值?！窘馕觥?1)證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線。又

11、與有公共點(diǎn)C，A，C，D三點(diǎn)共線。(2)e1e2，2e13e2，3e12e2。A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得。3e12e23e1ke2。又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2。實(shí)數(shù)k的值為2。【答案】(1)見解析(2)2角度二：利用共線定理解決幾何問題【典例4】(2016江西九校聯(lián)考)已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，PBC的面積是2 015，則PAB的面積是_?！窘馕觥吭O(shè)SABCS，SBPCS12 015，SAPBS2。(恰當(dāng)切入，從“三點(diǎn)共線”突破)如圖，延長AP交BC于D，由平面幾何知識(shí)，得。由A，P，D三點(diǎn)共線，可得(R)。由B，D，C三點(diǎn)共線，可得(1)(R)。聯(lián)立和，有解得則，那

12、么，于是SS1。同理，延長CP交AB于E，計(jì)算可得，所以S2S。于是S2SS1S12 0152 821?！敬鸢浮? 821反思?xì)w納利用共線向量定理解題的方法(1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b(b0)，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線。(2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線。(3)利用共線定理解決幾何問題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線，通過列方程組往往能把問題解決。微考場新提升1(2016開封一模)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，則的值為()A. B.C. D1解析依題意，因?yàn)镸，B，C三點(diǎn)共線，所以。故選A。答案A2下列各式不能化簡為的是()A() B

13、()()C. D.解析對(duì)于A，()()；對(duì)于B，()()()；對(duì)于C，2；對(duì)于D，。故選C。答案C3設(shè)P為銳角ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，k()(kR)，若cosBAC，則k()A. B.C. D.解析取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，則PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D三點(diǎn)共線，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得k。故選A。答案A4已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同。若a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t_。解析a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同。atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實(shí)

14、數(shù)，使atb，解得，t，即t時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上。答案5.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn的值為_。解析()。M，O，N三點(diǎn)共線，1。mn2。答案26EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375