陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問題拓展資料素材 北師大版必修

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1、用函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列問題新教材將數(shù)列安排在函數(shù)之后學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的密切聯(lián)系從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，變動(dòng)地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，一方面有利于認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，另一方面有利于加深對函數(shù)概念的理解本文擬用函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一些數(shù)列問題 1 數(shù)列的本質(zhì)數(shù)列可看作一個(gè)定義域?yàn)镹*(或它的有限子集1，2，3，n)的函數(shù)，用圖象表示是一群孤立的點(diǎn)例如，對于公差不為零的等差數(shù)列an來說，它的通項(xiàng)是關(guān)于n的一次函數(shù)，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列各點(diǎn)均勻地分布在一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象上；它的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的無常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，因此Sn/n也是關(guān)于n的一次函數(shù)式是_考慮到an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故

2、pnq與(n1)或(2n1)是同類因式由待定系數(shù)法知： pq=0(舍去)或p2q=0 例2 等差數(shù)列an中，ap=q，aq=p(pq)求ap+q 解 由于等差數(shù)列的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù)，故三點(diǎn)(p，q)，(q，p)，(pq，apq)共線 解 由題設(shè)知：公差a02 / 8 例4 已知an是等差數(shù)列 (1)2a5=a3a7是否成立？2a5=a1a9是否成立？ (2)2an=an-2an+2(n2)是否成立？2an=an-kan+k(nk0)是否成立？ (新教材第一冊(上)第119頁習(xí)題10) 解 表示數(shù)列an的各點(diǎn)，均勻地分布在一條直線上不妨設(shè)公差d0 (1)如圖1，畫出點(diǎn)(3，a3)，(5

3、，a5)，(7，a7)由中位線定理得 2a5=a3a7如圖2，畫出點(diǎn)(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)作輔助線AC，同樣有2a5=a1a9故(1)中兩式全成立 (2)畫出圖3，圖4類似(1)，有2an=an-2an+2(n2)，2an=an-kan+k(nk0)故(2)中兩式全成立 說明 在例4中運(yùn)用圖象直觀地刻劃了等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，同樣還可直觀地刻劃等差數(shù)列的其它性質(zhì)，如 (i)an=am(nm)d (m，n，N*)； (ii)若mn=pq，則aman=apaq(m，n，p，qN*) 2 數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列an中，如果anan+1對nN*都成立，那么稱an是單調(diào)遞增數(shù)列；如果anan

4、+1對nN*都成立，那么稱an是單調(diào)遞減數(shù)列數(shù)列的單調(diào)性可以用函數(shù)的單調(diào)性來刻劃例如，公差不為零的等差數(shù)列的單調(diào)性與一次函數(shù)的單調(diào)性相同；公比大于零且不等于1的等比數(shù)列的單調(diào)性與指數(shù)型函數(shù)y=kax(a0且a1)的單調(diào)性相同 例5 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n210n10這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值？數(shù)列中是否還存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？ 解 表示數(shù)列an的各點(diǎn)都在函數(shù)y=x210x10的圖象上由圖5可得，這個(gè)數(shù)列從第5項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大，從第9項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正值，第9項(xiàng)是與首項(xiàng)相同的項(xiàng) 說明 以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)、理解數(shù)列，才能自覺地用函數(shù)的單調(diào)性去研

5、究數(shù)列的單調(diào)性數(shù)列an為遞減數(shù)列，數(shù)列an中的最大項(xiàng)為即 log(a1)a2loga(a1)1成立解此不等式可得 3 數(shù)列的最值運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)求數(shù)列的最值，可以更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，同時(shí)又能深化對函數(shù)概念的理解 例7 若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n27n(nN*)，求an的最大值，并與函數(shù)y=x27x(xR)的最大值作比較 解 作出函數(shù)y=x27x(xR)的圖象從圖象上看，表示數(shù)列an的各點(diǎn)都在拋物線y=x27x(xR)上，由圖象得 說明 經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)數(shù)列an與函數(shù)y=x27x(xR)在不同的地方取到不同的最大值，這是由于兩者的定義域不同所造成的 例8 等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，已知a10，S9=S16，問n為何值時(shí)，Sn最大？ 解 由題意知：an是單調(diào)遞減數(shù)列，故點(diǎn)(n，Sn)在開口向下的拋物線上，又點(diǎn)當(dāng)n=12或n=13時(shí)，Sn最大函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，它象一根主線貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中新教材在數(shù)列這一章中大量滲透了函數(shù)思想，這正是新教材“新”之所在，它不僅有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)列的本質(zhì)，而且也使學(xué)生對函數(shù)概念的理解逐步升華 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！