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山東省淄博市淄川般陽中學(xué)高中數(shù)學(xué) 正弦定理余弦定理的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5
授課時間
年 月 日
第 周
星期
編號
課題
1.2應(yīng)用舉例
課型
復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題；有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題；有關(guān)計算角度的實(shí)際問題；解決有關(guān)三角形的問題；掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用；能證明三角形中的簡單的恒等式．
一.學(xué)情調(diào)查，情景導(dǎo)入
1. 正弦定理： 2、余弦定理：
二.問題展示，合作探究
（一）：測距
例1. 如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，
2、要測量兩點(diǎn)之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=. 求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m).
例2. 如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點(diǎn)間距離的方法.
分析：這是例1的變式題，研究的是兩個 的點(diǎn)之間的距離測量問題.
首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn).
根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，
再利用余弦定理可以計算出AB的距離.
3、
（二）測高：
探究：AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.
分析：選擇基線HG，使H、G、B三點(diǎn)共線，
要求AB，先求AE
在中，可測得角 ，關(guān)鍵求AC
在中，可測得角 ，線段 ，又有
故可求得AC
例3. 如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50. 已知鐵塔BC部分的高為27.3 m，求出山高CD(精確到1 m)
例4. 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A
4、處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD.
問題1;欲求出CD，思考在哪個三角形中研究比較適合呢？
問題2：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根據(jù)條件，易計算出哪條邊的長？
（三）測角：
例5. 如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?(角度精確到0.1，距
5、離精確到0.01n mile)
分析：首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角ABC，然后用余弦定理算出AC邊，
再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB.
（四）面積與證明：
探究：在ABC中，邊BC上的高分別記為h，那么它如何用已知邊和角表示？
h=bsinC=csinB
根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah，
代入可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC， 或S= ，
同理S= ．
新知：三角形的面積等于三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦之積的一半．
例6. 在ABC中，根據(jù)下
6、列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5；
（2）已知B=62.7，C=65.8，b=3.16cm；
（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm．
例7. 在ABC中，求證：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）．
小結(jié)：證明三角形中恒等式方法： 應(yīng)用正弦定理或余弦定理，“邊”化“角”或“角”化“邊”．
三. 達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，鞏固提升
A1. 在AB
7、C中，已知，，，則ABC的面積是 ．
1：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？
2：某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的A、B兩個目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57，俯角是60，測得目標(biāo)B在南偏東78，俯角是45，試求山高.
3. 甲、乙兩船同時從B點(diǎn)出發(fā)，甲船以每小時10(＋1)km的速度向正東航行，乙船以每小時20km的速度沿南60東的方向航行，1小時后甲、乙兩船分別到達(dá)A、C兩點(diǎn)，求A、C兩點(diǎn)的距離，以及在A點(diǎn)觀察C點(diǎn)的方向角.
A2. 2. 在ABC中，求證：
A3. 4. 某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？
四．知識梳理，歸納總結(jié)
五、預(yù)習(xí)指導(dǎo)，新課鏈接
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