空間距離的全部求法.ppt

基礎(chǔ)知識一、七種空間中的距離1兩點間的距離連結(jié)兩點的的長度2點到直線的距離從直線外一點向直線引垂線，的長度3點到平面的距離從點向平面引垂線，的長度4平行直線間的距離從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線，的長度,點到垂足之間線段,點到垂,足間線段,這點到垂足間線段,線段,5異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的的長度6直線與平面間的距離如果一條直線和一個平面平行，從直線上任意一點向平面引垂線，的長度7兩平行平面間的距離夾在兩個平面之間的的長度,線段,這點到垂足,間線段,公,垂線段,二、求距離的方法從空間中各種距離的定義看，它們基本上都是轉(zhuǎn)化為兩點間的距離來計算因此，會求空間中兩點的距離是基礎(chǔ)，求點到直線和點到平面的距離是重點，求異面直線的距離是難點求解距離問題要注意運用化歸與轉(zhuǎn)化思路：面面距離線面距離點面距離點點距離,三、求距離的一般步驟1找出或作出有關(guān)距離的圖形2證明它們就是所求的距離3利用平面幾何和解三角形的知識在平面內(nèi)計算求解,易錯知識一、公式應用失誤1異面直線a、b所成的角60，其公垂線為AB，且Aa，Bb，又Ma，Nb，且AM5，BN4，AB3，則MN_.,二、分析問題不全面致誤2不共面的四個定點到平面的距離相等，這樣的平面共有()A3個B4個C6個D7個解題思路：如圖設(shè)E、F、G分別為棱AB，AC，AD的中點，則過E、F、G三點的平面P就是高AH的垂直平分面，所以它與A、B、C、D四點等距四面體有四條高，因此，這樣的平面共有四個可作，因此，與A、B、C、D四點等距的平面有四個,如圖，設(shè)k，L分別為BD、BC的中點，則過K、L、F、G四點的平面就是異面直線AB、CD的公垂線段MN的垂直平分面，它與A、B、C、D四點距離相等四面體有三對異面的棱，這樣的平面共有3個，因此，這道題的正確答案是7個故選D.答案：D,回歸教材1下列命題中：PA矩形ABCD所在的平面，則P、B兩點間的距離等于點P到BC的距離；若ab，a，b，則a與b的距離等于a與的距離；直線a、b是異面直線，a，b，則a、b之間的距離等于b與的距離；直線a、b是異面直線，a，b，且，則a、b之間的距離等于與之間的距離其中正確命題的個數(shù)有()A1個B2個C3個D4個,解析：正確，如圖1，點線距離可轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離；不正確，如圖2；、正確，如圖3、圖4，異面直線的距離常常可轉(zhuǎn)化為線面或面面之間的距離故選C.答案：C,2已知平面外不共線的三點A，B，C到的距離都相等，則正確的結(jié)論是()A平面ABC必不垂直于B平面ABC必平行于C平面ABC與相交D存在ABC的一條中位線平行于或在內(nèi)解析：平面ABC可以與平行、相交(包括垂直)，故排除A、B、C，選擇D.答案：D,3點P是ABCD所在平面外一點，若P到四邊的距離都相等，則ABCD()A是正方形B是長方形C有一個內(nèi)切圓D有一個外接圓解析：根據(jù)射影長定理，知P的射影O到四邊距離相等，所以選C.答案：C,4(教材改編題)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為1.則C1D1的中點E到直線AB的距離為()解析：易知其距離為線段BC1的長，BC1的長為.答案：B,5已知直角三角形EFG的直角頂點E在平面內(nèi)，斜邊FG，且FG6cm，EF、EG和分別成30和45角，則FG到的距離為()答案：B,【例1】(2008啟東中學模擬)P為四面體SABC的側(cè)面SBC內(nèi)的一點，若動點P到底面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡是側(cè)面SBC內(nèi)的()A線段或圓的一部分B橢圓或雙曲線的一部分C雙曲線或拋物線的一部分D拋物線或橢圓的一部分,解析本題考查學生對圓錐曲線定義的掌握程度；培養(yǎng)學生的探究能力、遷移能力、將空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化能力如圖，過點P作PH面ABC于點H，再過點P作POBC于點O，則POH等于二面角SBCA的平面角，從而由條件知PHPS，所以sin，當時，動點P的軌跡是拋物線的一部分；當時，動點P的軌跡是橢圓的一部分，故選D.答案D,(2007西安八校聯(lián)考)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面ABB1A1內(nèi)有一動點P到直線AA1和BC的距離相等，則動點P的軌跡是()A線段B橢圓的一部分C雙曲線的一部分D拋物線的一部分答案：D,解析：P到直線BC的距離即為P到點B的距離，于是由拋物線的定義知，P點的軌跡為(以AA1為準線，B為焦點的)拋物線的一部分，故選D.,【例2】(2009重慶，19)如圖，在ABC中，B90，AC，D、E兩點分別在AB、AC上，使2，DE3.現(xiàn)將ABC沿DE折成直二面角，求：,(1)異面直線AD與BC的距離；(2)二面角AECB的大小(用反三角函數(shù)表示)命題意圖本題主要考查異面直線之間的距離以及二面角的作法和求法，以及空間向量的運用，關(guān)鍵是注意折疊問題中折前與折后的不變量,解析(1)在圖(1)中，因故DEBC.又因為B90，從而ADDE.在圖(2)中，因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，從而ADDB.而DBBC，故DB為異面直線AD與BC的公垂線下面求DB的長，在圖(1)中，又已知DE3，從而,(2)在圖(2)中，過D作DFCE，交CE的延長線于點F，連接AF，由(1)知，AD底面DBCE.由三垂線定理知AFFC，故AFD為二面角AECB的平面角在底面DBCF中，DEFBCE，,從而在RtDFE中，DE3，DFDEsinDEFDEsinBCE在RtAFD中，AD4，tanAFD因此所求二面角AECB的大小為,如下圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，P是BC的中點，DP交AC于M，B1P交BC1于N，(1)求證：MN是異面直線AC與BC1的公垂線；(2)求異面直線AC與BC1間的距離,解析：(1)欲證MNAC且MNBC1，只要證明,總結(jié)評述：異面直線間的距離要控制難度，只要會求給出的公垂線段的情況此題若不提示點P的位置而要你直接求AC與BC1間的距離，則難度大得多作為開闊思路，想一想，還有哪些方法可求之.,【例3】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBCa，D、E分別為棱AB、BC的中點，M為棱AA1上的點，二面角MDEA為30.(1)證明：A1B1C1D；(2)求MA的長，并求點C到平面MDE的距離,命題意圖本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象力與思維能力解析(1)證明：如圖連結(jié)CD.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，CD為C1D在平面ABC內(nèi)的射影ABC中，ACBC，D為AB中點ABCD，ABC1D.A1B1AB，A1B1C1D.,(2)解法一：過點A作CE的平行線，交ED的延長線于F，連結(jié)MF.D、E分別為AB、BC的中點，DEAC，又AFCE，CEAC，AFDE.MA平面ABC，AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，MFDE，MFA為二面角MDEA的平面角，MFA30.,在RtMAF中，MFA30，作AGMF，垂足為G.MFDE，AFDE，DE平面AMF，平面MDE平面AMF，AG平面MDE.,在RtGAF中，GFA30，AF，AG，即A到平面MDE的距離為.CADE，CA平面MDE，C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等，為.,解法二：過點A作CE的平行線，交DE的延長線于F，連結(jié)MF.D、E分別為AB、CB的中點，DEAC，又AFCE，CEAC，AFDE.MA平面ABC，AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，MFDE，MFA為二面角MDEA的平面角，MFA30.,在RtMAF中，MFA30，設(shè)C到平面MDE的距離為h.VMCDEVCMDE，,(2009重慶，19)如圖所示，在四棱錐SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E為BS的中點，CE，AS.求：(1)點A到平面BCS的距離；(2)二面角ECDA的大小,解析：(1)因為ADBC，且BC平面BCS，所以AD平面BCS，從而A點到平面BCS的距離等于D點到平面BCS的距離因為平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，從而ADDS.由ADBC，得BCDS.又由CSDS知DS平面BCS，從而DS為點A到平面BCS的距離,(2)如圖，過E點作EGCD，交CD于點G，又過G點作GHCD，交AB于H，故EGH為二面角ECDA的平面角，記為.過E點作EFBC，交CS于點F，連結(jié)GF.因平面ABCD平面CSD，GHCD，易知GHGF，故EGF.,【例4】在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12(如圖)(1)求證：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中兩個平行平面間的距離,分析證面面平行，只需證其中一個平面內(nèi)的某兩條相交直線平行于另一個平面，而計算面面距離，除找公垂線段外，還可求其中一個平面內(nèi)任一點到另一平面的距離，也可用“等體積法”計算,解(1)由于BC1AD1，則BC1平面ACD1.同理，A1B平面ACD1，則平面A1BC1平面ACD1；(2)設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d，則d等于D1到平面A1BC1的距離由于VD1A1BC1VBA1C1D1，則,(2009北京，7)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60角，則A1C1到底面ABCD的距離為(),答案：D解析：依題可知B1AB60，平面A1B1C1D1平面ABCD，A1C1平面A1B1C1D1，B1B即為所求距離，在ABB1中，得B1B.故選D.,1異面直線間的距離的求法：直接法：找兩異面直線的公垂線段并求解；.2兩點之間的距離、點線距離的求法：兩點之間的距離，常利用異面直線上兩點間的距離公式來求；點到直線的距離，常用三垂線定理來求,3點面距離的求法：(1)直接法：往往利用面面垂直作線面垂直，作圖時，應避免引垂線的隨意性與盲目性；(2)等積法；(3)轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為線面距離、面面距離等4注意各種距離之間的相互轉(zhuǎn)化：如點面距離線面距離點面距離；面面距離線面距離點面距離,請同學們認真完成課后強化作業(yè),