2018-2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章 圓本章總結(jié)提升同步練習(xí) （新版）華東師大版.doc

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圓本章總結(jié)提升問題1與圓有關(guān)的概念直徑與弦有什么關(guān)系？弦與弧有什么區(qū)別？優(yōu)弧與劣弧如何表示？長度相等的弧是等弧嗎？例1 有下列說法：圓中最長的弦不一定是直徑；同一個圓中，優(yōu)弧大于半圓周，劣弧小于半圓周；等弧的長度一定相等；經(jīng)過圓內(nèi)一個定點可以作無數(shù)條弦；經(jīng)過圓內(nèi)一個定點可以作無數(shù)條直徑其中正確的有()A1個 B2個C3個 D4個問題2垂徑定理及其推論你能說出垂徑定理及其推論的內(nèi)容嗎？垂徑定理常與哪些定理相結(jié)合解決問題？例2 如圖27T1，CD為O的直徑，弦AB交CD于點E，連結(jié)BD，OB，AC.(1)求證：AECDEB；(2)若CDAB，AB8，DE2，求O的半徑圖27T1【歸納總結(jié)】應(yīng)用垂徑定理時應(yīng)注意：定理中的“直徑”是指過圓心的弦，但在實際應(yīng)用中可以不是直徑，可以是半徑、過圓心的直線或線段等；在利用垂徑定理思考問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化到由半徑、弦的一半、圓心到弦的垂線段三者組成的直角三角形中去解決問題2圓心角、弧、弦之間的關(guān)系在同圓或等圓中，兩個相等的圓心角以及它們所對的弧、弦有什么關(guān)系？這些關(guān)系和圓的對稱性有什么聯(lián)系？例3 已知：如圖27T2，AB是O的直徑，BC是弦，ODBC于點E，交于點D，連結(jié)AC，OC，CD，BD.(1)請寫出六個不同類型的正確結(jié)論； (2)若BC4，DE1，求O的半徑圖27T2【歸納總結(jié)】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弦、兩條弧中如果有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想問題4圓周角定理及其推論圓周角的兩個要素是什么？圓周角定理及其推論的內(nèi)容是什么？這個定理及其推論可以解決哪些類型的問題？例4 如圖27T3，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點E，交BC于點D，連結(jié)BE，AD交于點P.求證：(1)D是BC的中點；(2)BECADC；(3)ACCE2PDAD.圖27T3【歸納總結(jié)】圓周角定理及其推論的作用：由圓周角定理及其推論的條件和結(jié)論可知，應(yīng)用圓周角定理及其推論可以證明兩角相等、兩弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的2倍或一半，判定圓的直徑或直角三角形，求角或弧的度數(shù)等問題5圓內(nèi)接四邊形什么是圓內(nèi)接四邊形？它有什么性質(zhì)？這個性質(zhì)與圓周角定理有什么關(guān)系？例5 如圖27T4所示，四邊形ABCD內(nèi)接于O，F(xiàn)是上一點，且，連結(jié)CF并延長交AD的延長線于點E，連結(jié)AC.若ABC105，BAC25，則E的度數(shù)為()圖27T4A45 B50 C55 D60【歸納總結(jié)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”，這個性質(zhì)是由圓周角定理推導(dǎo)出來的，其主要作用是計算角度，根據(jù)這個性質(zhì)可以推出“圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角”問題6直線與圓的位置關(guān)系直線與圓有哪些位置關(guān)系？如何確定一條直線與一個圓是哪種位置關(guān)系？什么是圓的切線？切線的判定定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理的內(nèi)容各是什么？例6 如圖27T5，O是ABC的外接圓，AC為直徑，弦BDBA，BEDC交DC的延長線于點E，連結(jié)AD.求證：(1)1BAD；(2)BE是O的切線圖27T5【歸納總結(jié)】已知切線想性質(zhì)，要證切線想判定；證明切線時，若明確已知直線與圓的公共點，則用切線的判定定理，若未明確已知直線與圓是否有公共點，則考慮圓心到直線的距離d與半徑r是否相等；多條切線時，莫忘切線長定理問題7求不規(guī)則圖形的面積什么是不規(guī)則圖形？如何求與扇形有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積？求解過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？例7 如圖27T6，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC8，BD6，以AB為直徑作一個半圓，則圖中陰影部分的面積為()圖27T6A256B.6 C.6 D.6【歸納總結(jié)】計算平面圖形的面積是初中幾何常見的題型之一，其中計算不規(guī)則圖形的面積又是難點，在求與圓有關(guān)的不規(guī)則陰影部分的面積時，通常是運用轉(zhuǎn)化思想將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為圓、扇形、三角形面積的和或差，對圖形進行分解、組合，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形再求解問題8圓中的計算問題圓錐的側(cè)面展開圖是什么形狀的？展開圖與圓錐各部分的對應(yīng)關(guān)系如何？怎樣計算圓錐的側(cè)面積與全面積？例8 如圖27T7，一扇形紙片的圓心角AOB為120，弦AB的長為2 cm，用它圍成一個圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計)，則該圓錐的底面半徑為()圖27T7A. cm B. cm C. cm D. cm問題9正多邊形與圓正多邊形與圓有什么關(guān)系？什么是正多邊形的中心、半徑、邊心矩、中心角？如何進行正多邊形的相關(guān)計算？怎樣利用正多邊形與圓的關(guān)系畫出正多邊形？例9 (1)已知：如圖27T8，ABC是O的內(nèi)接正三角形，P為上一動點，求證：PAPBPC；(2)如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，P為上一動點，求證：PAPCPB；(3)如圖，六邊形ABCDEF是O的內(nèi)接正六邊形，P為上一動點，請?zhí)骄縋A，PB，PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明圖27T8【歸納總結(jié)】(1)各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；(2) 各角相等的圓外切多邊形是正多邊形. 教師詳解詳析【整合提升】例1解析 C只有正確例2解析 (1)根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，可以得到這兩個三角形有兩對角分別相等，然后根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明即可(2)根據(jù)垂徑定理，可以證明E為AB的中點，設(shè)O的半徑為r，則OEr2，根據(jù)勾股定理可得一個關(guān)于r的方程，解方程即可解：(1)證明：根據(jù)“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，得AD，CABD，AECDEB.(2)CDAB，CD為O的直徑，BEAB4.設(shè)O的半徑為r.DE2，OEr2.在RtOEB中，由勾股定理，得OE2BE2OB2，即(r2)242r2，解得r5，即O的半徑為5.例3解析 (1) 此題是結(jié)論開放性問題由于AB是O的直徑，所以ACB90(直徑所對的圓周角是直角)進一步可得AC2BC2AB2，或AABC90；因為 ODBC于點E，交于點D，所以CEBE，CDBD，(垂徑定理)，OE2BE2OB2.進一步可得到：CODBOD，ACOBCODBOD(在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半)；還可以得到ACOD，BOD是等腰三角形等 (2)在RtOBE中，根據(jù)垂徑定理和勾股定理可以求出半徑解：(1) 答案不唯一，如：BECE，BED90，BODA，ACOD，ACBC，OE2BE2OB2，BOD是等腰三角形等(2)設(shè)O的半徑為r，則OBr, OEr1.ODBC，BECEBC2.在RtOBE中，OE2BE2OB2, (r1)222r2，解得r.故O的半徑為.例4解析 (1)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；(2)兩個三角形有一個公共角，只要再證明一對對應(yīng)角相等即可；(3)由ACCE聯(lián)想到BECADC.再由PDAD聯(lián)想到證明BPDABD，綜合可得ACCE2PDAD.證明：(1)AB是O的直徑，ADB90，即ADBC.又ABAC，D是BC的中點(2)在BEC與ADC中，CC，CBECAD，BECADC.(3)BECADC，.D是BC的中點，2BD2CDBC，則2BD2ACCE.ABAC，ADBC，CADBAD.又CADCBE，CBEBAD.又BDPADB，BPDABD，則BD2PDAD.由得ACCE2BD22PDAD，ACCE2PDAD.例5解析 B因為四邊形ABCD內(nèi)接于O，所以ADC180ABC18010575.因為，所以DCEBAC25.因為ADCDCEE，所以EADCDCE752550.故選B.例6證明：(1)BDBA，BDABAD.又1BDA，1BAD.(2)如圖，連結(jié)BO，AC為O的直徑，ABC90.BADBCD180，1BCD180.OBOC，1CBO，CBOBCD180，OBDC.BEDC，BEOB.又OB是O的半徑，BE是O的切線例7解析 D由菱形的性質(zhì)，在RtABO中，易得AB5，于是以AB為直徑的半圓的面積為()2，陰影部分的面積為以AB為直徑的半圓的面積減去RtABO的面積，即6.點評 求不規(guī)則圖形的面積的主要方法是將圖形分割成規(guī)則圖形，然后求出各規(guī)則圖形的面積，再用它們的和或差求不規(guī)則圖形的面積例8解析 A由AOB為120，弦AB的長為2 cm，可以求出OAOB2 cm，所以扇形的弧長為2，它等于圓錐的底面周長，即2r2，解得r(cm)例9解：(1)證明：如圖，延長BP至點E，使PEPC，連結(jié)CE.1260，3460，CPE60，PCE是等邊三角形，CEPC，E360.又EBCPAC，BECAPC，PAEBPBPEPBPC.(2)證明：如圖，過點B作BEPB交PA于點E.122390，13.又易知APB45，PBEB，PEPB.又ABCB，ABECBP，PCEA，PAEAPEPCPB.(3)PAPCPB.證明：如圖，在AP上截取AQPC，連結(jié)BQ.又BAPBCP，ABCB，ABQCBP，QBPB.又易知APB30，PQPB，PAAQPQPCPB.