2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第一講 走進(jìn)追問求根公式.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第一講 走進(jìn)追問求根公式 形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過的全部代數(shù)運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數(shù)、何時有實根等基本問題；它展示了數(shù)學(xué)的簡潔美． 降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸泶鷵Q，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項式等技巧與方法． 【例題求解】 【例1】滿足的整數(shù)n有 個． 思路點撥 從指數(shù)運算律、1的特征人手，將問題轉(zhuǎn)化為解方程． 【例2】設(shè)、是二次方程的兩個根，那么的值等于（ ） A． 一4 B．8 C．6 D．0 思路點撥 求出、的值再代入計算，則計算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如，． 【例3】 解關(guān)于的方程． 思路點撥 因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論． 【例4】 設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和． 思路點撥 通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解． 【例5】 已知實數(shù)、、、互不相等，且， 試求的值． 思路點撥 運用連等式，通過迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值． 注： 一元二次方程常見的變形形式有： (1)把方程（）直接作零值多項式代換； (2)把方程（）變形為，代換后降次； (3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去． 解合字母系數(shù)方程時，在未指明方程類型時，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質(zhì)，如． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．已知、是實數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為 ． 2．已知，那么代數(shù)式的值是 ． 3．若，，則的值為 ． 4．若兩個方程和只有一個公共根，則( ) A． B． C． D． 5．當(dāng)分式有意義時，的取值范圍是( ) A． B． C． D．且 6．方程的實根的個數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．解下列關(guān)于的方程： (1)； (2)； (3)． 8．已知，求代數(shù)式的值． 9．是否存在某個實數(shù)m，使得方程和有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由． 注： 解公共根問題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過消去二次項尋找解題突破口． 10．若，則＝ ． 11．已知、是有理數(shù)，方程有一個根是，則的值為 ． 12．已知是方程的一個正根。則代數(shù)式的值為 ． 13．對于方程，如果方程實根的個數(shù)恰為3個，則m值等于( ) A．1 n．2 C． D．2．5 14．自然數(shù)滿足，這樣的的個數(shù)是( ) A．2 B．1 C．3 D．4 15．已知、都是負(fù)實數(shù)，且，那么的值是( ) A． B． C． D． 16．已知，求的值． 17．已知m、n是一元二次方程的兩個根，求的值． 18．在一個面積為l的正方形中構(gòu)造一個如下的小正方形：將正方形的各邊等分，然后將每個頂點和它相對頂點最近的分點連結(jié)起來，如圖所示，若小正方形面積為，求的值． 19．已知方程的兩根、也是方程的根，求、的值． 20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無理數(shù)． 參考答案