高中數學（北師大版）選修2-2教案：第3章 函數的最大值與最小值 第一課時參考教案

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1、 第一課時 函數的最大值與最小值（一） 一、教學目標： 1、知識與技能：會求函數的最大值與最小值。 2、過程與方法：通過具體實例的分析，會利用導數求函數的最值。 3、情感、態(tài)度與價值觀：讓學生感悟由具體到抽象，由特殊到一般的思想方法。 二、教學重點：函數最大值與最小值的求法 教學難點：函數最大值與最小值的求法 三、教學方法：探究歸納，講練結合 四、教學過程： （一）、復習引入 1、極大值： 一般地，設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x

2、0是極大值點 2、極小值：一般地，設函數f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小 （ⅱ）函數的極值不是唯一的即一個函數在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）

3、函數的極值點一定出現在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點 而使函數取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點。 我們知道，極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質．也就是說，如果 - 2 - / 7 是函數的極大（小）值點，那么在點附近找不到比更大（?。┑闹担?，在解決實際問題或研究函數的性質時，我們更關心函數在某個區(qū)間上，哪個至最大，哪個值最小．如果是函數的最大（?。┲担敲床恍。ù螅┯诤瘮翟谙鄳獏^(qū)間上的所有函數值． （二）、探究新課 1、函數的最大值和最小值 觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數的圖象．圖中與是極小值，是極大值

4、．函數在上的最大值是，最小值是． 結論：一般地，在閉區(qū)間上函數的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數在上必有最大值與最小值． 說明：⑴在開區(qū)間內連續(xù)的函數不一定有最大值與最小值．如函數在內連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑵函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的． ⑶函數在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件． (4)函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個 2、“最值”與“極值”的區(qū)別和聯系 ⑴最值”是整體概念，是比較整個定義域內的函數值得出的，具有絕對性；而“極值

5、”是個局部概念，是比較極值點附近函數值得出的，具有相對性． ⑵從個數上看，一個函數在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； ⑶函數在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個 ⑷極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值． 3、利用導數求函數的最值步驟: 由上面函數的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數所有的極值與定義區(qū)間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了． 設函數在上連續(xù)，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求在內的極

6、值；⑵將的各極值與、比較得出函數在上的最值 （三）、例題探析 例1、求函數在區(qū)間上的最大值與最小值 解：先求導數，得 令＝0即解得 導數的正負以及，如下表 X -2 （-2,-1） 1 （-1,0） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 從上表知，當時，函數有最大值13，當時，函數有最小值4 例2、已知,∈(0,+∞).是否存在實數,使同時滿足下列兩個條件：（1）)在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數；（2）的最小值是1，若存在

7、，求出，若不存在，說明理由. 解：設g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數 ∴g(x)在（0，1）上是減函數，在［1，+∞)上是增函數. ∴ ∴ 解得 經檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件。 （四）、課堂練習： 1．下列說法正確的是( ) A.函數的極大值就是函數的最大值 B.函數的極小值就是函數的最小值 C.函數的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最值 2.函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) A.等于

8、0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函數y=，在［－1，1］上的最小值為( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4.函數y=的最大值為( )。 A. B.1 C. D. 5.設y=|x|3,那么y在區(qū)間［－3，－1］上的最小值是( ) A.27 B.－3 C.－1 D.1 6.設f(x)=ax3－6ax2+b在區(qū)間［－1，2］上的最大值為3，最小值為－29，且a>b,則( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3 （五）、小結 ： ⑴函數在閉區(qū)間上的最值點必在下列各種點之中：導數等于零的點，導數不存在的點，區(qū)間端點；⑵函數在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間 上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；⑶閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最值；開區(qū)間內的可導函數不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值。 （六）、作業(yè)布置： 五、教學反思： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！