初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第2講 判別式-二次方程根的檢測(cè)器

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1、 第二講 判別式——二次方程根的檢測(cè)器 為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等。我們形象地說(shuō)，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用： 利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性； 運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題； 借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題。 【

2、例題求解】 【例1】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 。 (廣西中考題) 思路點(diǎn)撥：利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約。 注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個(gè)二次方程的問(wèn)題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)。 【例2】 已知三個(gè)關(guān)于的方程：，和，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) （山東省競(jìng)賽題） A、 B、或 C、 D

3、、 思路點(diǎn)撥：“至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇。 【例3】 已知關(guān)于的方程， (1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)若等腰三角形△ABC的一邊長(zhǎng)＝1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)。 (湖北省荊門市中考題) 思路點(diǎn)撥：對(duì)于(1)只需證明△≥0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值。 注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但不一定每個(gè)這類題均有多解，

4、還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍。 （2）運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問(wèn)題常用到換元、分類討論等思想方法。 【例4】 設(shè)方程，只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根。 (重慶市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥：去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程．原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零。 2 / 10 【例5】已知：如圖，矩

5、形ABCD中，AD＝，DC＝，在 AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE＝，問(wèn)：這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在， 這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由。 (云南省中考題) 思路點(diǎn)撥：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足∠AED+∠BEC＝90，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)。 注：有些與一元二次方程表面無(wú)關(guān)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見(jiàn)的構(gòu)造方

6、法有： (1)利用根的定義構(gòu)造； (2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造； (3)確定主元構(gòu)造。 判別式——二次方程根的檢測(cè)器學(xué)力訓(xùn)練 1、已知，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則= 。 2、若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 。 (遼寧省中考題) 3、已知關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)= 。 4、若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( ) A、 B、 C、且 D、且 (山西省中考題) 5、已知一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90，那么關(guān)于的方程的根的情況

7、為( ) A、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B、沒(méi)有實(shí)數(shù)根 C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D、無(wú)法確定 (河南省中考題) 6、如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A、沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 (2003年河南省中考題) 7、在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、，已知，和是 關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)。(濟(jì)南市中考題) 8、已知關(guān)于的方程 (1

8、)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根； (2)如果方程的兩實(shí)根分別為、，滿足=3，求實(shí)數(shù)的值。(鹽城市中考題) 9、、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。 (1)求證：； (2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60； (3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值。 (江蘇省蘇州市中考題) 10、關(guān)于的兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是 。(2002年四川省競(jìng)賽題) 11、當(dāng)= ，= 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)

9、聯(lián)賽試題) 12、若方程有且只有相異二實(shí)根，則的取值范圍是 。 13、如果關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)( ) A、2 B、1 C、0 D、不能確定 14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有( ) A、12個(gè) B、10個(gè) C、7個(gè) D、5個(gè) (河南省中考題) 15、已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A、有兩相等實(shí)根 B、有兩相異實(shí)根 C、無(wú)實(shí)根 D、不能確定 (河

10、北省競(jìng)賽題) 16、若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 (湖北省黃岡市競(jìng)賽題) 17、已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于。 18、關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值。 (山東省競(jìng)賽題) 19、考慮方程① (1)若=24，求一個(gè)實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式。 (2)若≥25，是否存在實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式?說(shuō)明你的結(jié)論。 (國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題) 20、如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長(zhǎng)為的正方形EFGH，試求的取值范圍。 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！