高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算教師用書(shū) 理

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1、 第一節(jié)　平面向量的概念及其線性運(yùn)算 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.了解向量的實(shí)際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。 2015，全國(guó)卷Ⅰ，7,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2015，全國(guó)卷Ⅱ，13,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2014，北京卷，10,5分(平面向量的線性運(yùn)算) 2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念) 高考對(duì)

2、本講內(nèi)容的考查以向量的線性運(yùn)算為主；以向量的概念和線性運(yùn)算知識(shí)為載體，與三角函數(shù)等知識(shí)綜合考查的可能性較大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。試題多為客觀題，難度不大，分值約為5分。 微知識(shí)　小題練 自|主|排|查 1．向量的有關(guān)概念 名稱(chēng) 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模) 平面向量是自由向量 零向量 長(zhǎng)度為零的向量，其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0與任一向量平行或共線 共線向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 相等向量

3、 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a。 (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)

4、，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa。 微點(diǎn)提醒 1．三個(gè)常用的結(jié)論： (1)零向量與任何向量共線。 (2)平行向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 (3)若存在非零實(shí)數(shù)λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線。 2．三個(gè)注意點(diǎn)： (1)向量共線與線段共線不同，前者可以不在同一直線上，而后者必須在同一直線上。同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上。 (2)作

5、兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)。 (3)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1．(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則＝________。 【解析】　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋。 【答案】?。? 2．(必修4P92A組T11改編)在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為(　　) A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【解析】　因?yàn)椋剑剑?a－2b＝2，所以∥，且||≠|(zhì)

6、|，所以四邊形ABCD為梯形。故選C。 【答案】　C 二、雙基查驗(yàn) 1．若向量a與b不相等，則a與b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共線 C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量 【解析】　因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄浚蔬xC。 【答案】　C 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 【解析】　若m∥0,0∥k，則k與m不一定共線，故選D。 【答案】　D 3．若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝8，則|a＋b|的最小值為(　　) A．11 B．2 C．4 D．5 【解析】

7、　當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，|a＋b|的最小值為5。故選D。 【答案】　D 4．已知a，b是非零向量，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為_(kāi)_______。 【解析】　如圖，在以a與b為鄰邊的四邊形中，|a＋b|與|a－b|分別為四邊形的兩條對(duì)角線，故由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，以a，b為鄰邊的四邊形是矩形。 【答案】　矩形 5．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________。 【解析】　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴解得 【答案】?。? 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念

8、 【典例1】　給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線。 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】?、俨徽_。|a|＝|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；②不正確。因?yàn)椋?，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；③不正確。兩向量不能比較大小；④不正確。當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線。故選D。 【答案】　D

9、 反思?xì)w納　(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵。 (2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。 (3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。 (4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談。 (5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量。 【變式訓(xùn)練】　下列命題中正確的是(　　) A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c也共線 B．任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量 D．有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 【解析】　由于零向量與任一向量都共線

10、，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來(lái)考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C。 【答案】　C 考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算…………母題發(fā)散 【典例2】　(1)(2015全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－

11、C.＝＋ D.＝－ (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC。若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______。 【解析】　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋。故選A。 (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝。 【答案】　(1)A　(2) 【母題變式】　若將本典例(2)的條件改為“＝2，＝＋λ”，則λ＝________。 【解析】　∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋。 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋。 ∴＝＋，即λ＝。 【答案】　 反思?xì)w納　平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題

12、策略 (1)向量加法或減法的幾何意義。向量加法和減法均適合三角形法則。 (2)求已知向量的和。一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則。 (3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較求參數(shù)的值。 【拓展變式】　(2017惠州模擬)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且＝，則(　　) A．點(diǎn)P在線段AB上 B．點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上 C．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上 D．點(diǎn)P不在直線AB上 【解析】?。剑剑剑?－)＝＋，即－＝＝，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上。故選B。

13、【答案】　B 考點(diǎn)三 共線定理的應(yīng)用…………多維探究 角度一：共線定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用 【典例3】　設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線。 (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值。 【解析】　(1)證明：＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2， ∴＝－2，∴與共線。 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A，C，D三點(diǎn)共線。 (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2。 ∵A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

14、∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ。 ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2。 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2?！鄬?shí)數(shù)k的值為2。 【答案】　(1)見(jiàn)解析　(2)2 角度二：利用共線定理解決幾何問(wèn)題 【典例4】　(2016江西九校聯(lián)考)已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＝＋，△PBC的面積是2 015，則△PAB的面積是________。 【解析】　設(shè)S△ABC＝S，S△BPC＝S1＝2 015，S△APB＝S2。 (恰當(dāng)切入，從“三點(diǎn)共線”突破)如圖，延長(zhǎng)AP交BC于D，由平面幾何知識(shí)，得＝。 由A，P，D三點(diǎn)共線，可得＝μ＝μ＋μ(μ∈R)。① 由B，D，C三點(diǎn)共

15、線，可得＝λ＋(1－λ)(λ∈R)。② 聯(lián)立①和②，有解得 則＝μ＝，＝－＝， 那么＝，于是S＝S1。 同理，延長(zhǎng)CP交AB于E，計(jì)算可得＝， 所以S2＝S。 于是S2＝S＝S1＝S1＝2 015＝2 821。 【答案】　2 821 反思?xì)w納　利用共線向量定理解題的方法 (1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b(b≠0)，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線。 (2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線。 (3)利用共線定理解決幾何問(wèn)題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線，通過(guò)列方程組往往能把問(wèn)題解決。 微考場(chǎng)　新提升 1．(2016開(kāi)封一模)

16、在△ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C. D．1 解析　依題意＝＝λ＋μ，因?yàn)镸，B，C三點(diǎn)共線，所以λ＋μ＝。故選A。 答案　A 2．下列各式不能化簡(jiǎn)為的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C.＋－ D.－＋ 解析　對(duì)于A，(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝；對(duì)于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝；對(duì)于C，＋－＝＋2；對(duì)于D，－＋＝＋＝。故選C。 答案　C 3．設(shè)P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，＝k(＋)(k∈R)，若cos∠BAC＝，則k＝(　　) A. B. C.

17、 D. 解析　取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，則PD⊥BC，＋＝2，∵＝k(＋)(k∈R)，∴＝2k， ∴A，P，D三點(diǎn)共線， ∴AB＝AC， ∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝， ∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝。故選A。 答案　A 4．已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同。若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t＝________。 解析　∵a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同。 ∴a－tb與a－(a＋b)共線， 即a－tb與a－b共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ， ∴解得λ＝，t＝， 即t＝時(shí)，a

18、，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上。 答案　 5.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為_(kāi)_______。 解析?。?＋)＝＋。 ∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1。 ∴m＋n＝2。 答案　2 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375