2022屆高考數學一輪復習第七章立體幾何第7節(jié)立體幾何中的向量方法課時作業(yè)（含解析）

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1、第七章 立體幾何 授課提示：對應學生用書第313頁 [A組　基礎保分練] 1．(2021石家莊摸底)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，點D為BC的中點，則異面直線AD與A1C所成的角為(　　) A.　　　　　　 B． C. D． 答案：B2. 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，E，F，G分別為AB，AA1，A1C1的中點，則B1F與平面GEF所成角的正弦值為(　　) A.　　　　　 B． C. D． 答案：A 3.如圖所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCDA′B′C′D′，A′C的中點E與AB

2、的中點F的距離為(　　) A.a B．a C．a D．a 答案：B 4.如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內的一個動點，且滿足MP＝MC，則點M在正方形ABCD內的軌跡為(　　) 解析：法一：以D為原點，DA，DC分別為x，y軸建系如圖： 設M(x，y,0)，設正方形邊長為a，則P，C(0，a,0)， 則||＝， ||＝.由||＝||得x＝2y，所以點M在正方形ABCD內的軌跡為一條直線y＝x. 法二：所求軌跡是線段PC的垂直平分面與平面ABCD的交線． 答案：A 5．在底面為

3、直角梯形的四棱錐PABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則點D到平面PBC的距離是________． 答案： 6．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于________． 答案： 7. (2021西安摸底)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1，D為AB的中點，且CD⊥DA1. (1)求證：BB1⊥平面ABC； (2)求銳二面角CDA1C1的余弦值． 解析：(1)證明：因為AC＝BC，D為AB的中點，所以CD⊥AB，又DC

4、⊥DA1，AB∩DA1＝D，所以CD⊥平面AA1B1B， 又BB1?平面AA1B1B， 所以CD⊥B1B，又B1B⊥AB，AB∩CD＝D， 所以B1B⊥平面ABC. (2)由已知及(1)可得CB，CC1，CA兩兩互相垂直，所以以C為坐標原點，以CB所在直線為x軸，CC1所在直線為y軸，CA所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，設CC1＝2，則C(0，0,0)，C1(0,2,0)，A1(0,2,2)，D(1,0,1)，所以＝(1,0,1)，＝(0,2,2)，＝(1，－2，1)，＝(0,0,2)． 設平面DCA1的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 則即令z1＝－1，則x1＝1

5、，y1＝1，n1＝(1,1，－1)． 設平面DC1A1的法向量n2＝(x2，y2，z2)， 則即 得z2＝0，x2－2y2＝0，令y2＝1，則x2＝2，n2＝(2,1,0)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝. 故銳二面角CDA1C1的余弦值為. [B組　能力提升練] 1. (2021合肥調研)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，點O為棱AB的中點． (1)求證：BC1∥平面A1CO； (2)若△ABC是等邊三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60，平面AA1B1B⊥平面ABC，求二面角AA1CB的余弦值． 解析：(1)證明：連接AC1交A1C于M，連接OM. 由三棱

6、柱ABCA1B1C1知，四邊形ACC1A1為平行四邊形，M為AC1的中點． 又O為AB的中點，∴BC1∥OM. ∵OM?平面A1CO，BC1?平面A1CO， ∴BC1∥平面A1CO. (2)∵△ABC是等邊三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60，∴A1O⊥AB，CO⊥AB. 又平面AA1B1B⊥平面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥CO. 以O為坐標原點，直線OC，OA，OA1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系． 設AC＝AB＝BC＝AA1＝2，則C(，0,0)，A(0,1,0)，B(0，－1,0)，A1(0,0，)． 設平面A1AC的法向量為n1＝(x

7、1，y1，z1)， 則n1⊥，n1⊥， ∴ ∵＝(，－1,0)，＝(0，－1，)， ∴ 令y1＝，得x1＝1，z1＝1，即n1＝(1，，1)． 設平面A1BC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則n2⊥，n2⊥， ∴ ∵＝(，1,0)，＝(0,1，)，∴ 令y2＝－，得x2＝1，z2＝1，即n2＝(1，－，1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝－， 由題意可知，二面角AA1CB為銳角，其余弦值為. 2. (2021福州市高三質檢)在直三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為正三角形，點D在棱BC上，且CD＝3BD，點E，F分別為棱AB，BB1的中點． (1)證明

8、：A1C∥平面DEF； (2)若A1C⊥EF，求直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值． 解析：(1)證明：如圖，連接AB1交A1B于點H，設A1B交EF于點K，連接DK， 因為四邊形ABB1A1為矩形，所以H為線段A1B的中點． 因為點E，F分別為棱AB，BB1的中點， 所以點K為線段BH的中點，所以A1K＝3BK. 又CD＝3BD，所以A1C∥DK. 又A1C?平面DEF，DK?平面DEF， 所以A1C∥平面DEF. (2)連接CE，EH，由(1)知，EH∥AA1， 因為AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC. 因為△ABC為正三角形，且點E為棱AB的中點，

9、 所以CE⊥AB. 故以點E為坐標原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系Exyz. 設AB＝4，AA1＝t(t＞0)，則A1(2，t,0)，A(2,0,0)，C(0,0，2)，E(0,0,0)，F，D， 所以＝(－2，－t,2)，＝. 因為A1C⊥EF，所以＝0， 所以(－2)(－2)－t＋20＝0，所以t＝2， 所以＝(－2，，0)，＝. 設平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)， 則所以 取x＝1，則n＝(1，，)． 又＝＝(－2,0,2)， 設直線A1C1與平面DEF所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

10、所以直線A1C1與平面DEF所成的角的正弦值為. [C組　創(chuàng)新應用練] 如圖，正方形ABCD的邊長為4，E，F分別為BC，DA的中點．將正方形ABCD沿著線段EF折起，使∠DFA＝60.設G為AF的中點． (1)求證：DG⊥EF； (2)求直線GA與平面BCF所成角的正弦值； (3)設P，Q分別為線段DG，CF上的點，且PQ∥平面ABEF，求線段PQ的長度的最小值． 解析：(1)證明：因為正方形ABCD中，E，F分別為BC，DA的中點，所以EF⊥FD，EF⊥FA，又因為FD∩FA＝F，所以EF⊥平面DFA.又因為DG?平面DFA，所以DG⊥EF. (2)因為∠DFA＝60，D

11、F＝FA，AG＝GF， 所以△DFA為等邊三角形，且DG⊥FA. 又因為DG⊥EF，EF∩FA＝F， 所以DG⊥平面ABEF. 設BE的中點為H，連接GH，則GA，GH，GD兩兩垂直，故以GA，GH，GD所在直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標系Gxyz，如圖， 則G(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(0,4，)，F(－1,0,0)，所以＝(1,0,0)，＝(－1,0，)， ＝(－2，－4,0)． 設平面BCF的法向量為m＝(x，y，z)， 由m＝0，m＝0，得 令z＝2，得m＝(2，－，2)． 設直線GA與平面BCF所成的角為α， 則sin α＝|cos〈m，〉|＝＝， 即直線GA與平面BCF所成角的正弦值為. (3)由題意，可設P(0,0，k)(0≤k≤)，＝λ(0≤λ≤1)， 由＝(1,4，)，得＝(λ，4λ，λ)， 所以Q(λ－1,4λ，λ)，＝(λ－1,4λ，λ－k)． 由(2)得，＝(0,0，)為平面ABEF的一個法向量． 因為PQ∥平面ABEF， 所以＝0，即λ－k＝0. 所以||＝ ＝＝， 又因為17λ2－2λ＋1＝172＋， 所以當λ＝時，||min＝. 所以當λ＝，k＝時，線段PQ的長度取得最小值，其最小值為.