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1、
判定等差數(shù)列的方法
本文介紹判定等差數(shù)列的方法，目的在于深刻理解等差數(shù)列的定義，靈活運用有關(guān)知識，為解有關(guān)數(shù)列的綜合題奠定基礎(chǔ)．那么怎樣判定等差數(shù)列呢？
一、定義法
如果一個數(shù)列{an}滿足an+1－an＝常數(shù)，則這個數(shù)列叫做等差數(shù)列．據(jù)此定義，要證數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明an+1－an＝常數(shù)，這種方法叫做定義法．
例1 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，而數(shù)列{bk}的通項公式為
證明 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則有
二、通項公式法
大家知道，等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d．反之如果數(shù)列{an}
2、的通項公式為an＝a1＋(n－1)d，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．這樣，數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是an＝a1＋(n－1)d．因此通項公式也是判定等差數(shù)列的好方法．
求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
證明 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是
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三、等差中項法
三數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，即2A＝a＋b，A叫a，b等差中項．反之，若2A＝a＋b，則a，A，b成差數(shù)列．因此，我們常用后一結(jié)論來判定等差數(shù)列．
例3 已知x，y，z成等差數(shù)列，求證x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差
3、數(shù)列．
證明 ∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)
?。絰2y＋x2z＋z2x＋z2y
?。絰2y＋z2y＋xz(x＋z)
＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)
?。統(tǒng)(x2＋z2＋2xz)＝4y3．
而2y2(x＋z)＝2y2(2y)＝4y3，
∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．
故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差數(shù)列．
有些數(shù)列題需要根據(jù)上面的方法證明所給數(shù)列是等差數(shù)列后，再求解．至于證明時選用哪個方法，應(yīng)因題而異．
解 因為數(shù)列的第k項
大，必須前k項非負(fù)，而從第k＋1項起以后各項都是負(fù)數(shù)，因此k適合下列條件：
由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，
所以，13.2＜k≤14.2．
由于k為自然數(shù)，故k＝14，即該數(shù)列前14項的和最大．
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