13、的1個關(guān)鍵點
解決綜合問題時，可能同時應(yīng)用兩個計數(shù)原理，即分類的方法可能要運(yùn)用分步完成，分步的方法可能會采取分類的思想求．
一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．a(chǎn)，b，c，d，e共5個人，從中選1名組長1名副組長，但a不能當(dāng)副組長，不同選法的種數(shù)是( )
A．20 B．16
C．10 D．6
解析：選B 當(dāng)a當(dāng)組長時，則共有14＝4種選法；當(dāng)a不當(dāng)組長時，又因為a也不能當(dāng)副組長，則共有43＝12種選法．因此共有4＋12＝16種選法．
2．某電話局的電話號碼為139，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)
14、為( )
A．20 B．25
C．32 D．60
解析：選C 依據(jù)題意知，后五位數(shù)字由6或8組成，可分5步完成，每一步有2種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，符合題意的電話號碼的個數(shù)為25＝32.
3．某班班干部有5名男生、4名女生，從9人中選1人參加某項活動，則不同選法的種數(shù)為( )
A．9 B．5
C．4 D．72
解析：選A 分兩類：一類從男生中選1人，有5種方法；另一類是從女生中選1人，有4種方法．因此，共有5＋4＝9種不同的選法．
4．從0,1,2,3,4這5個數(shù)字中任取3個組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)是________．
解析：從1,3中取一個排個位，
15、故排個位有2種方法；排百位不能是0，可以從另外3個數(shù)中取一個，有3種方法；排十位有3種方法．故所求奇數(shù)的個數(shù)為332＝18.
答案：18
5．如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個．
解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有84＝32(個)．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個．由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)．
答案：40
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9
16、這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有( )
A．180種 B．360種
C．720種 D．960種
解析：選D 按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有53444＝960(種)．
2．在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，直到?jīng)Q出勝負(fù)為止．若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形(個人輸贏局次的不同視為不同情形
17、)共有( )
A．6種 B．12種
C．18種 D．20種
解析：選D 分三種情況：恰好打3局(一人贏3局)，有2種情形；恰好打4局(一人前3局中贏2局，輸1局，第4局贏)，共有2C＝6(種)情形；恰好打5局(一人前4局中贏2局，輸2局，第5局贏)，共有2C＝12(種)情形．所有可能出現(xiàn)的情形共有2＋6＋12＝20(種)．
3．我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2 013是“六合數(shù)”)，則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有( )
A．18個 B．15個
C．12個 D．9個
解析：選B 依題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4
18、,0,0組成3個數(shù)，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數(shù)，分別為211,121,112，共計3＋6＋3＋3＝15(個)．
4．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為( )
A．56 B．54
C．53 D．52
解析：選D 在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)共有87＝56個對數(shù)值；但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝
19、log49，log32＝log94，即滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．
5．從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中任意兩個數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有( )
A．32個 B．34個
C．36個 D．38個
解析：選A 先把數(shù)字分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個數(shù)中，任意兩個數(shù)的和都不等于11，所以從每組中任選一個數(shù)字即可．故共可組成22222＝32(個)．
6．如圖所示，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用
20、，則不同的涂色方法共有________種．
解析：按區(qū)域分四步：第一步，A區(qū)域有5種顏色可選；第二步，B區(qū)域有4種顏色可選；第三步，C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，D區(qū)域也有3種顏色可選．由分步乘法計數(shù)原理，共有5433＝180(種)不同的涂色方法．
答案：180
7．在2014年南京青奧會百米決賽上，8名男運(yùn)動員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運(yùn)動員比賽的方式共有________種．
解析：分兩步安排這8名運(yùn)動員．
第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排．∴安排方式有432＝24種．
21、第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，所以安排方式有54321＝120種．
∴安排這8人的方式有24120＝2 880種．
答案：2 880
8．8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3,4名，大師賽共有________場比賽．
解析：小組賽共有2C場比賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場比賽；根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有2C＋4＝16場比賽．
答案：16
9．集合N＝{a，b，c}?{－5，－4，－2,1,4}，若關(guān)于x的不等式ax2
22、＋bx＋c<0恒有實數(shù)解，則滿足條件的集合N的個數(shù)是________．
解析：依題意知，集合N最多有C＝10(個)，其中對于不等式ax2＋bx＋c<0沒有實數(shù)解的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿足
a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有當(dāng)a，c同號時才有可能，共有2種情況，因此滿足條件的集合N的個數(shù)是10－2＝8.
答案：8
10．電視臺在“歡樂在今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中放著競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運(yùn)觀眾，若先從中確定一名幸運(yùn)之星，再從兩箱中各確定一名幸運(yùn)觀眾，有多少種不同結(jié)果？
解：幸運(yùn)之星在甲箱中抽取，選定幸運(yùn)之星，再在兩箱內(nèi)各
23、抽一名幸運(yùn)觀眾有302920＝17 400種；
幸運(yùn)之星在乙箱中抽取，有201930＝11 400種．
共有不同結(jié)果17 400＋11 400＝28 800種．
三上臺階，自主選做志在沖刺名校
1．安排6名歌手演出順序時，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，則不同排法的種數(shù)共有( )
A．180種 B．240種
C．360種 D．480種
解析：選D 依題意，歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有A456＝240種，因此滿足題意的不同排法共有2402＝480種．
2．如圖所示，在A，B間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導(dǎo)致電路不通，今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，
24、則焊接點脫落的不同情況有________種．
解析：四個焊點共有24種情況，其中使線路通的情況有：1,4都通，2和3至少有一個通時線路才通，共有3種可能．故不通的情況有24－3＝13(種)可能．
答案：13
3．為參加2014年云南昭通地震救災(zāi)，某運(yùn)輸公司有7個車隊，每個車隊的車輛均多于4輛．現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？
解：在每個車隊抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車．可分成三類：一類是從某1個車隊抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類是從2個車隊中抽調(diào)，其中1個車隊抽調(diào)1輛，另1個車隊抽調(diào)2輛，有A種抽調(diào)方法；一類是從3個車隊中各
25、抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法．故共有C＋A＋C＝84種抽調(diào)方法．
第二節(jié) 排列與組合
1．排列與排列數(shù)
(1)排列：
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
(2)排列數(shù)：
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作A.
2．組合與組合數(shù)
(1)組合：
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
(2)組合數(shù)：
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的
26、所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作C.
3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
公式
排列數(shù)公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝
組合數(shù)公式
C＝＝＝
性質(zhì)
(1)A＝n??；(2)0?。?
(1)C＝1；
(2)C＝C_；
(3)C＋C＝C
備注
n，m∈N*且m≤n
[小題體驗]
1. (教材習(xí)題改編)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A，B可以不相鄰)，那么不同的排法共有( )
A．24種 B．60種
C．90種 D．120種
解析：選B 可先排C，D，E三人
27、，共A種排法，剩余A，B兩人只有一種排法，由分步乘法計數(shù)原理滿足條件的排法共A＝60(種)．
2．(教材習(xí)題改編)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙兩人所選的課程中恰有1門相同的選法有( )
A．12種 B．16種
C．24種 D．48種
解析：選C 依題意得知，滿足題意的選法共有CCC＝24種．
3．(教材習(xí)題改編)已知－＝，則C＝________.
解析：由已知得m的取值范圍為，－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.故C＝C＝28.
答案：28
1．易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排列問題與順
28、序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān)．
2．計算A時易錯算為n(n－1)(n－2)…(n－m)．
3．易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有排列的個數(shù)，是一個正整數(shù)．
[小題糾偏]
1．方程3A＝2A＋6A的解為________．
解析：由排列數(shù)公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3且x∈N*，
∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.
答案：5
2．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么
29、不同的選派方案種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
解析：法一：依題意可得CC＋CC＝8＋6＝14，故滿足要求的方案有14種．
法二：6人中選4人的方案有C＝15種，沒有女生的方案只有1種，所以滿足要求的方案有14種．
答案：14
[題組練透]
1．(2015山西模擬)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐在最北面的椅子上，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有( )
A．60種 B．48種
C．30種 D．24種
解析：選B 由題知，不同的座次有AA＝48種
30、．
2．用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為( )
A．324 B．648
C．328 D．360
解析：選C 首先應(yīng)考慮“0”，當(dāng)0排在個位時，有A＝98＝72(個)，當(dāng)0排在十位時，有AA＝48＝32(個)．當(dāng)不含0時，有AA＝487＝224(個)，由分類加法計數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有72＋32＋224＝328(個)．
3．用1,2,3,4這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)夾在兩個奇數(shù)之間的四位數(shù)的個數(shù)為________．
解析：(捆綁法)首先排兩個奇數(shù)1,3有A種排法，再在2,4中取一個數(shù)放在1,3排列之間，有C種方法，然
31、后把這3個數(shù)作為一個整體與剩下的另一個偶數(shù)全排列，有A種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為ACA＝8.
答案：8
[謹(jǐn)記通法]
1．解決排列問題的4種方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
捆綁法
相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看成一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列
插空法
不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中
除法法
定序問題除法處理的方法，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列
2．解決排列類應(yīng)用題的3種策略
(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置
32、．
(2)分排問題直排法處理．
(3)“小集團(tuán)”排列問題采用先集中后局部的處理方法．
[典例引領(lǐng)]
1．(2016山師大附中摸底)某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，當(dāng)甲、乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為( )
A．360 B．520
C．600 D．720
解析：選C 根據(jù)題意，分2種情況討論：若只有甲、乙其中一人參加，有CCA＝480種情況；若甲、乙兩人都參加，有CCA＝240種情況，其中甲、乙相鄰的有CCAA＝120種情況．則不同的發(fā)言順序的種數(shù)為480＋240－
33、120＝600.
2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________．
解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法CC＝264種．第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C－3C＝220－12＝208種．由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法共有264＋208＝472種．
答案：472
[由題悟法]
1．解決組合應(yīng)用題的2個步驟
第一步，整體分類
要注意分類時，不重復(fù)不遺漏，用到分類加法計數(shù)原理；
第二步，局部分步
用到分步乘法計數(shù)原理．
2．含有附加條件的組合問題的2種方法
34、
通常用直接法或間接法，應(yīng)注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解，對于涉及“至少”“至多”等詞的組合問題，既可考慮反面情形即間接求解，也可以分類研究進(jìn)行直接求解．
[即時應(yīng)用]
1．(2016大連模擬)某校開設(shè)A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有( )
A．3種 B．6種
C．9種 D．18種
解析：選C 由題知有2門A類選修課，3門B類選修課，從中選出3門的選法有C＝10種．兩類課程都有的對立事件是選了3門B類選修課，這種情況只有1種．滿足題意的選法有10－1＝9種．
2．四面體的一個頂
35、點為A，從其他頂點與各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有( )
A．30種 B．33種
C．36種 D．39種
解析：選B 分兩種情況：頂點A與各棱的中點共面的有3個側(cè)面，每個側(cè)面中有5個點，有C種，3個側(cè)面有3C種；3個點不在同一個表面的有3個，共有3C＋3＝33種取法．
[命題分析]
分組分配問題是排列、組合問題的綜合運(yùn)用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．
常見的命題角度有：
(1)整體均分問題；
(
36、2)部分均分問題；
(3)不等分問題．
[題點全練]
角度一：整體均分問題
1．國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．
解析：先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A＝90種分派方法．
答案：90
角度二：部分均分問題
2．(2016內(nèi)江模擬)某科室派出4名調(diào)研員到3個學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個學(xué)校至少一名，則不同的分配
37、方案種數(shù)為( )
A．144 B．72
C．36 D．48
解析：選C 分兩步完成：第一步將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有；第二步將分好的三組分配到3個學(xué)校，其分法有A種，所以滿足條件的分配方案有A＝36種．
角度三：不等分問題
3．若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．
解析：將6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法．
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，
38、共有CCC＝60種取法．
再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A＝6種分法，
故共有606＝360種不同的分法．
答案：360
[方法歸納]
解決分組分配問題的3種策略
(1)整體均分
解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．
(2)部分均分
解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．
(3)不等分組
只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．
一抓
39、基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．將2名教師、4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( )
A．10種 B．9種
C．12種 D．8種
解析：選C 依題意，滿足題意的不同安排方案共有CC＝12種．
2．世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)有( )
A．12種 B．10種
C．8種 D．6種
解析：選D ∵甲、乙兩人被分配到同一展臺，∴可以把甲與乙捆在一
40、起，看成一個人，然后將3個人分到3個展臺上進(jìn)行全排列，即有A種，∴甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數(shù)有A＝6種．
3．將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為( )
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：選B 將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個宿舍2名，而另一個宿舍3名，共有CC2＝20種．
4．從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中，選出一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有( )
A．9個 B．24個
C．36個 D．54個
解析
41、：選D 選出符合題意的三個數(shù)共有CC種方法，這三個數(shù)可組成CCA＝54個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．
5．在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( )
A．36個 B．24個
C．18個 D．6個
解析：選B 各位數(shù)字之和是奇數(shù)，則這三個數(shù)字中三個都是奇數(shù)或兩個偶數(shù)一個奇數(shù)，所有可能情況有A＋CA＝6＋18＝24(個)．
二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)
1．(2016山西四校聯(lián)考)有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個班去做學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流，則每個班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為( )
A．150 B．180
C．200 D．
42、280
解析：選A 分兩類：一類，3個班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為2,2,1，則有A＝90種分派方法；另一類，3個班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1,1,3，則有CA＝60種分派方法．所以不同分派方法種數(shù)為90＋60＝150種．
2．(2016貴陽摸底)現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)是( )
A．12 B．6
C．8 D．16
解析：選A 若第一門安排在開頭或結(jié)尾，則第二門有3種安排方法，這時，共有C3＝6種方法；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時，共有32＝6種方法．綜上可得，不同的
43、考試安排方案共有6＋6＝12種．
3．(2016太原模擬)有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：選B 據(jù)題意可先擺放2本語文書，當(dāng)1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數(shù)學(xué)書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有AA種擺放方法；當(dāng)1本物理書放在2本語文書一側(cè)時，共有AACC種不同的擺放方法，由分類加法計數(shù)原理可得共有AA＋AACC＝48種擺放方法．
4．用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左、右兩端，2,4,6
44、三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為( )
A．423 B．288
C．216 D．144
解析：選B 若2,4相鄰，把2,4捆綁在一起，與另外四個數(shù)排列(相當(dāng)于5個元素排列)，1不在左、右兩側(cè)，則六位數(shù)的個數(shù)為2CA＝144，同理2,4與6相鄰的有A22A＝48個，所以只有2,4相鄰的有144－48＝96個，全部符合條件的六位數(shù)有963＝288個．
5．(2016福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有( )
A．12種 B．20種
C．40種 D
45、．60種
解析：選C (排序一定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列A，可得這樣的排列數(shù)有2＝40種．
6．4位同學(xué)參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對得100分，答錯得－100分，選乙題答對得90分，答錯得－90分，若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是________．
解析：由于4位同學(xué)的總分為0分，故4位同學(xué)選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人．對于①，須2人答對，2人答錯，共有C＝6種情況；對于②，選甲題的須
46、1人答對，1人答錯，選乙題的也如此，有CCC＝24種情況；對于③，與①相同，有6種情況，故共有6＋24＋6＝36種不同的情況．
答案：36
7．(2016廣州質(zhì)檢)若把英語單詞“error”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有________種．
解析：A－1＝19.
答案：19
8．(2015浙江重點中學(xué)協(xié)作體摸底)把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．
解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人
47、一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個數(shù)用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有C＝4種情況，再對應(yīng)到4個人，有A＝24種情況，則共有424＝96種情況．
答案：96
9．(2016山西考前質(zhì)檢)5名工人分別要在某3天中選擇1天休息，且每天至少有一人休息，則不同的安排方式有________種(用數(shù)字填寫)．
解析：由題意可知5名工人分別要在某3天中任選1天休息，且每天至少有一人休息，則不同的安排方式共分兩類：第一類，有兩天中只有一人休息，另外一天有三人休息，共有CA＝60種方法；第二類，有兩天中分別有兩人休息，另外一天只有一人休
48、息，共有A＝90種方法．綜上所述，共有60＋90＝150種方法．
答案：150
10．將7個相同的小球放入4個不同的盒子中．
(1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？
(2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？
解：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當(dāng)中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式．
(2)每種放入方式對應(yīng)于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120種放入方式．
三上臺階，自主選做志在沖刺名校
1．(2015上饒模擬)有紅
49、、藍(lán)、黃、綠四種顏色的球各6個，每種顏色的6個球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中任取3個標(biāo)號不同的球，這3個顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法種數(shù)為( )
A．80 B．84
C．96 D．104
解析：選C 所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的方法有135,136,146,246，共4種方法.3個顏色互不相同有A＝432＝24種，∴這3個顏色互不相同且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的取法有244＝96種．
2．(2016湖南師大附中月考)已知集合A＝{x|x＝a0＋a13＋a232＋a333}，其中ai∈{0,1,2}(i＝0,1,2,3)且a3≠0，則A中所有元素之和等于( )
A．3 2
50、40 B．3 120
C．2 997 D．2 889
解析：選D 由題意可知，a0，a1，a2各有3種取法(均可取0,1,2)，a3有2種取法(可取1,2)，由分步乘法計數(shù)原理可得共有3332種取法．∴當(dāng)a0取0,1,2時，a1，a2各有3種取法，a3有2種取法，共有332＝18種取法，即集合A中含有a0項的所有數(shù)的和為(0＋1＋2)18；同理可得集合A中含有a1項的所有數(shù)的和為(30＋31＋32)18；集合A中含有a2項的所有數(shù)的和為(320＋321＋322)18；集合A中含有a3項的所有數(shù)的和為(331＋332)27；由分類加法計數(shù)原理得集合A中所有元素之和S＝(0＋1＋2)1
51、8＋(30＋31＋32)18＋(320＋321＋322)18＋(331＋332)27＝18(3＋9＋27)＋8127＝702＋2 187＝2 889.
3．用0,1,2,3,4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(1)比21 034大的偶數(shù)；
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)．
解：(1)法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是2時，有6個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時，有AA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時，有AA＝12個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時，有3個五位數(shù)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字
52、是3時，有A＝6個五位數(shù)；
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39個滿足條件的五位數(shù)．
法二：不大于21 034的偶數(shù)可分為三類：萬位數(shù)字是1的偶數(shù)，有AA＝18個五位數(shù)；萬位數(shù)字是2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A個五位數(shù)；還有一個為21 034本身．
而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)個數(shù)有A＋AAA＝60個，故滿足條件的五位偶數(shù)的個數(shù)為60－18－2－1＝39.
(2)法一：可分為兩類：
末位數(shù)是0，個數(shù)有AA＝4；
末位數(shù)是2或4，個數(shù)有AA＝4；
故共有AA＋AA＝8個滿足條件的五位數(shù)．
法二：第二、四位從奇數(shù)1,3中取，有A個；首位從2,4中取，有A個；余下的排在剩下的兩
53、位，有A個，故共有AAA＝8個滿足條件的五位數(shù)．
第三節(jié) 二項式定理
1．二項式定理
(1)定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二項式定理．
(2)通項
Tk＋1＝Can－kbk為展開式的第k＋1項．
2．二項式系數(shù)與項的系數(shù)
(1)二項式系數(shù)
二項展開式中各項的系數(shù)C(k∈{0,1，…，n})叫做二項式系數(shù)．
(2)項的系數(shù)
項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與二項式系數(shù)是兩個不同的概念．
3．二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)
內(nèi)容
對稱性
與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相
54、等，即C＝C
增減性
當(dāng)k＜時，二項式系數(shù)逐漸增大；
當(dāng)k＞時，二項式系數(shù)逐漸減小
最大值
當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，最大值為C；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為C或C
4．各二項式系數(shù)的和
(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[小題體驗]
1．(教材習(xí)題改編)(x＋2)8的展開式中x6的系數(shù)是( )
A．28 B．56
C．112 D
55、．224
解析：選C 通項為Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令8－r＝6，得r＝2，即T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系數(shù)是112.
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，則a7＋a6＋…＋a1的值為( )
A．1 B．129
C．128 D．127
解析：選B 令x＝1得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128；令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.
3．(教材習(xí)題改編)8的展開式中的有理項共有________項．
解析：∵Tr＋1＝C()8－rr＝rCx，
∴r為4的倍數(shù)，故r＝0,4,8共3項．
56、
答案：3
1．二項式的通項易誤認(rèn)為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．
2．(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，所以公式中的第一個量a與第二個量b的位置不能顛倒．
3．易混淆二項式中的“項”，“項的系數(shù)”、“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指C(k＝0,1，…，n)．
[小題糾偏]
1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選B (1＋3x)n的展開式中含x5的項為C(3x)5＝C35x5，展開式
57、中含x6的項為C36x6.由兩項的系數(shù)相等得C35＝C36，解得n＝7.
2．若二項式n展開式中的第5項是常數(shù)，則自然數(shù)n的值為( )
A．6 B．10
C．12 D．15
解析：選C 由二項式n展開式的第5項C()n－44＝16Cx是常數(shù)項，可得－6＝0，解得n＝12.
[題組練透]
1．二項式10的展開式中的常數(shù)項是( )
A．180 B．90
C．45 D．360
解析：選A 10的展開式的通項為Tk＋1＝C()10－kk＝2kCx，令5－k＝0，得k＝2，故常數(shù)項為22C＝180.
2．(易錯題)若n展開式中含有
58、x2項，則n的最小值是( )
A．15 B．8
C．7 D．3
解析：選D 注意到二項式n的展開式的通項是Tr＋1＝Cn－r(－x)r＝C(－1)rx.令r－n＝2，即r＝有正整數(shù)解；又2與5互質(zhì)，
因此n＋2必是5的倍數(shù)，即n＋2＝5k，n＝5k－2，n的最小值是3.
3．(2015北京高考)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
解析：設(shè)通項為Tr＋1＝C25－rxr，令r＝3，則x3的系數(shù)為C22＝104＝40.
答案：40
[謹(jǐn)記通法]
求二項展開式中的項的3種方法
求二項展開式的特定項問題，實質(zhì)是考查通項Tk＋1＝Can－
59、kbk的特點，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項求解，注意k的取值范圍(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第m項：此時k＋1＝m，直接代入通項，如“題組練透”第2題；
(2)常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程；
(3)有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程．
特定項的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解．
[典例引領(lǐng)]
1．(2015湖北高考)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為( )
A．29 B．210
C．211 D．212
解
60、析：選A 由C＝C，得n＝10，故奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為29.
2．(2016成都一中模擬)設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：選A 令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故選A.
[由題悟法]
1．賦值法研究二項式的系數(shù)和問題
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需
61、令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
2．二項式系數(shù)最大項的確定方法
(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；
(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大．
[即時應(yīng)用]
1．在(1＋x)n(x∈N*)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：選C 二項式中僅x5項系數(shù)最大，其最大值必為C，即得＝5，解得n＝10.
2．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，則實數(shù)m的值為( )
A
62、．1或3 B．－3
C．1 D．1或－3
解析：選D 令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
考點三 多項式展開式中的特定項或系數(shù)問題
[命題分析]
在高考中，常常涉及一些多項式問題，主要考查學(xué)生的化歸能力．
常見的命題角度有：
(1)幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題；
(2)幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題；
(3)三項展開式中的特定項(系數(shù))問題．
[題點全練]
角度一：幾個多項式和的展開式中的特定
63、項(系數(shù))問題
1．(2016榮成模擬)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展開式中，含x2項的系數(shù)是( )
A．10 B．15
C．20 D．25
解析：選C 含x2項的系數(shù)為C＋C＋C＋C＝20.
角度二：幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題
2．(2015全國卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則a＝________.
解析：設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1
64、，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝232，∴a＝3.
答案：3
角度三：三項展開式中特定項(系數(shù))問題
3．(2015全國卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為( )
A．10 B．20
C．30 D．60
解析：選C 法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4x＝Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C.
法二：(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取
65、x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30，故選C.
[方法歸納]
1．對于幾個多項式和的展開式中的特定項(系數(shù))問題，只需依據(jù)二項展開式的通項，從每一項中分別得到特定的項，再求和即可．
2．對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．
3．對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決．
一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快
1．5的展開式中常數(shù)項是( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
解析：選C 5的展開式的通項為Tr＋1＝C5－r(－2x2)r
66、＝(－1)rC2rx，當(dāng)r＝1時，Tr＋1為常數(shù)項，即T2＝－C2＝－10.
2．2n(n∈N*)的展開式中只有第6項系數(shù)最大，則其常數(shù)項為( )
A．120 B．210
C．252 D．45
解析：選B 由已知得，二項式展開式中各項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等．由展開式中只有第6項的系數(shù)C最大，可得展開式有11項，即2n＝10，n＝5.10展開式的通項為Tr＋1＝Cxx＝Cx，令5－r＝0可得r＝6，此時T7＝C＝210.
3．(2016保定期末)在(1＋x3)(1＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)是( )
A．10 B．11
C．12 D．15
解析：選B x3的系數(shù)是1C＋1C＝11.
【三維設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布 理 新人教版
