2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視 春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時每刻都處于運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運動中方能凸現(xiàn)出來． 動態(tài)幾何問題，是指以幾何知識和圖形為背景，滲入運動變化觀點的一類問題，常見的形式是：點在線段或弧線上運動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是： 1．動中覓靜 這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性． 2．動靜互化 “靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系． 3．以動制動 以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系． 注：幾何動態(tài)既是一類問題，也是一種觀點與思維方法，運用幾何動態(tài)的觀點，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對于一個數(shù)學問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動態(tài)思維”． 【例題求解】 【例1】 如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時針方向在上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置，設BC=1，AC=，則頂點A運動到點A″的位置時，點A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是 ． 思路點撥 解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準確分割．RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動，頂點A所經(jīng)過 的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120和90，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和． 【例2】如圖，在⊙O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，連結(jié)A′B′，當點P從點A移到點B時，A′B′的中點的位置( ) ⌒ A．在平分AB的某直線上移動 B．在垂直AB的某直線上移動 C．在AmB上移動 D．保持固定不移動 思路點撥 畫圖、操作、實驗，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【例3】 如圖，菱形OABC的長為4厘米，∠AOC＝60，動點P從O出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運動，點P出發(fā)2秒后，動點Q從O出發(fā)，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運動，過P、Q兩點分別作對角線AC的平行線．設P點運動的時間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題： (1)當=3時，的值是多少? (2)就下列各種情形： ①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求與之間的函數(shù)關(guān)系式． (3)在給出的直角坐標系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系． 思路點撥 本例是一個動態(tài)幾何問題，又是一個“分段函數(shù)”問題，需運用動態(tài)的觀點，將各段分別討論、畫圖、計算． 注：動與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運動變化的哪一類問題，都真實地反映了現(xiàn)實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略． 建立運動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值． 【例4】 如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點E、F，分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1m／秒的速度向點A運動，點F沿折線A—D—C以2cm／秒的速度向點C運動，設點E離開點B的時間為2 (秒)． (1)當為何值時，線段EF與BC平行? (2)設1<<2，當為何值時，EF與半圓相切? (3)當1≤<2時，設EF與AC相交于點P，問點E、F運動時，點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值． 思路點撥 動中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對于(1)、(2)，運用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對于(3)，點P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值． 注：動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運動狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想． 【例5】 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點；如圖(1)，連結(jié)O2 O1并延長交⊙O1于P點，連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點，連結(jié)C O2并延長交⊙O2于E點．已知⊙O2的半徑為R，設∠CAD=． (1)求：CD的長(用含R、的式子表示)； (2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系，并說明理由； (3)設點P′為⊙O1上(⊙O2外)的動點，連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′，請你探究∠C′AD′是否等于? C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由． ⌒ 思路點撥 對于(1)、(2)，作出圓中常見輔助線；對于(3)，P點雖為OOl上的一個動點，但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來． 學力訓練 1．如圖， ΔABC中，∠C=90，AB=12cm，∠ABC=60，將ΔABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是 cm (π=3.14159…，最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字)． 2．如圖，在RtΔ ABC中，∠C=90，∠A=60，AC= cm，將ΔABC繞點B旋轉(zhuǎn)至ΔABC的位置，且使A、B、C三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是 cm． 3．一塊等邊三角形的木板，邊長為l，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束走過的路徑長度為( ) A． B． C．4 D． 4．把ΔABC沿AB邊平移到ΔABC的位置，它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動的距離AA是( ) A． B． C．1 D． 5．如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當圓心O從點A出發(fā)，沿著線路AB—BC—CA運動，回到點A時，⊙O隨著點O的運動而移動． (1)若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時AO的長； (2)在O移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應的切點個數(shù)； (3)設O在整個移動過程中，在ΔABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S>0時，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍． 6．已知：如圖，⊙O韻直徑為10，弦AC=8，點B在圓周上運動(與A、C兩點不重合)，連結(jié)BC、BA，過點C作CD⊥AB于D．設CB的長為，CD的長為． (1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當以BC為直徑的圓與AC相切時，求的值； (2)在點B運動的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時 的取值范圍； (3)在點B運動的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長． 7．如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN=∠POQ=(為銳角)．當∠MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平移移動．設OM=，ON= (>≥0)，ΔAOM的面積為S，若cos、OA是方程的兩個根． (1)當∠MAN旋轉(zhuǎn)30(即∠OAM=30)時，求點N移動的距離； (2)求證：AN2=ONMN； (3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍． 8．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60，BD⊥CD． (1)求BC、AD的長度； (2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm／s的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm／s的速度運動，當P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 9．已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運動． 設AE=，四邊形EFGH的面積為S． (1)當n=l、2時，如圖②、③，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使? (2)當n=3時，如圖④，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使； (3)當n=k (k≥1)時，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由． 10．如圖1，在直角坐標系中，點E從O點出發(fā)，以1個單位／秒的速度沿軸正方向運動，點F從O點出發(fā)，以2個單位／秒的速度沿軸正方向運動，B(4，2)，以BE為直徑作⊙O1． (1)若點E、F同時出發(fā)，設線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與⊙O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)在(1)的條件下，連結(jié)FB，幾秒時FB與⊙O1相切? (3)如圖2，若E點提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā)，當點F出發(fā)后，E點在A點左側(cè)時，設BA⊥軸于A點，連結(jié)AF交⊙O1于點P，試問PAFA的值是否會發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍． 參考答案