高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.2 二項分布及其應(yīng)用 2.2.1 條件概率學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 2.2.1　條件概率 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解條件概率的定義.2.掌握條件概率的計算方法.3.利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題． 知識點一　條件概率 100件產(chǎn)品中有93件產(chǎn)品的長度合格，90件產(chǎn)品的質(zhì)量合格，85件產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格． 令A(yù)＝{產(chǎn)品的長度合格}，B＝{產(chǎn)品的質(zhì)量合格}，AB＝{產(chǎn)品的長度、質(zhì)量都合格}． 思考1　試求P(A)，P(B)，P(AB)． 答案　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 思考2　任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格(即B發(fā)生)，求它的長度(即A發(fā)生)也合格(記為A|B)的概率． 答案　事件A|B發(fā)生，相當(dāng)于從90件質(zhì)量合格的產(chǎn)品中任取1

2、件長度合格，其概率為P(A|B)＝. 思考3　P(B)，P(AB)，P(A|B)間有怎樣的關(guān)系． 答案　P(A|B)＝. 梳理　 條件 設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0 含義 在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 記作 P(B|A) 讀作 A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率 計算公式 ①縮小樣本空間法：P(B|A)＝ ②公式法：P(B|A)＝ 知識點二　條件概率的性質(zhì) 1．任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1. 2．如果B和C是兩個互斥事件，則 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 1．若事件A，B互斥，則P(B|A

3、)＝1.(　　) 2．事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當(dāng)于A，B同時發(fā)生．(　√　) 類型一　求條件概率 例1　現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求 (1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 解　設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB. (1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，總的事件數(shù)n(

4、Ω)＝A＝30. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因為n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率P(B|A)＝＝＝. 方法二　因為n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 反思與感悟　利用定義計算條件概率的步驟 (1)分別計算概率P(AB)和P(A)． (2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生． 跟蹤訓(xùn)練1　某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.

5、75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　A 解析　設(shè)某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件B，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良是事件A，故所求概率為P(A|B)＝＝＝0.8. 例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 解

6、　將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15個．在這15個中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝＝. 引申探究 1．在本例條件下，求乙抽到偶數(shù)的概率． 解　在甲抽到奇數(shù)的情形中，乙抽到偶數(shù)的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6

7、)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9個，所以所求概率P＝＝. 2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7”，求P(B|A)． 解　甲抽到的數(shù)大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12個，其中甲、乙抽到的兩數(shù)之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2個．所以P(B|A)＝＝. 反思與感悟　將原來的基本事件全體Ω縮小為已知的條件事件A，原來的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件，每個基本事件發(fā)

8、生的概率相等，從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率，即P(B|A)＝，這里n(A)和n(AB)的計數(shù)是基于縮小的基本事件范圍的． 跟蹤訓(xùn)練2　5個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回地取兩次，則在第一次取到新球的條件下，第二次取到新球的概率為________． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　 解析　設(shè)第1次取到新球為事件A，第2次取到新球為事件B，則P(B|A)＝＝＝. 類型二　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 例3　把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個．其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B

9、；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個．試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率． 考點　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解　設(shè)A＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球}， B＝{從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是紅球}， W＝{第二次取出的球是白球}， 則容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝， P(W|A)＝，P(R|B)＝，P(

10、W|B)＝. 事件“試驗成功”表示為AR∪BR，又事件AR與事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR) ＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝＋＝0.59. 反思與感悟　當(dāng)所求事件的概率相對較復(fù)雜時，往往把該事件分成兩個(或多個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得較復(fù)雜事件的概率． 跟蹤訓(xùn)練3　在某次考試中，要從20道題中隨機抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通

11、過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率． 考點　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解　記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D) ＝＋＝＋＝. 故獲得優(yōu)秀成績的概率為. 1．已知P(B|A)＝，P(

12、AB)＝，則P(A)等于(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　C 解析　因為P(B|A)＝，所以P(A)＝＝＝. 2．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到的一個甲廠的合格燈泡的概率是(　　) A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　A 解析　記事件A為“甲廠產(chǎn)品”，事件B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0

13、.95， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.70.95＝0.665. 3．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　B 解析　P(A)＝＝，P(AB)＝＝， P(B|A)＝＝. 4．假定生男、生女是等可能的，一個家庭中有兩個小孩，已知有一個是女孩，則另一個小孩是男孩的概率是________． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案

14、　 解析　一個家庭的兩個小孩只有4種可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，由題意可知這4個基本事件的發(fā)生是等可能的，所求概率P＝. 5．拋擲紅、藍兩枚骰子，記事件A為“藍色骰子的點數(shù)為4或6”，事件B為“兩枚骰子的點數(shù)之和大于8”，求： (1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率； (2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 解　拋擲紅、藍兩枚骰子，事件總數(shù)為66＝36，事件A的基本事件數(shù)為62＝12， 所以P(A)＝＝. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6

15、＋5>8,6＋6>8. 所以事件B的基本事件數(shù)為4＋3＋2＋1＝10， 所以P(B)＝＝. 事件AB的基本事件數(shù)為6. 故P(AB)＝＝. 由條件概率公式得 (1)P(B|A)＝＝＝. (2)P(A|B)＝＝＝. 1．條件概率：P(B|A)＝＝. 2．概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系：P(AB)表示在樣本空間Ω中，計算AB發(fā)生的概率，而P(B|A)表示在縮小的樣本空間ΩA中，計算B發(fā)生的概率．用古典概型公式，則P(B|A)＝，P(AB)＝. 一、 選擇題 1．某班學(xué)生考試成績中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)

16、不及格，則他語文也不及格的概率是(　　) A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　A 解析　記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A，“語文不及格”為事件B，P(B|A)＝＝＝0.2， 所以數(shù)學(xué)不及格時，該生語文也不及格的概率為0.2. 2．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個點數(shù)互不相同}，B＝{出現(xiàn)一個5點}，則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　A 解析　出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有65＝30(種)

17、，出現(xiàn)一個5點共有52＝10(種)，所以P(B|A)＝＝. 3．7名同學(xué)站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　C 解析　記“甲站在中間”為事件A，“乙站在末尾”為事件B， 則n(A)＝A， n(AB)＝A， 所以P(B|A)＝＝. 4．盒中裝有6件產(chǎn)品，其中4件一等品，2件二等品，從中不放回地取兩次，每次取1件，已知第二次取得一等品，則第一次取得二等品的概率為(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公

18、式求條件概率 答案　D 解析　設(shè)“第二次取得一等品”為事件A，“第一次取得二等品”為事件B，則P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. 5．在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機投擲一個點M(其坐標(biāo)為x)，若A＝，B＝，則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　A 解析　P(A)＝＝.∵A∩B＝， ∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝. 6．甲、乙、丙三人到三個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A為“三個人去的景點不相同”，B為“甲獨自去一個景點”，則概率P(A|B)等于(　　) A.

19、B. C. D. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　C 解析　由題意可知．n(B)＝C22＝12，n(AB)＝A＝6. 所以P(A|B)＝＝＝. 7．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝＝，則所求概率為P

20、(B|A)＝＝＝. 方法二　第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次抽到卡口燈泡的概率為＝. 二、填空題 8．某種元件用滿6 000小時未壞的概率是，用滿10 000小時未壞的概率是，現(xiàn)有一個此種元件，已經(jīng)用過6 000小時未壞，則它能用到10 000小時的概率為________． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　 解析　設(shè)“用滿6 000小時未壞”為事件A，“用滿10 000小時未壞”為事件B，則P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝. 9．如圖，四邊形EFGH是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的內(nèi)接

21、正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”， 則(1)P(A)＝________； (2)P(B|A)＝________. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　(1)　(2) 解析　正方形的面積為2，圓的面積為π. (1)∵A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”， ∴P(A)＝. (2)∵B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”， ∴P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝. 10．設(shè)某種動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 0.4，現(xiàn)

22、有一個20歲的這種動物，則它能活到25歲的概率是________． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　0.5 解析　設(shè)該動物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.4， 又P(AB)＝P(B)， 所以P(B|A)＝＝＝＝0.5. 11．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________． 考點　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 答案　 解析　設(shè)事件A為“其中一瓶是藍色”，事件B為“另一瓶是紅色”

23、，事件C為“另一瓶是黑色”，事件D為“另一瓶是紅色或黑色”， 則D＝B∪C且B與C互斥． 又P(A)＝＝， P(AB)＝＝， P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A) ＝P(B|A)＋P(C|A) ＝＋＝. 三、解答題 12．從1～100共100個正整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一個數(shù)不大于50，求此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率． 考點　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解　設(shè)事件C為“取出的數(shù)不大于50”，事件A為“取出的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件B為“取出的數(shù)是3的倍數(shù)”． 則P(C)＝，且所求概率為 P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－

24、P(AB|C) ＝＋－ ＝2＝. 13．壇子里放著5個大小、形狀都相同的咸鴨蛋，其中有3個是綠皮的，2個是白皮的．如果不放回地依次拿出2個鴨蛋，求： (1)第1次拿出綠皮鴨蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋的概率； (3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率． 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 解　設(shè)“第1次拿出綠皮鴨蛋”為事件A，“第2次拿出綠皮鴨蛋”為事件B，則第1次和第2次都拿出綠皮鴨蛋為事件AB. (1)從5個鴨蛋中不放回地依次拿出2個鴨蛋的總基本事件數(shù)為n(Ω)＝A＝20. 又n(A)＝AA＝12， 于

25、是P(A)＝＝＝. (2)因為n(AB)＝32＝6， 所以P(AB)＝＝＝. (3)由(1)(2)，可得在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率為P(B|A)＝＝＝. 四、探究與拓展 14．先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別是1,2,3,4,5,6點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，記事件A為“x＋y為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，則概率P(B|A)＝________. 考點　條件概率的定義及計算公式 題點　直接利用公式求條件概率 答案　 解析　根據(jù)題意，事件A為“x＋y為偶數(shù)”，則x，y兩個數(shù)均為奇數(shù)或偶數(shù)，共有233＝18個基本

26、事件． ∴事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝，而A，B同時發(fā)生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”，共6個， ∴事件A，B同時發(fā)生的概率為P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 15．甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個正品和3個次品． (1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品的概率； (2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率． 考點　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點　條件概率性質(zhì)的簡單應(yīng)用 解　(1)從甲箱中任取2個產(chǎn)品的事件數(shù)為C＝28，這2個產(chǎn)品都是次品

27、的事件數(shù)為C＝3，所以這2個產(chǎn)品都是次品的概率為. (2)設(shè)事件A為“從乙箱中取一個正品”，事件B1為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是正品”，事件B2為“從甲箱中取出1個正品，1個次品”，事件B3為“從甲箱中取出2個產(chǎn)品都是次品”，則事件B1，事件B2，事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝， P(B3)＝＝， 所以P(A|B1)＝， P(A|B2)＝，P(A|B3)＝. 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝＋＋＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375