【備考】高考數(shù)學 (真題模擬新題分類匯編) 計數(shù)原理 理
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1、 計數(shù)原理 J1 基本計數(shù)原理 5.J1[2013福建卷] 滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為( ) A.14 B.13 C.12 D.10 5.B [解析] 當a=0時,2x+b=0x=-,有序數(shù)對(0,b)有4個;當a≠0時,Δ=4-4ab≥0ab≤1,有序數(shù)對(-1,b)有4個,(1,b)有3個,(2,b)有2個,綜上共有4+4+3+2=13個,故選B. 12.J1[2013北京卷] 將序號分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1
2、張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是________. 12.96 [解析] 5張參觀券分為4堆,有2個連號有4種分法,然后每一種全排列有A種方法,所以不同的分法種數(shù)是4A=96. 14.J1、J2[2013全國卷] 6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種.(用數(shù)字作答) 14.480 [解析] 先排另外四人,方法數(shù)是A,再在隔出的五個位置安插甲乙,方法數(shù)是A,根據(jù)乘法原理得不同排法共有AA=2420=480種. 22.A1、A2,J1[2013重慶卷] 對正整數(shù)n,記In={1,2,…,n},Pn=. (1)求集合P7中元素的個數(shù);
3、 (2)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”,求n的最大值,使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并. 22.解:(1)當k=4時,m∈I7中有3個數(shù)與I7中的3個數(shù)重復,因此P7中元素的個數(shù)為77-3=46. (2)先證:當n≥15時,Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并.若不然,設(shè)A,B為不相交的稀疏集,使A∪B=PnIn.不妨設(shè)1∈A,則因1+3=22,故3A,即3∈B.同理6∈A,10∈B,又推得15∈A,但1+15=42,這與A為稀疏集矛盾. 再證P14符合要求,當k=1時,m∈I14=I14可分成兩個稀疏集之并,事實上,只要取A1={1,2,4,6
4、,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},則A1,B1為稀疏集,且A1∪B1=I14. 當k=4時,集m∈I14中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集,可分解為下面兩稀疏集的并:A2=,B2=. 當k=9時,集m∈I14中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集,可分解為下面兩稀疏集的并:A3=, B3=. 最后,集C=m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9中的數(shù)的分母均為無理數(shù),它與P14中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù),因此,令A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,則A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14. 綜上,所求n的最大值為14. 注:對P14的分拆方法不是唯一的.
5、 J2 排列、組合 8.J2[2013遼寧卷] 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n=10,則輸出S=( ) 圖1-2 A. B. C. D. 8.A [解析] 由程序框圖可以得到S=++++ =++++ ==,故選A. 14.J1、J2[2013全國卷] 6個人排成一行,其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種.(用數(shù)字作答) 14.480 [解析] 先排另外四人,方法數(shù)是A,再在隔出的五個位置安插甲乙,方法數(shù)是A,根據(jù)乘法原理得不同排法共有AA=2420=480種. 10.J2[2013山東卷] 用0
6、,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為( ) A.243 B.252 C.261 D.279 10.B [解析] (排除法)十個數(shù)排成不重復數(shù)字的三位數(shù)求解方法是:第一步,排百位數(shù)字,有9種方法(0不能作首位),第二步,排十位數(shù)字,有9種方法,第三步,排個位數(shù)字,有8種方法,根據(jù)乘法原理,共有998 = 648(個)沒有重復數(shù)字的三位數(shù).可以組成所有三位數(shù)的個數(shù):91010=900,所以可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是:900-648=252. 8.J2[2013四川卷] 從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別為a,b,共可得到lga-l
7、gb的不同值的個數(shù)是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 8.C [解析] 從1,3,5,7,9中,每次取出兩個不同的數(shù)作為a,b可以得到不同的差式lg a-lg b共計A=20個,但其中l(wèi)g 9-lg 3=lg 3-lg 1,lg 3-lg 9=lg 1-lg 3,故不同的值只有18個. 14.K2,J2[2013新課標全國卷Ⅱ] 從n個正整數(shù)1,2,3,…,n中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則n=________. 14.8 [解析] 和為5的只有兩種情況,1+4,2+3,故=C=28n=8. 14.J2[2013浙江卷] 將A,
8、B,C,D,E,F(xiàn)六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答). 14.480 [解析] 先在6個位置找3個位置,有C種情況,A,B均在C的同側(cè),有CAB,CBA,ABC,BAC,而剩下D,E,F(xiàn)有A種情況,故共有4CA=480種. 13.J2[2013重慶卷] 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 13.590 [解析] 從12名醫(yī)生中選出5名的選法有C=792種,其中只不選骨科醫(yī)生的選法有C-1=125種;只不選腦外科醫(yī)生
9、的選法有C-1=55種;只不選內(nèi)科醫(yī)生的選法有C=21種;同時不選骨科和腦外科醫(yī)生的選法有1種,故骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)有792-(125+55+21+1)=590. J3 二項式定理 9.J3[2013新課標全國卷Ⅰ] 設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.B [解析] (x+2y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值是C,即a=C;(x+2y)2m+1展開式的二項
10、式系數(shù)的最大值是C,即b=C,∵13a=7b,∴13C=7C,∴13=7,易得m=6. 11.J3[2013安徽卷] 若x+8的展開式中x4的系數(shù)為7,則實數(shù)a=________. 11. [解析] 二項式展開式的通項為Tr+1=Carx8-r,令8-r=4,可得r=3,故Ca3=7,解得a=. 15.B13,J3,M1[2013福建卷] 當x∈R,|x|<1時,有如下表達式: 1+x+x2+…+xn+…=. 兩邊同時積分得:∫01dx+∫0xdx+∫0x2dx+…+∫0xndx+…=∫0dx, 從而得到如下等式: 1+++…++…=ln 2. 請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方
11、法,計算: C+C2+C3+…+C=__________. 15. [解析] (1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxn, 兩邊同時積分得C∫01dx+C∫0xdx+C∫0x2dx+…+C∫0xndx=∫0(1+x)ndx, 得C+C2+C3+…+Cn+1=n+1-1. 5.J3[2013江西卷] 展開式中的常數(shù)項為( ) A.80 B.-80 C.40 D.-40 5.C [解析] Tr+1=C(x2)5-r=C(-2)rx10-5r,當r=2時,得常數(shù)項為40,故選C. 7.J3[2013遼寧卷] 使(n∈N+)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為( ) A.4
12、B.5 C.6 D.7 7.B [解析] 由通項Tk+1=C(3x)n-k=C3n-kxn-,所以在展開式中含有常數(shù)項時,n-=0,當k取最小值2時,n取最小值5.故選B. 7.J3[2013全國卷] (1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是( ) A.56 B.84 C.112 D.168 7.D [解析] (1+x)8展開式中x2的系數(shù)是C,(1+y)4的展開式中y2的系數(shù)是C,根據(jù)多項式乘法法則可得(1+x)8(1+y)4展開式中x2y2的系數(shù)為CC=286=168. 8.B1,J3[2013陜西卷] 設(shè)函數(shù)f(x)=則當x>0時,f[f(x)]表達式的展
13、開式中常數(shù)項為( ) A.-20 B.20 C.-15 D.15 8.A [解析] 由已知表達式可得:f[f(x)]=-6,展開式的通項為Tr+1=C6-r(-)r=C(-1)rxr-3,令r-3=0,可得r=3,所以常數(shù)項為T4=-C=-20. 11.J3[2013四川卷] 二項式(x+y)5的展開式中,含x2y3的項的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 11.10 [解析] 根據(jù)二項展開式的性質(zhì)可得x2y3的系數(shù)為C=10. 10.J3[2013天津卷] x-6的二項展開式中的常數(shù)項為________. 10.15 [解析] 由二項式的展開式得Tk+1=Cx6-k=
14、(-1)kCx6-k,令6-k=0,解之得k=4,T5=(-1)4C=15. 5.J3[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知(1+ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 5.D [解析] 已知(1+ɑx)(1+x)5的展開式中,x2的系數(shù)為C+aC =5,則a=-1,故選D. 11.J3[2013浙江卷] 設(shè)二項式-5的展開式中常數(shù)項為A,則A=________. 11.-10 [解析] Tr+1=Cx(-1)rx-=(-1)rCx,則=0,r=3,故常數(shù)項A=T4=(-1)3C=-10. J4 單元綜合
15、
23.J4[2013江蘇卷] 設(shè)數(shù)列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(-1)k-1k,…,(-1)k-1k,k個…,即當 16、1=5,所以S1=1,S2=-1,S3=-3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=-2,S9=-6,S10=-10,S11=-5,從而S1=a1,S4=0a4,S5=a5,S6=2a6,S11=-a11,所以集合P11中元素的個數(shù)為5.
(2)先證:Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*).
事實上,①當i=1時,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立;
②假設(shè)i=m時成立,即Sm(2m+1)=-m(2m+1),
則i=m+1時,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m2 17、+5m+3)=-(m+1)(2m+3).
綜合①②可得Si(2i+1)=-i(2i+1).于是S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).
由上可知Si(2i+1)是2i+1的倍數(shù),而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍數(shù),又S(i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是2i+2的倍數(shù).而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1) 18、(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+2)的倍數(shù),故當l=i(2i+1)時,集合Pl中元素的個數(shù)為1+3+…+(2i-1)=i2,
于是,當l=i(2i+1)+j(1≤j≤2i+1)時,集合Pl中元素的個數(shù)為i2+j.
又2 000=31(231+1)+47.
故集合P2 000中元素的個數(shù)為312+47=1 008.
1.[2013安徽示范名校聯(lián)考] 如圖K37-1所示,△ABC是一個邊長為3的正三角形,若在每一邊的兩個三等分點中,各隨機選取一點連成三角形.下列命題正確 19、的是________.(寫出所有正確命題的編號)
①依此方法可能連成的三角形一共有8個;②這些可能連成的三角形中,恰有2個是銳角三角形;③這些可能連成的三角形中,恰有3個是直角三角形;④這些可能連成的三角形中,恰有3個是鈍角三角形;⑤這些可能連成的三角形中,恰有2個是正三角形.
1.①②⑤ [解析] 如圖所示編號,邊長為3,則選取三角形的邊長為1,或2三種之一;
①每邊各選1點,三角形共CCC=8個;
②銳角三角形只有△DHF和△IGE兩個;
③直角三角形有6個(滿足1∶∶2);
④沒有鈍角三角形;
⑤兩個正三角形△DHF和△IGE(邊長為).
故選①②⑤.
2.[2013湖 20、南師大附中月考] 的展開式中,系數(shù)最大的項為第________項.
2.3或5 [解析] 的展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)只有符號差異,又中間項的二項式系數(shù)最大,中間項為第4項其系數(shù)為負,則第3,5項系數(shù)最大.
3.[2013鄭州質(zhì)檢] 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中,有5架“殲-15”飛機準備著艦,如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而丙、丁兩機不能相鄰著艦,那么不同的著艦方法數(shù)是( )
A.12 B.18
C.24 D.48
3.C [解析] 分三步:把甲、乙捆綁為一個元素A,有A種方法;A與戊機形成三個“空”,把丙、丁兩機插入空中有A種方法;考慮A與戊機的排法有A種 21、方法.可知共有AAA=24種不同的著艦方法.
4.[2013皖南八校聯(lián)考] “2012”含有數(shù)字0,1,2,且有兩個數(shù)字2,則含有數(shù)字0,1,2,且有兩個相同數(shù)字2或1的四位數(shù)的個數(shù)為( )
A.18 B.24
C.27 D.36
4.A [解析] 由題意可分情況討論:含有兩個1或兩個2的四位數(shù),先排0有3個位置可以選,然后排另外一個不重復的數(shù)字有3個位置可以選,剩下的排重復的數(shù)字,所以滿足要求的數(shù)共有2CCC=18個.
5.[2013肇慶期末統(tǒng)考] 的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是( )
A.0 B.2
C.4 D.6
5.B [解析] 二項展開式的通項為Tr 22、+1=Cr10()10-r=Cr10(-1)rx,若展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪,即(5-r)∈N*,且0≤r≤10,r∈N,所以r=2或0.所以一共有兩項,故選B.
6.[2013三門峽一練] 在航天員進行的一項太空實驗中,要先后實驗6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步,程序B和C在實施時必須相鄰,則實驗順序的編排方法種數(shù)為________(用數(shù)字作答).
6.96 [解析] 第一步,A程序有C種不同安排方法,第二步,將B和C看成一個程序與其他3個程序有A種不同安排方法,第三步,安排B和C的順序,有A種不同的方法,根據(jù)分步計數(shù)原理,則不同的安排方法共有CAA=96種.
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