2019年九年級數(shù)學下冊《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷（含解析）（新版）新人教版.doc

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《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 一．選擇題（共10小題） 1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，交BC于點E，若DE＝2，OE＝3，則tanC?tanB＝（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 2．三角函數(shù)sin30、cos16、cos43之間的大小關系是（　　） A．cos43＞cos16＞sin30 B．cos16＞sin30＞cos43 C．cos16＞cos43＞sin30 D．cos43＞sin30＞cos16 3．在Rt△ABC中，∠C＝90，若sinA＝，則cosB的值是（　?。? A． B． C． D． 4．已知∠A+∠B＝90，且cosA＝，則cosB的值為（　?。? A． B． C． D． 5．sin30的值等于（　?。? A． B． C． D． 6．利用計算器求sin30時，依次按鍵，則計算器上顯示的結(jié)果是（　?。? A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1 7．在44的正方形網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的正方形的頂點上，則圖中∠ACB的正切值為（　?。? A． B． C． D．3 8．如圖，釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長m，某釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC的位置，此時露在水面上的魚線B′C′為m，則魚竿轉(zhuǎn)過的角度是（　?。? A．60 B．45 C．15 D．90 9．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡筆直滑下，滑下的距離s（m）與時間t（s）間的關系為s＝10t+2t2，若滑到坡底的時間為4s，則此人下降的高度為（　?。? A．72m B． m C．36m D． m 10．數(shù)學活動課，老師和同學一起去測量校內(nèi)某處的大樹AB的高度，如圖，老師測得大樹前斜坡DE的坡度i＝1：4，一學生站在離斜坡頂端E的水平距離DF為8m處的D點，測得大樹頂端A的仰角為α，已知sinα＝，BE＝1.6m，此學生身高CD＝1.6m，則大樹高度AB為（　?。﹎． A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8 二．填空題（共5小題） 11．如圖，在平面直角坐標系中，直線OA過點（2，1），則tanα的值是　 　． 12．已知∠A為銳角，且，那么∠A的范圍是　 ?。? 13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90，tanA＝，則sinA＝　 ?。? 14．在Rt△ABC中，，則cosB的值等于　 　． 15．已知sinA＝，則銳角∠A＝　 ?。? 三．解答題（共5小題） 16．如圖，將含30角的直角三角板ABC（∠A＝30）繞其直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0＜α＜90），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE為直角三角形．設BC＝1，AD＝x，△BDE的面積為S． （1）當α＝30時，求x的值． （2）求S與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍； （3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S＝時，判斷⊙E與A′C的位置關系，并求相應的tanα值． 17．下列關系式是否成立（0＜α＜90），請說明理由． （1）sinα+cosα≤1； （2）sin2α＝2sinα． 18．計算：（﹣1）﹣1+﹣6sin45+（﹣1）xx． 19．如圖，在△ABC中，∠A＝30，cosB＝，AC＝6．求AB的長． 20．如圖，某中心廣場燈柱AB被鋼纜CD固定，已知CB＝5米，且． （1）求鋼纜CD的長度； （2）若AD＝2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且∠EAB＝120，則燈的頂端E距離地面多少米？  2019年人教版九下數(shù)學《第28章 銳角三角函數(shù)》單元測試卷 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題） 1．【分析】由DE＝2，OE＝3可知AO＝OD＝OE+ED＝5，可得AE＝8，連接BD、CD，可證∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，∠DBA＝∠DCA＝90，將tanC，tanB在直角三角形中用線段的比表示，再利用相似轉(zhuǎn)化為已知線段的比． 【解答】解：連接BD、CD，由圓周角定理可知∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB， ∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE， ∴＝，＝， 由AD為直徑可知∠DBA＝∠DCA＝90， ∵DE＝2，OE＝3， ∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8， tanC?tanB＝tan∠ADB?tan∠ADC＝＝＝＝＝＝4． 故選：C． 【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值． 2．【分析】首先把它們轉(zhuǎn)換成相同的銳角三角函數(shù)； 再根據(jù)余弦值是隨著角的增大而減小，進行分析． 【解答】解：∵sin30＝cos60， 又16＜43＜60，余弦值隨著角的增大而減小， ∴cos16＞cos43＞sin30． 故選：C． 【點評】掌握正余弦的轉(zhuǎn)換方法：一個角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值的變化規(guī)律． 3．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關系進行解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90， ∴∠A+∠B＝90， ∴cosB＝sinA， ∵sinA＝， ∴cosB＝． 故選：B． 【點評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關系，熟記關系式是解題的關鍵．在直角三角形中，∠A+∠B＝90時，正余弦之間的關系為： ①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90﹣∠A）； ②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 4．【分析】利用同角、互為余角的三角函數(shù)關系式求解． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90， ∴cosB＝cos（90﹣∠A）＝sinA， 又∵sin2A+cos2A＝1， ∴cosB＝＝． 故選：D． 【點評】本題考查了利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值．若∠A+∠B＝90，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA；同角的三角函數(shù)關系式：sin2A+cos2A＝1． 5．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案． 【解答】解：sin30＝， 故選：A． 【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值． 6．【分析】本題要求同學們能熟練應用計算器． 【解答】解：依次按鍵，顯示的是sin30的值，即0.5． 故選：A． 【點評】本題結(jié)合計算器的用法，旨在考查特殊角三角函數(shù)值，需要同學們熟記有關特殊角的三角函數(shù)值． 7．【分析】根據(jù)勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的長度，然后證明△FDE∽△ABC，推出∠ACB＝∠DFE，由此即可解決問題． 【解答】解：由勾股定理 可求出：BC＝2，AC＝2，DF＝，DE＝， ∴＝＝，＝， ∴＝＝， ∴△FDE∽△CAB， ∴∠DFE＝∠ACB， ∴tan∠DFE＝tan∠ACB＝， 故選：B． 【點評】本題考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的性質(zhì)解決問題． 8．【分析】因為三角形ABC和三角形AB′C′均為直角三角形，且BC、B′C′都是我們所要求角的對邊，所以根據(jù)正弦來解題，分別求出∠CAB，∠C′AB′，然后可以求出∠C′AC，即求出了魚竿轉(zhuǎn)過的角度． 【解答】解：∵sin∠CAB＝＝＝， ∴∠CAB＝45． ∵＝＝， ∴∠C′AB′＝60． ∴∠CAC′＝60﹣45＝15， 魚竿轉(zhuǎn)過的角度是15． 故選：C． 【點評】此題中BC、B′C′都是我們所要求角的對邊，而AC是斜邊，所以本題利用了正弦的定義．解本題的關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題． 9．【分析】首先設出下降的高度，表示出水平寬度，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：當t＝4時，s＝10t+2t2＝72． 設此人下降的高度為x米，過斜坡頂點向地面作垂線， ∵一人乘雪橇沿坡度為1：的斜坡筆直滑下， ∴CA＝x，BC＝x， 在直角△ABC中，由勾股定理得： AB2＝BC2+AC2， x2+（x）2＝722． 解得：x＝36． 故選：C． 【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及坡角問題，理解坡比的意義，應用勾股定理，設未知數(shù)，列方程求解是解題關鍵． 10．【分析】根據(jù)題意結(jié)合坡度的定義得出C到AB的距離，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出AB的長． 【解答】解：如圖所示：過點C作CG⊥AB延長線于點G，交EF于點N， 由題意可得：＝＝， 解得：EF＝2， ∵DC＝1.6m， ∴FN＝1.6m， ∴BG＝EN＝0.4m， ∵sinα＝＝， ∴設AG＝3x，則AC＝5x， 故BC＝4x，即8+1.6＝4x， 解得：x＝2.4， 故AG＝2.43＝7.2m， 則AB＝AG﹣BG＝7.2﹣0.4＝6.8（m）， 答：大樹高度AB為6.8m． 故選：D． 【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用以及坡度的定義，正確得出C到AB的距離是解題關鍵． 二．填空題（共5小題） 11．【分析】根據(jù)正切函數(shù)是對邊比鄰邊，可得答案． 【解答】解：如圖， tanα＝＝ 故答案為：． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊． 12．【分析】首先明確cos60＝，再根據(jù)余弦函數(shù)值隨角增大而減小進行分析． 【解答】解：∵cos60＝，余弦函數(shù)值隨角增大而減小， ∴當cosA≤時，∠A≥60． 又∵∠A是銳角， ∴60≤∠A＜90． 故答案為：60≤A＜90． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性．熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關鍵． 13．【分析】根據(jù)tanA＝，設出關于兩邊的代數(shù)表達式，再根據(jù)勾股定理求出第三邊長的表達式即可推出sinA的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90， ∵tanA＝＝， ∴設a＝3x，則b＝4x， 則c＝＝5x． sinA＝＝＝． 故答案是：． 【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值． 14．【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)關系進行解答． 【解答】解：∵∠C＝90， ∴∠A+∠B＝90， ∴cosB＝sinA， ∵sinA＝， ∴cosB＝． 故答案為：． 【點評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)關系，熟記關系式是解題的關鍵． 15．【分析】根據(jù)sin30＝進行解答即可． 【解答】解：∵sinA＝，∠A為銳角， ∴∠A＝30． 故答案為：30． 【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵． 三．解答題（共5小題） 16．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30，得出x＝1； （2）由直角三角形的性質(zhì)，AB＝2，AC＝，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得△ADC∽△BCE，根據(jù)比例關系式，求出S與x的函數(shù)關系式； （3）當S＝時，求得x的值，判斷⊙E和DE的長度大小，確定⊙E與A′C的位置關系，再求tanα值． 【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30， 又∵∠ACB＝90， ∴∠ABC＝∠BCD＝60． ∴AD＝BD＝BC＝1． ∴x＝1； （2）∵∠DBE＝90，∠ABC＝60， ∴∠A＝∠CBE＝30． ∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2． 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC＝A′C，BC＝B′C， ∠ACD＝∠BCE， ∴△ADC∽△BEC， ∴＝， ∴BE＝x． ∵BD＝2﹣x， ∴s＝x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2） （3）∵s＝s△ABC ∴﹣+＝， ∴4x2﹣8x+3＝0， ∴，． ①當x＝時，BD＝2﹣＝，BE＝＝． ∴DE＝＝． ∵DE∥A′B′， ∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30． ∴EC＝DE＝＞BE， ∴此時⊙E與A′C相離． 過D作DF⊥AC于F，則，． ∴． ∴． （12分） ②當時，，． ∴， ∴， ∴此時⊙E與AC相交． 同理可求出． 【點評】本題考查的知識點：等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及直線與圓的位置關系的確定，是一道綜合性較強的題目，難度大． 17．【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義和三角形的三邊關系得到該結(jié)論不成立； （2）舉出反例進行論證． 【解答】解：（1）該不等式不成立，理由如下： 如圖，在△ABC中，∠B＝90，∠C＝α． 則sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立； （2）該等式不成立，理由如下： 假設α＝30，則sin2α＝sin60＝，2sinα＝2sin30＝2＝1， ∵≠1， ∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立． 【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．解題的關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)值． 18．【分析】本題涉及乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊三角函數(shù)值、二次根式化簡4個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果． 【解答】解：原式＝+1+2﹣6﹣1＝0． 【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算． 19．【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)余弦的定義求出AD，根據(jù)余弦的定義求出BD，計算即可． 【解答】解：過點C作CD⊥AB于點D． ∵∠A＝30， ∴CD＝AC＝3，AD＝AC?cosA＝9， ∵cosB＝， ∴設BD＝4x，則BC＝5x， 由勾股定理得，CD＝3x， 由題意的，3x＝3， 解得，x＝， ∴BD＝4， ∴AB＝AD+BD＝9+4． 【點評】本題考查的是解直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵． 20．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)可求得CD； （2）過點E作EF⊥AB于點F．由∠EAB＝120，得∠EAF＝60，再根據(jù)三角函數(shù)求得AF，從而得出答案． 【解答】解：（1）在Rt△DCB中，sin∠DCB＝＝， ∴設DB＝4x，DC＝5x， ∴（4x）2+25＝（5x）2， 解得， ∴CD＝米，DB＝米． （2）如圖，過點E作EF⊥AB于點F． ∵∠EAB＝120，∴∠EAF＝60， ∴AF＝AE?cos∠EAF＝1.6＝0.8（米）， ∴FB＝AF+AD+DB＝0.8+2+＝（米）． ∴燈的頂端E距離地面米． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，運用三角函數(shù)可得出答案．