安徽省2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一講 數(shù)與代數(shù) 第二章 方程（組）與不等式（組）2.3 一元二次方程測(cè)試.doc

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2.3 一元二次方程 學(xué)用P17 [過關(guān)演練]　(30分鐘　　70分) 1.(xx山東臨沂)一元二次方程y2-y-34=0配方后可化為 (B) A.y+122=1 B.y-122=1 C.y+122=34 D.y-122=34 【解析】將一元二次方程y2-y-34=0配方后可化為y-122=1. 2.若1-3是方程x2-2x+c=0的一個(gè)根,則c的值為 (A) A.-2 B.43-2 C.3-3 D.1+3 【解析】∵關(guān)于x的方程x2-2x+c=0的一個(gè)根是1-3,∴(1-3)2-2(1-3)+c=0,解得c=-2. 3.(xx山東泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情況是 (D) A.無實(shí)數(shù)根 B.有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根 C.有兩個(gè)正根,且都小于3 D.有兩個(gè)正根,且有一根大于3 【解析】(x+1)(x-3)=2x-5,整理得x2-4x+2=0,即(x-2)2=2,解得x1=2+2>3,x2=2-2,故有兩個(gè)正根,且有一根大于3. 4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)m的和為 (B) A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】∵a=1,b=2,c=m-2,關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.∵m為正整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),∴m=2或3.∴2+3=5. 5.若(a2+b2)(a2+b2-2)=8,則a2+b2的值為(B) A.4或-2 B.4 C.-2 D.-4 【解析】設(shè)a2+b2=x,可得x(x-2)=8,解得x1=4,x2=-2,因?yàn)閍2+b2的值為非負(fù)數(shù),所以a2+b2的值為4. 6.(xx遼寧大連)如圖,有一張矩形紙片,長10 cm,寬6 cm,在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正方形,然后折疊成一個(gè)無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32 cm2,求剪去的小正方形的邊長.設(shè)剪去的小正方形邊長是x cm,根據(jù)題意可列方程為 (B) A.106-46x=32 B.(10-2x)(6-2x)=32 C.(10-x)(6-x)=32 D.106-4x2=32 【解析】設(shè)剪去的小正方形邊長是x cm,則紙盒底面的長為(10-2x)cm,寬為(6-2x)cm,根據(jù)題意得(10-2x)(6-2x)=32. 7.(xx四川眉山)我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方6000元的均價(jià)對(duì)外銷售,由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后,購房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過連續(xù)兩次下調(diào)后,決定以每平方4860元的均價(jià)開盤銷售,則平均每次下調(diào)的百分率是 (C) A.8% B.9% C.10% D.11% 【解析】設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,由題意得6000(1-x)2=4860,解得x1=0.1,x2=1.9(舍去).即平均每次下調(diào)的百分率為10%. 8.(xx浙江嘉興)歐幾里得的《原本》記載,形如x2+ax=b2的方程的圖解法:畫Rt△ABC,使∠ACB=90,BC=a2,AC=b,再在斜邊AB上截取BD=a2.則該方程的一個(gè)正根是 (B) A.AC的長 B.AD的長 C.BC的長 D.CD的長 【解析】設(shè)AD=x,根據(jù)勾股定理得x+a22=b2+a22,整理得x2+ax=b2,則該方程的一個(gè)正根是AD的長. 9.(xx湖南常德)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則b的值可能是　6(本題答案不唯一)　.(只寫一個(gè)) 【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-423>0,解得b<-26或b>26. 10.已知m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,則mn+n+1n的值為　3　. 【解析】由n2+2n-1=0可知n≠0.∴1+2n-1n2=0.∴1n2-2n-1=0,又m2-2m-1=0且mn≠1,即m≠1n.∴m,1n是方程x2-2x-1=0的兩根.∴m+1n=2.∴mn+n+1n=m+1+1n=2+1=3. 11.(xx四川內(nèi)江)已知關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0的兩根為x1=1,x2=2,則方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根之和為　1　. 【解析】設(shè)x+1=t,方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的兩根分別是x3,x4,∴at2+bt+1=0,由題意可知t1=1,t2=2,∴t1+t2=3,∴x3+x4+2=3,即x3+x4=1. 12.(6分)解方程:2(x-3)=3x(x-3). 解:2(x-3)=3x(x-3),移項(xiàng)得2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得(x-3)(2-3x)=0,∴x-3=0或2-3x=0,解得x1=3,x2=23. 13.(8分)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件,并推導(dǎo)出求根公式,證明x1x2=ca. 解:∵ax2+bx+c=0(a≠0),∴x2+bax=-ca, ∴x2+bax+b2a2=-ca+b2a2,即x+b2a2=b2-4ac4a2, ∵4a2>0,∴當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根, ∴x+b2a=b2-4ac2a, ∴當(dāng)b2-4ac>0時(shí),x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),x1=x2=-b2a. ∴x1x2=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca, 或x1x2=-b2a2=b24a2=4ac4a2=ca, ∴x1x2=ca. 14.(9分)某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元,由于改進(jìn)技術(shù),生產(chǎn)成本逐月下降,3月份的生產(chǎn)成本是361萬元.假設(shè)該公司2,3,4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同. (1)求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率; (2)請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本. 解:(1)設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x, 根據(jù)題意得400(1-x)2=361,解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合題意,舍去). 答:每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5%. (2)361(1-5%)=342.95(萬元). 答:預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元. [名師預(yù)測(cè)] 1.方程x-2=x(x-2)的解為 (D) A.x=0 B.x1=0,x2=2 C.x=2 D.x1=1,x2=2 【解析】原方程變形為x-2-x(x-2)=0,(x-2)(1-x)=0,x-2=0或1-x=0,解得x1=1,x2=2. 2.若x=0是關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的一個(gè)根,則m的值為 (B) A.1 B.2 C.1或2 D.0 【解析】把x=0直接代入方程得m2-3m+2=0,解得m=1或2,又由已知可得m≠1,故m=2. 3.某商店今年1月份的銷售額是2萬元,3月份的銷售額是4.5萬元,從1月份到3月份,該店銷售額平均每月的增長率是 (C) A.20% B.25% C.50% D.62.5% 【解析】設(shè)該店銷售額平均每月的增長率為x,則2月份銷售額為2(1+x)萬元,3月份銷售額為2(1+x)2萬元,由題意可得2(1+x)2=4.5,解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合題意,舍去). 4.某中學(xué)組織初三學(xué)生籃球比賽,以班為單位,每兩班之間都比賽一場(chǎng),計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽,則共有多少個(gè)班級(jí)參賽? (C) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】設(shè)共有x個(gè)班級(jí)參賽,根據(jù)題意得x(x-1)2=15,解得x1=6,x2=-5(不合題意,舍去),則共有6個(gè)班級(jí)參賽. 5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”,其規(guī)則為a*b=a2-b,根據(jù)這個(gè)規(guī)則,方程(x-1)*9=0的解為　x1=-2,x2=4　. 【解析】由已知可得(x-1)*9=(x-1)2-9=0,即x-1=3,解得x1=-2,x2=4. 6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(n+3)x+3n=0. (1)求證:此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根; (2)若此方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根,請(qǐng)選擇一個(gè)合適的n值,寫出這個(gè)方程并求出此時(shí)方程的根. 解:(1)∵Δ=(n+3)2-12n=(n-3)2, 又(n-3)2≥0,∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根. (2)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根, ∴n≠3,取n=0,則方程化為x2-3x=0, 因式分解為x(x-3)=0, ∴x1=0,x2=3. 7.閱讀下列材料,解答問題. (2x-5)2+(3x+7)2=(5x+2)2. 解:設(shè)m=2x-5,n=3x+7,則m+n=5x+2, 則原方程可化為m2+n2=(m+n)2, 所以mn=0,即(2x-5)(3x+7)=0, 解得x1=52,x2=-73. 請(qǐng)利用上述方法解方程(4x-5)2+(3x-2)2=(x-3)2. 解:設(shè)m=4x-5,n=3x-2,則m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3, 原方程化為m2+n2=(m-n)2, 整理得mn=0, 即(4x-5)(3x-2)=0, 4x-5=0,3x-2=0, 解得x1=54,x2=23. 8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-5x+2m=0有實(shí)數(shù)根. (1)求m的取值范圍; (2)當(dāng)m=52時(shí),方程的兩根分別是矩形的長和寬,求該矩形外接圓的直徑. 解:(1)∵方程有實(shí)數(shù)根,∴Δ=(-5)2-412m≥0,解得m≤258, ∴m的取值范圍為m≤258. (2)當(dāng)m=52時(shí),原方程可化為x2-5x+5=0, 設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1,x2,則x1+x2=5,x1x2=5, ∵該矩形外接圓的直徑是矩形的對(duì)角線AC,如圖所示, ∴AC=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=52-25=15, ∴該矩形外接圓的直徑是15. 9.為積極響應(yīng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換,提高公司經(jīng)濟(jì)效益,某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬元,經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn),每臺(tái)售價(jià)為40萬元時(shí),年銷售量為600臺(tái);每臺(tái)售價(jià)為45萬元時(shí),年銷售量為550臺(tái).假定該設(shè)備的年銷售量y(單位:臺(tái))和銷售單價(jià)x(單位:萬元)成一次函數(shù)關(guān)系. (1)求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式; (2)根據(jù)相關(guān)規(guī)定,此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬元,如果該公司想獲得10000萬元的年利潤,則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬元? 解:(1)設(shè)年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),將(40,600),(45,550)代入y=kx+b,得 40k+b=600,45k+b=550,解得k=-10,b=1000, ∴年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+1000. (2)設(shè)此設(shè)備的銷售單價(jià)為x萬元,則每臺(tái)設(shè)備的利潤為(x-30)萬元,銷售數(shù)量為(-10x+1000)臺(tái), 根據(jù)題意得(x-30)(-10x+1000)=10000, 整理得x2-130x+4000=0,解得x1=50,x2=80. ∵此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬元,∴x=50. 答:該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是50萬元.