分式方程、無理方程及應用題解析訓練

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1、 分式方程、無理方程及應用題解析訓練 【例題精選】 例1：解方程1、 2、 分析：第一個方程是分式方程，要先化為整式方程去解，因此可以用去分母的一般解法去解，特別注意，方程兩邊各項都要乘以公分母．第二個方程是個無理方程，也要變?yōu)橛欣矸匠倘ソ?，可以將含根號的式子留在一邊，其它移到另一邊，用兩邊平方的方法去掉根號? 解：1、 兩邊同乘以(x+ 1)(x－1) 解得： 解：2、 變形為 兩邊平方 解得 經檢驗：x = 1是增根，原方程解為x = 0． 說明：分式方程與無理方程的解法中，驗根是必不可少的步驟之一，驗根不是寫一下的形

2、式，而要實實在在的帶入去檢驗，如方程（2）中，當x = 1時，右邊為－2，而左邊是算術根，應大于等于零，因此是增根，檢驗分式方程時，只有分母不為零就可以了． 例2：用換元法解方程： 分析：若用兩邊平方去根號有兩個根號很煩，題目又指定了用換元法，因此要考慮如何換元，將根式內化簡，．而另一根號為，是互為倒數關系，因此可以找出如何換元的方法了． 解： 原方程變形為 設 原方程變形為 經檢驗x = 3是原方程的根． 說明：特別注意求出y值后沒有求完，而要再求x值． 例3：用換元法解方程： 分析：用換元法解無理方程時，一般設根號內整體為一個新的未知數，這樣可變?yōu)橛?/p>

3、理方程，再去解． 解：原方程中設 　　原方程變形為 經檢驗，是原方程的解． 例4：甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)勻速相向而行，在距A地7千米的地方相遇，相遇后各自以原來的速度按原方向繼續(xù)前進，甲到B地，乙到A地后，立即返回，兩人又在距B地4千米的地方相遇，求A、B兩地間距離． 分析：這個題目中已知數據比較少，可以用圖示法先表示出數量間關系，由兩次相遇可得出它們每次同時出發(fā)到相遇，所用時間相同，因此可以用時間相同列等量關系，而題中又沒表示出速度，可以設速度為一個中間變量，列方程就簡單多了，因此引進輔助未知數也是常用的方法之一，它可以使數量間關系變得更為簡明． 解

4、：設A、B兩地距離為x千米，甲速為a千米/小時，乙速為b千米/小時． 6 由題意 整理為 經檢驗x = 0不合題意舍去，x = 17是原方程的解． 答：A、B兩地間距離為17米． 例5：一容器裝滿純藥液20升，第一次倒出若干升后用水加滿，第二次又倒出同樣多液體，又用水加滿，此時，桶內藥液濃度為25%，求每次倒出多少藥液？ 分析：可設每次倒出藥液為x升，將兩次的倒出藥液剩藥及濃度進行分析，如第一次倒出藥x升，剩藥20－x，濃度為，第二次倒出藥，剩藥，此時濃度為，這樣就找到了等量關系． 解：由題意 　　　　　　 經檢驗x1 = 30不合題意舍去，

5、∴ x = 10是原方程的解． 答：每次倒出藥液為10升． 說明：分析兩次倒藥液情況，可以列出表格來，將所列各項填入，這樣使等量關系更加清楚了． 例6：小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年定期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不變，這樣到期后可以得到本金加利息共6元，求這種存款的年利率． 分析：近些年來，由于商品經濟的發(fā)展，不少聯系實際的應用題，其中存款利率就是其中的一種，利率與本金利息之間存在一定的固定關系，本金利率 = 利息，要按照題意，找到相應的等量關系． 解：設這種存款的年利率為x， 由

6、題意 　　　　　　　　 答：這種存款的年利率為10%． 說明：聯系生產實際的問題還有很多類型，比如出售商品，若按九折出售，即按原價的90%出售，只有將這些名詞的含義弄清楚了，才會正確解決這類問題． 例7：甲、乙兩人分別從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行，相遇后，二人繼續(xù)前進，乙的速度不變，甲每小時比原來我走1千米，結果甲到達B地后乙還需30分鐘才能到達A地，求乙每小時走多少千米． 分析：這是北京市1996年考試題，考查學生分析問題、解決問題的能力問題，甲、乙兩人從相距20千米的A、B兩地以相同的速度同時相向而行到相遇，隱含了剛好在A、B中點相遇的條件．即在

7、10千米地方相遇，題中甲到B地后乙還需30分鐘才能到A就是等量關系，這樣就可以列出方程了． 解：設乙每小時走x千米，則甲每小時走(x + 1)千米． 由題意 　　　　　　　　 解得： 經檢驗都是原來分式方程的解，但x =－5不合題意舍去． ∴ x = 4是原方程的解． 答：乙每小時走4千米． 【綜合練習】 一、選擇題： 1．下列方程中有解的是（ ）． A． B． C． D． 2．的解的情況為（ ）． A．無解 　B．x = －3或x = 2 　　　C．x = 3 D．x = －2 3．用換元法解方程，若設，則原方程

8、可化為（ ）． A． B． C． D． 4．方程根的個數是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．4 5．無理方程的解為（ ）． A．無實根 　B．x1 = －1, x2 = 3　　 C．+3　　 D．－1 二、解答題： 1．解分式方程． 2．求當產生增根時，m的值． 3．解方程． 4．用換元法解分式方程． 5．解方程． 6．解方程． 7．用換元法解方程． 8．要完成一件工程，甲獨作比甲、乙、丙三人合干多用5天，乙獨作比三個合干多用15到，丙獨作所需時間是三人合干所需時間的4倍，求三人單干各需多少時間完成．

9、 9．甲、乙兩人分別從相距36千米的A、B兩地同時出發(fā)，相向是行，甲行至1千米時，發(fā)現有東西遺忘在A地，立即返回，取物后又立即從A向B前進，結果兩人恰在AB中點處相遇，已知甲比乙每小時多走0.5千米，求兩人速度各多少？ 10．甲步行上午6時從A出發(fā)于下午5時到達B地，乙騎自行車上午10時從A地出發(fā)，于下午3時到達B地，問乙在什么時間追上甲的？ 11．某工程隊按計劃挖土方200立方米，如果每天超額完成5立方米，則工程提前2天完成，求原計劃的天數及每天超額的百分數． 【答案及提示】 一、選擇題： 1．C 2．D 3．C 4．C 5．C 二、解答題 1．x = 2 提示

10、，用去分母的方法解分式方程． 2．m = 8 分式方程產生增根，原因在于方程兩邊乘了數值為0的代數式，去分母后 ，將x = 4代入后，得m = 8，因此當方程產生增根時，m = 8． 3．解：原方程變形為 兩邊同乘 x1 = 1, x2 = 2 經檢驗x = 2是增根，x = 1是原方程的根． 4．提示：設 5．提示：可先將根號中的一個移到另一邊，兩邊平方后再平方一次，即可化為有理方程， 解得是增根，舍去，所以x = 5 是原方程的根． 6．提示：將分母的因式進行分解，找到最簡公分母后，再用去分母的方法

11、去解，解得x = 2是增根，x = 3是原方程的根． 7．提示：設，解得x = 6是原方程的解．中不右償4747 8．設三人合干x天完成，則甲獨作(x + 5)天，乙獨作(x + 15)天，丙獨作4x天完成． 由題意 解得x = 5，∴ 甲獨作10天，乙獨作20天，丙獨作20天． 9．甲速5千米/小時，乙速4.5千米/小時． 10．提示：甲從上午6點到下午5時，走了11小時，乙從上午10點到下午3點，走了5 小時，設乙x小時追上甲，甲走了(x + 4)小時，設距離為a，則，解 得小時追上，即，即乙在下午1點20分追上． 11．提示：設原計劃x天，每天完成，由題意，，解得x = 10，每天超額的百分數為25%．