2019春八年級數(shù)學下冊 18 平行四邊形 18.2 特殊的平行四邊形 18.2.1 矩形（第1課時）學案 （新版）新人教版.doc

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18.2.1　矩形(第1課時) 學習目標 1.理解矩形的概念,明確矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系. 2.探索并證明矩形的性質,會用矩形的性質解決簡單的問題. 3.探索并掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個定理. 學習過程 一、合作探究 【問題探究一】矩形的定義 閱讀教材本節(jié)中的第一個“思考”前面內容,解決下列問題: 1.有一個角是　　　　的　　　　叫矩形. 2.你能舉出一些生活中矩形的實例嗎? 【問題探究二】矩形的性質 區(qū)別閱讀教材本節(jié)中的第1個“思考”,思考、討論、合作交流后解決下列問題: 1.結合平行四邊形的性質的探求過程,你認為應該從哪幾個方面探求矩形的性質? 2.畫一個矩形,連接對角線,度量它的四個角和對角線,你有什么發(fā)現(xiàn)? 3.你能證明你的猜想嗎? 歸納總結: 矩形的四個角都是　　　　,矩形的對交線　　　　且　　　　　　　　. 幾何語言表述∵　　　　　∴　　　　　 【問題探究三】直角三角形斜邊上中線的特性. 閱讀教材本節(jié)中的第2個“思考”,思考、討論、合作交流后解決下列問題: 1.觀察圖所示的矩形,尋找圖形中的相等線段,在Rt△ABC中,有哪些相等線段,你能得到什么結果? 2.你能證明上述猜想嗎?寫出證明過程: 歸納總結: 直角三角形斜邊上中線等于　　　　　　　　　　　. 二、自主練習 【例1】已知:如圖,矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,∠AOB=60,AB=4,求矩形對角線的長. 【例2】(補充)已知:如圖,矩形ABCD,AB長8 cm,對角線比AD邊長4 cm.求AD的長及點A到BD的距離AE的長. 三、跟蹤練習 1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.對角線相等 B.對邊相等 C.對角相等 D.對角線互相平分 2.在Rt△ABC中,∠ABC=90,AC=10,BO是斜邊上的中線,則BO的長為　　　. 3.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AB=5,BC=12,則△ABO的周長為　　　　　. 4.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60,AB=4.求矩形對角線的長. 5.如圖,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E,ED=5,EC=3,求矩形的周長及對角線的長. 四、變式演練 1.如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8,將長方形ABCD沿CE折疊后,使點D恰好落在對角線AC上的點F處. (1)求EF的長. (2)求四邊形ABCE的面積. 2.如圖所示,在矩形ABCD中,E為AD上一點,EF⊥CE交AB于點F,若DE=2,矩形的周長為16,且CE=EF,則AE的長為多少? 五、達標檢測 1.如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,點D落在點E處,且CE與AB交于F,那么S△ACF為 (　　) A.12 B.15 C.6 D.10 2.如圖,在矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,AE平分∠BAD交BC于E.若∠EAO=15,則∠BOE的度數(shù)為 (　　) A.85 B.80 C.75 D.70 3.如圖,矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O.若∠AOB=60,BD=8,則AB的長為(　　) A.4 B.43 C.3 D.5 4.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可求陰影部分的面積和為(　　) A.12 B.10 C.8 D.7 5.如圖,延長矩形ABCD的邊BC至點E,使CE=BD,連接AE,如果∠ADB=30,則∠E=　　　度. 6.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E,F分別是AO,AD的中點,若AB=6 cm,BC=8 cm,則△AEF的周長　　　　cm. 7.Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF中點,則AM的最小值為　　　　. 8.如圖,將?ABCD的邊DC延長到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F. (1)求證:四邊形ABEC是平行四邊形; (2)連接AC,BE,若四邊形ABEC是矩形,則∠AFC與∠D應滿足什么數(shù)量關系?并說明理由. 9.如圖,長方形OABC中,O為原點,A(4,0),C(0,6),點B在第一象限點P從原點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿O-A-B-C-O的路線移動. (1)直接寫出點B的坐標　　　　　; (2)當點P移動了4秒時,點P的坐標是　　　　; (3)移動過程中,當點P到x軸距離為5個單位長度時,求點P移動的時間及此時點P到O點的距離. 參考答案 一、合作探究 【問題探究一】1.直角;平行四邊形　2.略 【問題探究二】1.內角、對角線. 2.(1)矩形的四個角都是直角.　(2)矩形的對角線相等. 3.猜想1:矩形的四個角都是直角. 求證:矩形的四個角都是直角. 已知:如圖,四邊形ABCD是矩形, 求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90, 證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠A=90, 又矩形ABCD是平行四邊形, ∴∠A=∠C,∠B=∠D, ∠A+∠B=180. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90. 即矩形的四個角都是直角. 猜想2:矩形的對角線相等. 已知:如圖,四邊形ABCD是矩形 求證:AC=BD, 證明:在矩形ABCD中, ∵∠ABC=∠DCB=90, AB=DC,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB, ∴AC=BD,即矩形的對角線相等. 結論:矩形的對角線相等. 數(shù)學語言:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AC=BD. 歸納總結: 矩形的四個角都是直角,矩形的對交線相等且互相平分. 幾何語言表述:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90.AC=BD. 【問題探究三】 1.OA=OB=OC 2.如圖,在矩形ABCD中,AC,BD相交于點O,由性質2有AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可以得到直角三角形的一個性質:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 歸納總結: 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 二、自主學習 1.解:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AC與BD相等且互相平分. ∴OA=OB. 又∠AOB=60, ∴△OAB是等邊三角形. ∴矩形的對角線長AC=BD=2OA=24=8. 2.解:設AD=x cm,則對角線長(x+4) cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:x2+82=(x+4)2,解得x=6.則AD=6 cm,AB=10 cm. (2)S△ABD=12AEDB=12ADAB,解得AE=4.8 cm. 三、跟蹤練習 1.A　2.5　3.18 4.解:∵四邊形ABCD是矩形, ∴OA=12AC,OB=12BD,AC=BD, ∴OA=OB, ∵∠AOB=60, ∴△AOB是等邊三角形, ∴OA=AB=4, ∴AC=2OA=8.即矩形的對角線長為8. 5.解:如圖,連接BD. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠C=90,AB=CD,AD∥BC. ∵ED=5,EC=3, ∴DC2=DE2-CE2=25-9=16, ∴DC=4,AB=4. ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠DAE. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴BE=AB=4, 矩形的周長=2(4+3+4)=22. 由勾股定理得:BD2=42+72, ∴BD=65. 答:矩形的周長為22,對角線的長為65. 四、變式演練 1.解:(1)∵四邊形ABCD為矩形, ∴CD=AB=6,AD=BC=8,∠BAD=∠D=90, 在Rt△ABC中,AC=62+82=10, ∵長方形ABCD沿CE折疊后,使點D恰好落在對角線AC上的點F處, ∴CF=CD=6,ED=EF,∠EFC=∠D=90, ∴AF=10-6=4, 設EF=x,則ED=x,AE=8-x, 在Rt△AEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3, 即EF的長為3. (2)四邊形ABCE的面積=S△ABC+S△EAC=1268+12310=39. 2.解:在矩形ABCD中, ∠A=∠D=90. ∵CE⊥EF, ∴∠AEF+∠DEC=90. 又∵∠AFE+∠AEF=90, ∴∠AFE=∠DEC ∴EF=CE, ∴△AEF≌△DCE(AAS). ∴AE=DC. 又∵矩形的周長為16, ∴2(AE+DE+DC)=16, 即2AE+2=8. ∴AE=3. 五、達標檢測 1.D　2.C　3.A　4.C　5.15　6.9　7.65 8.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵CE=DC, ∴AB=EC,AB∥EC, ∴四邊形ABEC是平行四邊形; (2)解:∠AFC=2∠D.理由如下: ∵四邊形ABEC是矩形, ∴AE=BC,FC=FE, ∵AD=BC. ∴AD=AE, ∴∠AED=∠D, ∵FC=FE. ∴∠AED=∠FCE=∠D, ∵∠AFC=∠AED+∠FCE. ∴∠AFC=2∠D. 9.解:(1)根據(jù)長方形的性質,可得AB與y軸平行,BC與x軸平行;且A(4,0),C(0,6),即AB=OC=6,BC=OA=4,故B的坐標為(4,6); (2)根據(jù)題意,P的運動速度為每秒2個單位長度,當點P移動了4秒時,則其運動了24=8個長度單位,此時點P在AB上,且PA=4,故P的坐標為(4,4); (3)根據(jù)題意,點P到x軸距離為5個單位長度時,有兩種情況: P在AB上時,P運動了4+5=9個長度單位,此時P運動了92=4.5(秒); 此時點P到O的距離為OA2+AP2=42+52=41個單位長度; P在OC上時,P運動了4+6+4+1=15個長度單位,此時P運動了152=7.5(秒); 此時點P到O的距離為5個單位長度.