初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第25講輔助圓
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初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第25講輔助圓
第二十五講 輔助圓 在處理平面幾何中的許多問題時,常需要借助于圓的性質(zhì),問題才得以解決而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓;有時雖然題設(shè)涉及圓,但是此圓并不是我們需要用的圓),這就需要我們利用已知條件,借助圖形把需要的實際存在的圓找出來,添補輔助圓的常見方法有: 1利用圓的定義添補輔助圓; 2作三角形的外接圓; 3運用四點共圓的判定方法: (1)若一個四邊形的一組對角互補,則它的四個頂點共圓 (2)同底同側(cè)張等角的三角形,各頂點共圓 (3)若四邊形ABCD的對角線相交于P,且PAPC=PBPD,則它的四個頂點共圓 (4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P,且PAPBPCPD,則它的四個頂點共圓【例題求解】【例1】如圖,直線AB和AC與O分別相切于B、C,P為圓上一點,P到AB、AC的距離分別為4cm、6cm,那么P到BC的距離為 思路點撥 連DF,EF,尋找PD、PE、PF之間的關(guān)系,證明PDFPFE,而發(fā)現(xiàn)P、D、B、F與P、E、C、F分別共圓,突破角是解題的關(guān)鍵注:圓具有豐富的性質(zhì):(1)圓的對稱性;(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化; (3)與圓相關(guān)的角;(4)圓中比例線段適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓,就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件,由于圖形的復(fù)雜性,有時在圖中并不需畫出圓,可謂“圖中無圓,心中有圓” 【例2】 如圖,若PA=PB,APB=2ACB,AC與PB交于點P,且PB=4,PD=3,則ADDC等于( ) A6 B7 C12 D16 思路點撥 作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓,為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件1 / 5注:到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上,這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法【例3】 如圖,在ABC中,AB=AC,任意延長CA到P,再延長AB到Q,使AP=BQ,求證:ABC的外心O與A,P,Q四點共圓 思路點撥 先作出ABC的外心O,連PO、OQ,將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等【例4】 如圖,P是O外一點,PA切O于A,PBC是O的割線,ADPO于D求證: 思路點撥 因所證比例線段不是對應(yīng)邊,故不能通過判定PBD與PCD相似證明PA2=PDPO=PBPC,B、C、O、D共圓,這樣連OB,就得多對相似三角形,以此達到證明的目的注:四點共圓既是一類問題,又是平面幾何中一個重要的證明方法,它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位,這是因為,某四點共圓,不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移,而且可直接運用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)【例5】如圖,在ABC中,高BE、CF相交于H,且BHC=135,G為ABC內(nèi)的一點,且GB=GC,BGC3A,連結(jié)HG,求證:HG平分BHF 思路點撥 經(jīng)計算可得A=45,ABE,BFH皆為等腰直角三角形,只需證GHB=GHF=22.5 由BGC=3A=135=GHC,得B、G、H、C四點共圓,運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點證明注:許多直線形問題借助輔助圓,常能降低問題的難度,使問題獲得簡解、巧解或新解學(xué)力訓(xùn)練1如圖,正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內(nèi)一點,且OPB=45,PA:PB=5:14,則PB的長為 2如圖,在ABC中,AB=AC=2,BC邊上有100個不同的點Pl、P2,P100,記(i=1,2,100),則= 3設(shè)ABC三邊上的高分別為AD、BE、CF,且其垂心H不與任一頂點重合,則由點A、B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有( ) A3個 B4個 C5個 D6個 4如圖,已知OA=OB=OC,且AOB=BOC,則ACB是BAC的( ) A倍 B是倍 C D 5如圖,在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=998,CD=1001,AD=1999,點P在線段AD上,滿足條件的BPC=90的點P的個數(shù)為( ) A0 B1 C2 1 D不小于3的整數(shù) 6如圖,AD、BE是銳角三角形的兩條高,SABC= 18,SDEC=2,則COSC等于( ) A3 B C D7如圖;已知H是ABC三條高的交點,連結(jié)DF,DE,EF,求證:H是DEF的內(nèi)心8如圖,已知ABC中,AH是高,AT是角平分線,且TDAB,TEAC求證:(1)AHD=AHE;(2) 9如圖,已知在凸四邊形ABCDE中,BAE=3,BC=CD=DE,且BCD=CDE=求證:BAC=CAD=DAK, 10如圖,P是O外一點,PA和PB是O的切線,A,B為切點,P O與AB交于點M,過M任作O的弦CD求證:CPO=DPO11如圖,已知點P是O外一點,PS、PT是O的兩條切線,過點P作O的割線PAB,交O A、B兩點,與ST交于點C求證: 參考答案 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!