2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題33 數(shù)列求和檢測 文.doc

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專題33數(shù)列求和 本專題特別注意： 1.倒序求和 2. 錯位相減求和 3.分組求和 4.分項(xiàng)求和 5.裂項(xiàng)求和 6.構(gòu)造求和 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式． 2．熟練掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項(xiàng)相消以及分組求和等． 【知識要點(diǎn)】 求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法 (1)公式法 數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列時(shí)直接運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式求和． 若{an}為等差數(shù)列，則Sn＝＝ ____________________． 若{an}為等比數(shù)列，其公比為q， 則當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝_________({an}為常數(shù)列)； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝______________＝_________ (2)裂項(xiàng)相消求和法 數(shù)列{an}滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差，且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和． (3)倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式就是用此法推導(dǎo)的． (4)錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的． (5)分組轉(zhuǎn)化求和法 一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減． (6)并項(xiàng)求和法 一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【方法總結(jié)】 1.常用基本求和法均對應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)的特殊結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，聯(lián)想相應(yīng)的求和方法既是根本，又是關(guān)鍵. 2.數(shù)列求和實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對學(xué)生的知識和思維有很高的要求，應(yīng)充分重視并系統(tǒng)訓(xùn)練. 【高考模擬】一、單選題 1．設(shè)列的前項(xiàng)和，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ） A． 8 B． 9 C． 10 D． 11 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和． 【詳解】 Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為d，a4=4，S5=15， 則：， 解得d=1， 則an=4+（n﹣4）=n． 由于=， 則， ==， 解得m=10． 故答案為：10． 故選：C． 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列性質(zhì)、裂項(xiàng)相消求和. 【點(diǎn)睛】 裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或. 2．已知數(shù)列滿足，，，，若恒成立，則的最小值為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】D 【詳解】 由題意知，，由， 得， ， 恒成立，，故最小值為，故選D. 【點(diǎn)睛】 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤. 3．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，記．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【詳解】 分析：由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求出，從而可得的通項(xiàng)公式，由裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果. 詳解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)， 所以， 可得 ， ，故選D. 點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤. 4．定義為個正數(shù)的“平均倒數(shù)”.若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為，又，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【詳解】 根據(jù)題意和“平均倒數(shù)”的定義可得: 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)也適合上式，則 故 故選 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，遇到形如的通項(xiàng)在求和時(shí)往往運(yùn)用裂項(xiàng)求和法，關(guān)鍵在對已知條件的化簡，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 5．在數(shù)列中，若，，則的值 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：由疊加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即可求解的和. 詳解：由題意，數(shù)列中，， 則， 所以 所以，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的綜合問題，其中解答中涉及到利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，正確選擇方法和準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力. 6．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，則其前項(xiàng)和（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：先化簡，再利用裂項(xiàng)相消求和. 詳解：由題得， 所以， 故答案為：A. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和. 7．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則( ) A． 2016 B． 2017 C． 2018 D． 2019 【答案】C 【解析】分析：對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即，利用倒序相加法即可得到結(jié)論. 詳解：函數(shù)， 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，， 由得， 解得，而， 故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱， ， 故設(shè)， 則， 兩式相加得，則，故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，正確理解“拐點(diǎn)”并利用“拐點(diǎn)”求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題. 8．在數(shù)列中，，若數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由題設(shè)可以得到是等差數(shù)列，從而得到即，利用裂項(xiàng)相消法可求前項(xiàng)和. 詳解：是等差數(shù)列，其首項(xiàng)是1，公差為2， 所以，所以， ， 故，故選B. 點(diǎn)睛：數(shù)列通項(xiàng)的求法，取決遞推關(guān)系的形式，如果滿足，則用累加，特別地如果是常數(shù)，則就是等差數(shù)列；若，則用累乘，特別地如果是常數(shù)，則就是等比數(shù)列.其他類型的遞推關(guān)系則可通過變形構(gòu)建新數(shù)列且新數(shù)列的遞推關(guān)系大多數(shù)滿足前面兩種情形. 9．定義函數(shù)如下表，數(shù)列滿足，，若，則（ ） A． 7042 B． 7058 C． 7063 D． 7262 【答案】C 【解析】分析：利用題設(shè)條件，結(jié)合函數(shù)定義能夠推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，由此能求出數(shù)列的前2018項(xiàng)的和. 詳解：由題設(shè)知，，，，，，∵，，， ∴，，，，，，……， ∴是周期為6的周期數(shù)列， ∵， ∴，故選C. 點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義和數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列. 10．已知函數(shù)，且，則（ ） A． 20100 B． 20500 C． 40100 D． 10050 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)函數(shù)表達(dá)式得到當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，再由數(shù)列中裂項(xiàng)求和的方法得到結(jié)果. 詳解：，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，故 故答案為：A. 點(diǎn)睛：這個題目考查了三角函數(shù)的求值，以及三角函數(shù)的求值，數(shù)列的裂項(xiàng)求和的方法；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等. 11．已知數(shù)列滿足：，，，則的整數(shù)部分為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：觀察問題則需要進(jìn)行裂項(xiàng)，再結(jié)合條件推導(dǎo)出其變式，然后進(jìn)行求和 詳解： 原式 當(dāng)時(shí)， 整數(shù)部分為 故選 點(diǎn)睛：本題主要考查了裂項(xiàng)求和，由已知條件推導(dǎo)出和問題一致的通項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵，在不斷的轉(zhuǎn)換過程中注意分子和分母的變形，本題有一定的難度。 12．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，再接下來的三項(xiàng)是，，，依此類推，則該數(shù)列的前94項(xiàng)和是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先歸納出的項(xiàng)數(shù)和變化規(guī)律，再確定第94項(xiàng)在第幾組，是第幾項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解． 詳解：由題意，得共有項(xiàng)， 且， 令， 則的最大值為，且， 則該數(shù)列的前94項(xiàng)的和為 ． 點(diǎn)睛：歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，其思維過程如下： 試驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論． 13．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則（ ） A． 1010 B． -1010 C． 2018 D． -504 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)通項(xiàng)公式，可得看成其是以為周期的周期函數(shù)，求出相鄰項(xiàng)的值，即可求解. 詳解：， 其是以為周期的周期函數(shù)， ， ，， ， ，故選B. 點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列求和，推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見思路為：（1）項(xiàng)的序號較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列. 14．已知定義在上的函數(shù)滿足：；函數(shù)的圖象與函數(shù)的交點(diǎn)為；則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：先由題得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，再得到函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,1）對稱，最后得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn)滿足，最后求的值. 詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足，所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱. 由題得 所以函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱， 所以函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)（2,0）對稱，滿足 由題得 所以.故答案為：A. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是推理出函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)（2,1）對稱，其二是推理得到函數(shù)f(x)與函數(shù)g（x）的圖像的交點(diǎn)滿足. 15．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如．已知數(shù)列滿足：，則( ) A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】A 【解析】分析：由題意先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出，最后結(jié)合的定義求解． 詳解：∵， ∴， ∴ ， 又滿足上式， ∴． ∴， ∴， ∴． 故選A． 點(diǎn)睛：本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和理解運(yùn)用新知識解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的運(yùn)算的定義． 16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的 有，且則的值為( ) A． 2或4 B． 2 C． 3或4 D． 6 【答案】A 【解析】分析：利用的關(guān)系，求解的表達(dá)式，討論滿足不等式的值。 詳解：則，解得，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 點(diǎn)睛：，一定要注意，當(dāng)時(shí)要驗(yàn)證不滿足數(shù)列。形如：為擺動數(shù)列，為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)表達(dá)式不一樣，要分類討論。 17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若， 則 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 點(diǎn)睛：，一定要注意，當(dāng)時(shí)要驗(yàn)證是否滿足數(shù)列。 18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ） A． -2018 B． 2018 C． -2017 D． 2017 【答案】A 【解析】分析：利用當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，，即可得到，于是，由于函數(shù)的周期，利用周期性和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出. 詳解：由數(shù)列的前項(xiàng)和為， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 上式對時(shí)也成立， . ， 函數(shù)的周期， . 故選：A. 點(diǎn)睛：本題考查了利用“當(dāng)，.當(dāng)時(shí)，”求、余弦函數(shù)的周期性、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力和計(jì)算能力. 19．已知數(shù)列滿足：當(dāng)且時(shí)，有，則數(shù)列的前200項(xiàng)的和為（ ） A． 300 B． 200 C． 100 D． 50 【答案】A 【解析】分析：由條件分別令，再求和，即可得到答案. 詳解：由題意當(dāng)且時(shí)，有， 可得到， 所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為， 故選A. 點(diǎn)睛：點(diǎn)本題主要考查了數(shù)列的分組求和，其中解答中注意數(shù)列的遞推關(guān)系的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計(jì)算能力. 20．已知數(shù)列中，，且對任意的，，都有，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：令m=1，可得an+1﹣an=n+1，再利用累加法可得的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法得到==2（﹣），從而可求得的值． 詳解：∵a1=1，且對任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an+mn， ∴令m=1，則an+1=a1+an+n=an+n+1， 即an+1﹣an=n+1， ∴an﹣an﹣1=n（n≥2）， …， a2﹣a1=2， ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=， ∴==2（﹣）， ∴=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）+（﹣）]=2（1﹣）=， 故選：D． 點(diǎn)睛：：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤. 二、填空題 21．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若是的導(dǎo)數(shù)，若方程方有實(shí)數(shù)解，則稱. 點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.已知：任何三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心.設(shè)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________． 【答案】4034 【解析】 【分析】 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得f′′（x）=2x﹣4，由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，2）對稱，即f（x）+f（4﹣x）=2，由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式分析可得{an}為等差數(shù)列，且a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4，而=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017），結(jié)合f（x）+f（4﹣x）=2，計(jì)算可得答案． 即（2，2）是三次函數(shù)的對稱中心， 則有f（x）+f（4﹣x）=4， 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n﹣1007，為等差數(shù)列， 則有a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009=4 則=f（a1）+f（a2）+…+f（a2016）+f（a2017） =f（a1）+f（a2017）+f（a2）+f（a2016）+…+f（a1008）+f（a1010）+f（a1009） =41008+2=4034； 故答案為：4034． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三次函數(shù)的中心對稱性，考查了數(shù)列求和，解題關(guān)鍵是利用對稱性成對求和即可,屬于中檔題. 22．已知數(shù)列滿足，且對任意的，都有，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍是_______. 【答案】 【詳解】 由題意m，n∈N*，都有=an， 令m=1，可得：， 可得an=3n， ∵bn=log3（an）2+1， ∴bn=2n+1， 那么數(shù)列{}的通項(xiàng)cn==． 那么：Tn=c1+c2+……cn =（+++……+） = =， 當(dāng)n=1時(shí)，可得T1=， 故得Tn的取值范圍為[，）， 故答案為：[，）． 【點(diǎn)睛】 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧： (1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤. 23．已知數(shù)列對任意，總有成立，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為__________． 【答案】 【解析】分析：由數(shù)列的遞推公式即可求出通項(xiàng)公式，再裂項(xiàng)相消法求出答案. 解析： …① 當(dāng)n=1時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，…② ①②兩式相除得， 當(dāng)n=1時(shí)，適合上式. ， ， . 故答案為：. 點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等． 24．等差數(shù)列中，，.若記表示不超過的最大整數(shù)，（如）.令，則數(shù)列的前2000項(xiàng)和為__________． 【答案】5445. 【解析】分析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3+a4=12，S7=49．可得2a1+5d=12，d=49，解出即可得出； bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]，n=1，2，3，4，5時(shí)，bn=0.6≤n≤50時(shí)，bn=1；51≤n≤500時(shí)，bn=2；501≤n≤2000時(shí)，bn=3．即可得出． 詳解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3+a4=12，S7=49． ∴2a1+5d=12，d=49， 解得a1=1，d=2． ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． bn=[lgan]=[lg（2n﹣1）]， n=1，2，3，4，5時(shí)，bn=0． 6≤n≤50時(shí)，bn=1； 51≤n≤500時(shí)，bn=2； 501≤n≤2000時(shí)，bn=3． ∴數(shù)列{bn}的前2000項(xiàng)和=45+4502+15003=5445． 故答案為：5445. 點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、取整函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．?dāng)?shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。 25．已知函數(shù)，則 _________. 【答案】 【解析】分析：由題意可得，利用倒序相加法，從而即可得到答案. 詳解： ， 設(shè) ① 則 ② ①+②得， . 故答案為：2018. 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與函數(shù)的應(yīng)用，考查推理能力以及運(yùn)算求解能力. 26．已知等差數(shù)列，，若函數(shù)，記，用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求數(shù)列的前9項(xiàng)和為__________． 【答案】9 【解析】分析：由等差中項(xiàng)可知，所以 故，由此得此結(jié)論。 詳解：，所以數(shù)列的前9項(xiàng)和為，由等差數(shù)列，，則，由 所以，則，所以。由倒序相加可得 所以， 點(diǎn)睛：知識儲備，等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則。 為周期函數(shù)，周期。 27．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 ______ ． 【答案】 【解析】分析：可設(shè)an+1+t=3（an+t），求得t=，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求和． 詳解：由a1=1，an+1=3an+1， 可設(shè)an+1+t=3（an+t）， 即an+1=3an+2t，可得2t=1，即t=， 則an+1+=3（an+）， 可得數(shù)列{an+}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列， 即有an+=?3n﹣1， 即an=?3n﹣1﹣， 可得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n =（3n+1﹣2n﹣3）． 故答案為：（3n+1﹣2n﹣3）． 點(diǎn)睛：這個題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。 28．.已知數(shù)列滿足.記，則數(shù)列的前項(xiàng)和=__________． 【答案】. 【解析】分析：首先從題中所給的遞推公式推出數(shù)列成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，代入題中的條件，可以求得，可以發(fā)現(xiàn)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)積所構(gòu)成的新數(shù)列，用錯位相減法求和即可得結(jié)果. 詳解：由得， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列， 所以，即， 記，則 （1），式子兩邊都乘以2得 （2），兩式相減得： 所以，故答案為. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列求和的問題，涉及的知識點(diǎn)有由倒數(shù)型的遞推公式通過構(gòu)造等差數(shù)列求得通項(xiàng)公式，以及錯位相減法求和，在操作的過程中，需要時(shí)刻保持頭腦清醒，再者就是在求和時(shí)，涉及到等比數(shù)列求和時(shí)，一定要分清項(xiàng)數(shù). 29．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，若，則__________． 【答案】18. 【解析】分析：先根據(jù)已知得到數(shù)列的通項(xiàng)，再求出，最后利用裂項(xiàng)相消化簡即得n的值. 詳解：當(dāng)n=1時(shí)，. 當(dāng)n≥2時(shí)，，適合n=1.故 所以 所以 所以=， 解之得n=18. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法和裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理的能力.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等,用裂項(xiàng)相消法求和. 30．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，.則數(shù)列的前項(xiàng)和__________． 【答案】 那么{bn}的前n項(xiàng)和Tn= . 故答案為： 點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 三、解答題 31．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是和的等差中項(xiàng). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)根據(jù)已知求出q的值，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先求得，再利用錯位相減求數(shù)列的前項(xiàng)和. （2）因?yàn)?，所以? 所以． 則， ① . ② ①－②得， ， 所以． 【點(diǎn)睛】 （1）本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查錯位相減求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2) 若數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則采用錯位相減法. 32．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)，得到的方程組，解方程組即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【詳解】 【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)求法，考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和. 33．等差數(shù)列中， ，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)， ，公比為（），且， . （1）求與； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）， ;（2）. 【解析】 【分析】 （1）等差數(shù)列的公差為，， ，求出公比和公差，然后求解通項(xiàng)公式． （2）求出數(shù)列前項(xiàng)和為，化簡通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可． 【詳解】 （1）等差數(shù)列的公差為， ， ，∴，∴. 整理得： ，解得： 或（舍去）， ∴， ，∴ （2）數(shù)列前項(xiàng)和為， ， ， 數(shù)列的前項(xiàng)和 數(shù)列的前項(xiàng)和 【點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力． 34．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】 【分析】 (1)由，可得，即，從而可得結(jié)論；（2）由（1）知，，可得，利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可得結(jié)果. 【詳解】 （1）證明：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. （2）由（1）知，， ∴， ∴ ，① . ② ①-②得 ， ∴. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求數(shù)列的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式. 35．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直接利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.( Ⅱ)先求出，再利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【詳解】 （1）由得， 兩式相減得：， 即 ， 即 所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列， 又由得， 所以； （2）因?yàn)椋? 所以， 所以 【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和. 36．已知公差不為0的等差數(shù)列的前三項(xiàng)的和為15，且. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 (1)先根據(jù)已知列方程組求出，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先利用裂項(xiàng)相消求出，再求的最大值為，即得m的取值范圍和最小值. 【詳解】 （1）依題意，即， 即，故. 又，即，故. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）依題意，. 則 ， 故恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為. 【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)的求法和裂項(xiàng)相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算能力.(2) 類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和. 37．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式. （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列，使，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）數(shù)列滿足條件（2），求和：. 【答案】（1）見解析. （2）. （3）. 【解析】 【分析】 （1）利用，求得數(shù)列的遞推式，整理得，進(jìn)而可推斷出時(shí)，數(shù)列成等比數(shù)列，然后分別求得和，驗(yàn)證亦符合，進(jìn)而可推斷出是一個首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；（2）把 的解析式代入，進(jìn)而可知，判斷出是一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案；（3）由是等差數(shù)列．進(jìn)而可推斷出和也是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，進(jìn)而用分組法可求得結(jié)果． （2）由，得 . 所以是一個首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.于是. （3）由，可知和是首項(xiàng)分別為1和2，公差均為2的等差數(shù)列，于是， 所以 . 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了等比關(guān)系的確定，考查了學(xué)生綜合分析問題的能力，考查了利用分組求和法求數(shù)列的和. 38．設(shè)數(shù)列滿足. （Ⅰ）求及的通項(xiàng)公式; （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分別令可求出，因?yàn)槭呛愕仁?，故也成立，兩式相減可得，結(jié)合前者可得通項(xiàng). （Ⅱ）用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【詳解】 （Ⅰ）令，則. 令，則，故. ，① 時(shí)，，② ①②得：. 又時(shí)，滿足上式， （Ⅱ）由（Ⅰ）: 【點(diǎn)睛】 數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法. 39．已知數(shù)列中，，又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(1) (2) 【詳解】 （1）∵數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， ∴， 解得. （2）∵. ∴ . 【點(diǎn)睛】 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等． 40．已知等差數(shù)列滿足，，公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，. （Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】(Ⅰ ) （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用錯位相減法即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和. 【詳解】 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為， 因?yàn)?，所以，解? 所以. 由及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，得， 又顯然必與同號，所以. 所以.又公比為正數(shù)，解得. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 則 ①. ②. ①-②，得 . 所以. 【點(diǎn)睛】 用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.