2019高考數(shù)學大二輪復習 專題八 選考4系列 專題能力訓練22 坐標系與參數(shù)方程 理.doc

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專題能力訓練22　坐標系與參數(shù)方程(選修4—4) 一、能力突破訓練 1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=1+3cost,y=-2+3sint(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為2ρsinθ-π4=m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程; (2)設圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. 2.在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為x=-8+t,y=t2(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=2s2,y=22s(s為參數(shù)).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值. 3.(2018全國Ⅱ,理22)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=4sinθ(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα,y=2+tsinα(t為參數(shù)). (1)求C和l的普通方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率. 4.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 5.(2018全國Ⅲ,理22)在平面直角坐標系xOy中,☉O的參數(shù)方程為x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)),過點(0,-2)且傾斜角為α的直線l與☉O交于A,B兩點. (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 6.在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint(t為參數(shù),a>0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程; (2)直線C3的極坐標方程為θ=α0,其中α0滿足tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a. 7.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-cosθ=0,點M1,π2.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點. (1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程; (2)求點M到A,B兩點的距離之積. 二、思維提升訓練 8.在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t(t為參數(shù)),以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,☉C的極坐標方程為ρ=23sin θ. (1)寫出☉C的直角坐標方程; (2)P為直線l上一動點,當點P到圓心C的距離最小時,求P的直角坐標. 9.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+2t,y=2t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ=sinθ1-sin2θ. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程; (2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標. 10.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ+π4=42. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程; (2)設P為曲線C1上的動點,求點P到C2上點的距離的最小值,并求此時點P的坐標.  專題能力訓練22　坐標系與參數(shù)方程(選修4—4) 一、能力突破訓練 1.解 (1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π4=m, 得ρsin θ-ρcos θ-m=0. 所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-322. 2.解 直線l的普通方程為x-2y+8=0. 因為點P在曲線C上,設P(2s2,22s), 從而點P到直線l的距離d=|2s2-42s+8|12+(-2)2=2(s-2)2+45. 當s=2時,dmin=455. 因此當點P的坐標為(4,4)時,曲線C上點P到直線l的距離取到最小值455. 3.解 (1)曲線C的普通方程為x24+y216=1. 當cos α≠0時,l的普通方程為y=tan αx+2-tan α, 當cos α=0時,l的普通方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的普通方程,整理得關(guān)于t的方程 (1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0, ① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個解,設為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α, 故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2. 4.解 (1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=55|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|=dsin30=255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=43. 當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255. 當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255. 5.解 (1)☉O的普通方程為x2+y2=1. 當α=π2時,l與☉O交于兩點. 當α≠π2時,記tan α=k,則l的方程為y=kx-2,l與☉O交于兩點當且僅當21+k2<1, 解得k<-1或k>1,即α∈π4,π2或α∈π2,3π4. 綜上,α的取值范圍是π4,3π4. (2)l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=-2+tsinα　　t為參數(shù),π4<α<3π4　　. 設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP,則tP=tA+tB2,且tA,tB滿足t2-22tsin α+1=0. 于是tA+tB=22sin α,tP=2sin α.又點P的坐標(x,y)滿足x=tPcosα,y=-2+tPsinα. 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=22sin2α,y=-22-22cos2αα為參數(shù),π4<α<3π4. 6.解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,ρ=4cosθ. 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0, 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上, 所以a=1. 7.解 (1)x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由ρsin2θ-cos θ=0,得ρ2sin2θ=ρcos θ. 所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程. 點M的直角坐標為(0,1), 直線l的傾斜角為3π4,故直線l的參數(shù)方程為 x=tcos3π4,y=1+tsin3π4(t為參數(shù)), 即x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)). (2)把直線l的參數(shù)方程x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入曲線C的方程得 1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0, Δ=(32)2-42=10>0. 設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-32,t1t2=2. 又直線l經(jīng)過點M,故由t的幾何意義得 點M到A,B兩點的距離之積 |MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|=2. 二、思維提升訓練 8.解 (1)由ρ=23sin θ,得ρ2=23ρsin θ, 從而有x2+y2=23y,所以x2+(y-3)2=3. (2)設P3+12t,32t,又C(0,3), 則|PC|=3+12t2+32t-32=t2+12, 故當t=0時,|PC|取得最小值, 此時,點P的直角坐標為(3,0). 9.解 (1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1, 故直線的極坐標方程為ρcos θ-ρsin θ=1, 即2ρcosθcosπ4-sinθsinπ4=1, 即2ρcosθ+π4=1. ∵ρ=sinθ1-sin2θ,∴ρ=sinθcos2θ, ∴ρcos2θ=sin θ,∴(ρcos θ)2=ρsin θ, 即曲線C的直角坐標方程為y=x2. (2)設P(x0,y0),y0=x02,則P到直線l的距離d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342. ∴當x0=12時,dmin=328,此時P12,14. ∴當點P的坐標為12,14時,P到直線l的距離最小,最小值為328. 10.解 (1)由曲線C1:x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),得 x3=cosα,y=sinα(α為參數(shù)), 兩式兩邊平方相加,得x32+y2=1, 即曲線C1的普通方程為x23+y2=1. 由曲線C2:ρsinθ+π4=42,得 22ρ(sin θ+cos θ)=42, 即ρsin θ+ρcos θ=8,所以x+y-8=0, 即曲線C2的直角坐標方程為x+y-8=0. (2)由(1)知,橢圓C1與直線C2無公共點,橢圓上的點P(3cos α,sin α)到直線x+y-8=0的距離d=|3cosα+sinα-8|2=2sinα+π3-82, 所以當sinα+π3=1時,d的最小值為32,此時點P的坐標為32,12.