17、，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x1，f(x1))處的切線方程為
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即
y＝(2x1＋2)x－x＋a.
當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0h(2)＝
18、－ln 2－1，
所以a>－ln2－1，
而當(dāng)t∈(0，2)且t趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，
所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
10．B3，B12[2013四川卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b成立，則a的取值范圍是( )
A．[1，e] B．[1，1＋e]
C．[e，1＋e] D．[0，1]
10．A [解析] 易得f(x)在[0，1]上是增函數(shù)，對(duì)于b∈[0，1]，如果f(b)＝c＞b，則f(f(b))＝f
19、(c)＞f(b)＝c＞b，不可能有f(f(b))＝b；同理，當(dāng)f(b)＝d＜b時(shí)，則f(f(b))＝f(d)＜f(b)＝d＜b，也不可能有f(f(b))＝b；因此必有f(b)＝b，即方程f(x)＝x在[0，1]上有解，即＝x.因?yàn)閤≥0，兩邊平方得ex＋x－a＝x2，所以a＝ex－x2＋x.記g(x)＝ex－x2＋x，則g′(x)＝ex－2x＋1.
當(dāng)x∈時(shí)，ex＞0，－2x＋1≥0，故g′(x)＞0.
當(dāng)x∈時(shí)，ex＞＞1，－2x＋1≥－1，故g′(x)＞0，綜上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上為增函數(shù)，值域?yàn)閇g(0)，g(1)]，即[1，e]，從而a
20、的取值范圍是[1，e]．
B4 函數(shù)的奇偶性與周期性
3．B4，B3[2013北京卷] 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
3．C [解析] 對(duì)于A，y＝是奇函數(shù)，排除．對(duì)于B，y＝e－x既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除．對(duì)于D，y＝lg |x|是偶函數(shù)，但在(0，＋∞)上有y＝lgx，此時(shí)單調(diào)遞增，排除．只有C符合題意．
13．B4[2013全國(guó)卷] 設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x∈[1，3)時(shí)，f(x)＝x－
21、2，則f(－1)＝________
13．－1 [解析] f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
2．B4[2013廣東卷] 函數(shù)y＝的定義域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
2．C [解析] 由題知得x∈(－1，1)∪(1，＋∞)，故選C.
8．B4[2013湖北卷] x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．周期函數(shù)
8．D [解析] 作出函數(shù)f(x)＝x－[x]的大致圖像如下：
觀
22、察圖像，易知函數(shù)f(x)＝x－[x]是周期函數(shù)．
4．B4[2013湖南卷] 已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
4．B [解析] 由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)．根據(jù)f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，可得2g(1)＝6，即g(1)＝3，選B.
11．B4[2013江蘇卷] 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表
23、示為_(kāi)_______．
11．(－5，0)∪(5，＋∞) [解析] 設(shè)x<0，則－x>0.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x)．
又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等價(jià)于
或
解得x>5或－50時(shí)，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
3．D [解析] ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.
7．B4，B7[2013天津卷] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函
24、數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是( )
A．[1，2] B．0，
C.，2 D．(0，2]
7．C [解析] ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋f≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2.
9．B4和B7[2013重慶卷] 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
9．C [解析] 因?yàn)閒(l
25、g(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故選C.
B5 二次函數(shù)
6．B5，B9[2013湖南卷] 函數(shù)f(x)＝ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．A [解析] 方法一：作出函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的圖像如圖所示
可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選C.
方法二(數(shù)值法)
26、
x
1
2
4
f(x)＝ln x
0
ln 2(>0)
ln 4(<4)
g(x)＝x2－4x＋4
1
0
4
可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選C.
2．B5[2013江西卷] 若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝( )
A．4 B．2 C．0 D．0或4
2．A [解析] 當(dāng)a＝0時(shí)，A＝；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝a2－4a＝0，則a＝4，故選A.
11．B3，B5，B8，B12[2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函數(shù)y＝f(x)的圖像
27、是中心對(duì)稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減
D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0
11．C [解析] x→－∞時(shí)，f(x)<0，x→＋∞時(shí)，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0∈R，f(x0)＝0，A正確．通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B正確．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1，若x1
28、取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]
12．D [解析] 函數(shù)y＝|f(x)|＝在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝|f(x)|，y＝ax的圖像如圖所示，問(wèn)題等價(jià)于直線y＝ax不在函數(shù)y＝|f(x)|圖像的上方，顯然a>0時(shí)，y＝ln (x＋1)的圖像不可能恒在直線y＝ax的上方，故a≤0；由于直線y＝ax與曲線y＝x2－2x均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以滿足條件的直線y＝ax的極端位置是曲線y＝x2－2x在點(diǎn)(0，0)處的切線，y′＝2x－2，當(dāng)x＝0時(shí)y′＝－2.所以－2≤a≤0.
7．B5[2013浙江卷] 已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝a
29、x2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則( )
A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0
C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0
7．A [解析] 若f(0)＝f(4)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則－＝2，則4a＋b＝0，而f(0)＝f(4)>f(1)，故開(kāi)口向上，所以a>0，4a＋b＝0.所以選擇A.
B6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
12．B3，B6[2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C
30、．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
12．D [解析] 由題意存在正數(shù)x使得a>x－成立，即a>.由于x－是(0，＋∞)上的增函數(shù)，故x－>0－＝－1，所以a>－1.答案為D.
B7 對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)
8．B7，E1[2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則( )
A．a(chǎn)>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
8．D [解析] a－b＝log32－log52＝－＝>0a>b，c＝log23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案為D.
16．B7，M1[20
31、13山東卷] 定義“正對(duì)數(shù)”：ln＋x＝現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，則ln＋(ab)＝ln a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，則ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，則ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命題有________．(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))
16．①③④ [解析] ①中，當(dāng)ab≥1時(shí)，∵b>0，∴a≥1，ln＋ab＝ln ab＝bln a＝bln＋a；當(dāng)00，∴01時(shí)，左邊
32、＝ln＋(ab)＝0，右邊＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立．
③中，當(dāng)≤1，即a≤b時(shí)，左邊＝0，右邊＝ln＋a－ln＋b≤0，左邊≥右邊，成立；當(dāng)>1時(shí)，左邊＝ln ＝ln a－ln b>0，若a>b>1時(shí)，右邊＝ln a－ln b，左邊≥右邊成立；若01>b>0，左邊＝ln ＝ln a－ln b>ln a，右邊＝ln a，左邊≥右邊成立，∴③正確．
④中，若00，左邊≤右邊；若a＋b≥1，ln＋(a＋b)－ln 2＝ln
33、(a＋b)－ln 2＝ln.
又∵≤a或≤b，a，b至少有1個(gè)大于1，
∴l(xiāng)n≤ln a或ln≤ln b，即有l(wèi)n＋(a＋b)－ln 2＝ln (a＋b)－ln 2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正確．
7．B4，B7[2013天津卷] 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，則a的取值范圍是( )
A．[1，2] B．0，
C.，2 D．(0，2]
7．C [解析] ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(loga)，又∵f(log2a)＋f≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1
34、)，即|log2a|≤1，解之得≤a≤2.
3．B7[2013陜西卷] 設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是( )
A．logablogcb＝logca B．logablogca＝logcb
C．loga(bc)＝logablogac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
3．B [解析] 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知C，D是錯(cuò)誤的．再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)logablogcb≠logca.又因?yàn)閘ogablogca＝＝＝logcb，故選B.
11．B7[2013四川卷] lg ＋lg 的值是________．
11．1 [解析] lg ＋lg ＝lg (
35、)＝lg ＝lg 10＝1.
9．B4和B7[2013重慶卷] 已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
9．C [解析] 因?yàn)閒(lg(log210))＝f＝f(－lg(lg 2))＝5，又因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝8，所以f(－lg(lg2))＋f(lg(lg2))＝5＋f(lg(lg2))＝8，所以f(lg(lg 2))＝3，故選C.
B8 冪函數(shù)與函數(shù)的圖像
5．B8[2013福建卷] 函數(shù)f(x)
36、＝ln(x2＋1)的圖像大致是( )
圖1－1
5．A [解析] f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，又過(guò)點(diǎn)(0，0)，故選A.
11．B3，B5，B8，B12[2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．x0∈R，f(x0)＝0
B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形
C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減
D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0
11．C [解析] x→－∞時(shí)，f(x)<0，x→＋∞時(shí)，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0∈R，f(x0)＝
37、0，A正確．通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)＝x3＋c，從而函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形，B正確．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1，若x1
38、x)＝3x2＋2ax＋b，根據(jù)已知，得3x2＋2ax＋b＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x1
39、{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
8．B [解析] 問(wèn)題等價(jià)于求直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從圖中可以看出交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2，3，4，故n的取值范圍是{2，3，4}．
18．B11，B12，B9，B14[2013北京卷] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．
18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得
f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因?yàn)榍?/p>
40、線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.
f(x)與f′(x)的情況如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)b>1時(shí)，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1
41、，
所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，＋∞)．
6．B5，B9[2013湖南卷] 函數(shù)f(x)＝ln x的圖像與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．A [解析] 方法一：作出函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4的圖像如圖所示
可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選
42、C.
方法二(數(shù)值法)
x
1
2
4
f(x)＝ln x
0
ln 2(>0)
ln 4(<4)
g(x)＝x2－4x＋4
1
0
4
可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選C.
8．B9[2013天津卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則( )
A．g(a)<0
43、
所以g(a)<0
44、)．
故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2.
因?yàn)閤10，
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1.
當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－時(shí)等號(hào)成立
所以，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，有x2－x1≥1.
(3)當(dāng)x1x1>0時(shí)，f′(x1)≠f′(x2)，故x1<0
45、(x1))處的切線方程為
y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，即
y＝(2x1＋2)x－x＋a.
當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1<0h(2)＝－ln 2－1，
所以a>－ln
46、2－1，
而當(dāng)t∈(0，2)且t趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，
所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)．
B10 函數(shù)模型及其應(yīng)用
5．B10[2013湖北卷] 小明騎車上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是( )
圖1－1
5．C [解析] 由題意可知函數(shù)圖像最開(kāi)始為“斜率為負(fù)的線段”，接著為“與x軸平行的線段”，最后為“斜率為負(fù)值，且小于之前斜率的線段”
47、．觀察選項(xiàng)中圖像可知，C項(xiàng)符合，故選C.
10．B10[2013陜西卷] 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有( )
A．[－x]＝－[x] B.＝[x]
C．[2x]＝2[x] D．[x]＋＝[2x]
10．D [解析] 可取特值x＝3.5，則[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A錯(cuò)．x＋＝[3.5＋0.5]＝4，而[x]＝[3.5]＝3，故B錯(cuò). [2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故C錯(cuò)．[x]＋ x＋＝7，而[2x]＝[7]＝7，故只有D正確．
B11 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算
48、
18．B11，B12，B9，B14[2013北京卷] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsin x＋cos x.
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．
18．解：由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x，得
f′(x)＝x(2＋cos x)．
(1)因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.
f(x)與f′(x)的情況如下：
49、
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)b>1時(shí)，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
綜
50、上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，＋∞)．
10．B11[2013全國(guó)卷] 已知曲線y＝x4＋ax2＋1在點(diǎn)(－1，a＋2)處切線的斜率為8，則a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
10．D [解析] y′＝4x3＋2ax，當(dāng)x＝－1時(shí)y′＝8，故8＝－4－2a，解得a＝－6.
12．B11[2013廣東卷] 若曲線y＝ax2－ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a＝________
12. [解析] 易知點(diǎn)(1，a)在曲線y＝ax2－ln x上，y′＝2ax－，∴＝2a－1＝0，∴a＝.
11．B11[2
51、013江西卷] 若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(diǎn)(1，2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則α＝________．
11．2 [解析] y′＝αxα－1，y′＝α，所以切線方程為y－2＝α(x－1)，該切線過(guò)原點(diǎn)，得α＝2.
21．B11，B12[2013陜西卷] 已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.
(1)求f(x)的反函數(shù)的圖像上點(diǎn)(1，0)處的切線方程；
(2)證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn)；
(3)設(shè)a
52、.
于是在點(diǎn)(1，0)處切線方程為y＝x－1.
(2)方法一：曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)φ(x)＝ex－x2－x－1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
∵φ(0)＝1－1＝0，∴φ(x)存在零點(diǎn)x＝0.
又φ′(x)＝ex－x－1，令h(x)＝φ′(x)＝ex－x－1，
則h′(x)＝ex－1.
當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)<0，∴φ′(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，∴φ′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
∴φ′(x)在x＝0有唯一的極小值φ′(0)＝0，
即φ′(x)在R上的最小值為φ′(0)＝0，
∴φ′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)，
53、∴φ(x)在R上是單調(diào)遞增的，
∴φ(x)在R上有唯一的零點(diǎn)．
故曲線y＝f(x)與曲線y＝x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn)．
方法二：∵ex>0，x2＋x＋1>0，
∴曲線y＝ex與y＝x2＋x＋1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于
曲線y＝與直線y＝1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
設(shè)φ(x)＝，則φ(0)＝1，即x＝0時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)．
又φ′(x)＝＝≤0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)，
∴φ(x)在R上單調(diào)遞減，
∴φ(x)與y＝1有唯一的公共點(diǎn)，
故曲線y＝f(x)與y＝x2＋x＋1有唯一的公共點(diǎn)．
(3)－f＝－e ＝＝.
設(shè)函數(shù)u(x)＝ex －－2x(x≥0)，則u′(x)＝ex＋－2≥2－2＝0
54、.
∴u′(x)≥0(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)，
∴u(x)單調(diào)遞增．
當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)＝0.
令x＝，則得e－e－(b－a)>0.
∴>f.
20．B11、B12[2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．
20．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
從而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(
55、x＋1)－x2－4x.
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln 2)時(shí)，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln 2)上單調(diào)遞減．
當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．
20．B11和B12[2013重慶卷] 某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)
56、面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．
20．解：(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元，又據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，從而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5 ，故函數(shù)V(r)的
57、定義域?yàn)?0，5 )．
(2)因?yàn)閂(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(r2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)．
當(dāng)r∈(0，5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5，5 )時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5，5 )上為減函數(shù)．
由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大．
B12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
20．E3，B12[2013安徽卷] 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，區(qū)間
58、I＝{x|f(x)>0}．
(1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(α，β)的長(zhǎng)度定義為β－α)；
(2)給定常數(shù)k∈(0，1)，當(dāng)1－k≤a≤1＋k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值．
20．解：(1)因?yàn)榉匠蘟x－(1＋a2)x2＝0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1＝0，x2＝，
故f(x)>0的解集為{x|x10，d(a)單調(diào)遞增；
當(dāng)1
59、1－k或a＝1＋k處取得．
而＝＝<1，故d(1－k)
60、f(x)＋b＝0必然有f(x)＝x1或f(x)＝x2.由于f(x1)＝x1且x1
61、＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b＝f(a)．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f ′(x)＝0，得x＝0.
f(x)與f′(x)的情況如下：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值．
當(dāng)b≤1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)b>1時(shí)，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1
62、
所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)．
綜上可知，如果曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，＋∞)．
21．B12、B14[2013全國(guó)卷] 已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)當(dāng)a＝－時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍．
21．解：(1)當(dāng)a＝－時(shí)，f(x)＝x3－3 x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6 x＋
63、3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(－1，＋1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(＋1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函數(shù)．
(2)由f(2)≥0得a≥－.
當(dāng)a≥－，x∈(2，＋∞)時(shí)，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝
3(x－2)>0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，于是當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，f(x)≥f(2)≥0.
綜上，a的取值范圍是.
22．B12，B14[2013福建卷] 已知函數(shù)f(
64、x)＝x－1＋(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；
(2)求函數(shù)f(x)的極值；
(3)當(dāng)a＝1時(shí)，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值．
22．解：(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值．
②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.
當(dāng)
65、x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝ln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)＝ln a，無(wú)極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝ln a處取得極小值ln a，無(wú)極大值．
(3)方法一：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1＋.
令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，
則直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程g(x)＝0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
假設(shè)k>1，此時(shí)g(0)
66、＝1>0，g＝－1＋<0，
又函數(shù)g(x)的圖像連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，與“方程g(x)＝0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k≤1.
又k＝1時(shí)，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
所以k的最大值為1.
方法二：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1＋.
直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，
等價(jià)于關(guān)于x的方程kx－1＝x－1＋在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：
(k－1)x＝(*)在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)k＝1時(shí)，方程(*)可化為＝0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解．
②當(dāng)k≠1時(shí)，方程(*)化為＝xex.
令g(x)＝xex，則有g(shù)′(x)＝(1＋x)ex.
令g′(x)＝0，得x＝－1，
當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
－
【備考】高考數(shù)學(xué) （真題模擬新題分類匯編） 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 文
