初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第20講 直線與圓

第二十講 直線與圓 直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形，既可從直線與圓交點的個數(shù)來判定，也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來考察討論直線與圓的位置關(guān)系的重點是直線與圓相切，直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識，這些豐富的知識對應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論：注： 點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法，即量化的方法(距離與半徑的比較)，我們稱“由數(shù)定形”，勾股定理的逆定理也具有這一特點【例題求解】【例1】 如圖，AB是半圓O的直徑，CB切O于B，CD切O于D，交BA的延長線于E，若EA=1，ED=2，則BC的長為 思路點撥 從C點看，可用切線長定理，從E點看，可用切割線定理，而連OD，則ODEC，又有相似三角形，先求出O的半徑注：連結(jié)圓心與切點是一條常用的輔助線，利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形，在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用 【例2】 如圖，AB、AC與O相切于B、C，A=50，點P是圓上異于B、C的一個動點，則BPC的度數(shù)是( ) A65 B115 C60和115 D130和50 (山西省中考題)思路點撥 略【例3】 如圖，以等腰ABC的一腰AB為直徑的O交BC于D，過D作DEAC于E，可得結(jié)論：DE是O的切線問：(1)若點O在AB上向點B移動，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓的交BC于D，DEAC的條件不變，那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由； (2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圓心O在AB的什么位置時，O與AC相切? (2001年黑龍江省中考題)2 / 10思路點撥 (1)是結(jié)論探索題，(2)是條件探索題，從切線的判定方法和性質(zhì)入手，分別畫圖，方能求解【例4】 如圖，已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90，P是AB邊上的動點(與點A、B不重合)，Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合) (1)當PQAC，且Q為BC的中點時，求線段PC的長； (2)當PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由 (廣州市中考題) 思路點撥 對于(2)，易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點，建立一個研究的模型以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P，從直線與圓相切特殊位置入手，以此確定CQ的取值范圍 注：判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題，判定的基本方法有： (1)從直線與圓交點個數(shù)入手； (2)利用角證明，即證明半徑和直線垂直； (3)運用線段證明，即證明圓心到直線的距離等于半徑一個圓的問題，從不同的條件出發(fā)，可有不同的添輔助線方式，進而可得不同的證法，對于分層次設(shè)問的問題，需整體考慮； 【例5】如圖，在正方形ABCD中，AB=1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點（1）當DEF=45時，求證點G為線段EF的中點；（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）將DEF沿直線EF翻折后得D1EF，如圖，當EF=時，討論AD1D與ED1F是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由 思路點撥 圖中有多條B的切線，由切線長定理可得多對等長線段，這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ)，對于(3)，由(2)求出的值，確定E點位置，這是解題的關(guān)鍵注：本例將幾何圖形置于直角坐標系中，綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識，并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互助等思想方法，具有較強的選拔功能 學力訓練1如圖，AB為O的直徑，P點在AB延長線上，PM切O于M點，若OA=， FM=，那么PMB的周長為 2PA、PB切O于A、B，APB=78，點C是O上異于A、B的任意一點，則ACB= 3如圖，EB、EC是O的兩條切線，B、C是切點，A、D是O上兩點，如果F=46，DCF=32，則A的度數(shù)是 4如圖，以ABC的邊AB為直徑作O交BC于D，過點D作O的切線交AC于E，要使DEAC，則ABC的邊必須滿足的條件是 5、表示直線，給出下列四個論斷：；切O于點A；切O于點B；AB是O的直徑若以其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出一些命題，在這些命題中，正確命題的個數(shù)為( ) 1 B2 C3 D4 6如圖，圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上，O過B點且與AD、DC邊均相切，則O的半徑是( ) A B C D 7直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD+BC<DC，若腰DC上有一點P， 使APBP，則這樣的點( ) A不存在 B只有一個 C只有兩個 D有無數(shù)個 8如圖，圓內(nèi)接ABC的外角ACH的平分線與圓交于D點，DPAC于P，DHBH于H，下列結(jié)論：CH=CP；A D=DB；APBH；DH為圓的切線，其中一定成立的是( ) A B C D 9如圖，O是ABC的外接圓，已知ACB=45，ABC=120，O的半徑為1，(1)求弦AC、AB的長；(2)若P為CB的延長線上一點，試確定P點的位置，使PA與O相切，并證明你的結(jié)論10如圖，AB是O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CDAB于E，且PC2=PEPO (1)求證：PC是O的切線； (2)若OE：EA=1：2，且PA6，求O的半徑； (3)求sinPCA的值 11(1)如圖a，已知直線AB過圓心O，交O于A、B，直線AF交O于F(不與B重合)，直線交O于C、D，交AB于E且與AF垂直，垂足為G，連AC、 AD，求證：BAD=CAG；ACAD=AEAF(2)在問題(1)中，當直線向上平行移動與O相切時，其他條件不變請你在圖b中畫出變化后的圖形，并對照圖a標記字母；問題(1)中的兩個結(jié)論是否成立?如果成立，請給出證明；如不成立，請說明理由12如圖，在RtABC中，A=90，O分別與AB、AC相切于點E、F，圓心O在BC上，若AB=a，AC=b，則O的半徑等于 13如圖，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上運動(不與點M重合)，點Q在半圓O上運動，且總保持PQ=PO，過點Q作O的切線交BA的延長線于點C (1)當QPA=60時，請你對QCP的形狀做出猜想，并給予證明 (2)當QPAB時，QCP的形狀是 三角形 (3)由(1)、(2)得出的結(jié)論，請進一步猜想當點P在線段AM上運動到任何位置時，QCP一定是 三角形 14如圖，已知AB為O的直徑，CB切O于B ，CD切O于D，交BA的延長線于E，若AB=3，ED=2，則BC的長為( ) A2 B3 C35 D4 15如圖，PA、PB是O的兩條切線，A、B切點，直線OP交O于C、D，交AB于E，AF為O的直徑，下列結(jié)論：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正確結(jié)論的個數(shù)有( )A3個 B2個 C1個 D0個 16如圖，已知ABC，過點A作外接圓的切線交BC的延長線于點P，點D在AC上，且，延長PD交AB于點E，則的值為( ) A B C D 17如圖，已知AB為半圓O的直徑，AP為過點A的半圓的切線 在AB上任取一點C(點C與A、B不重合)，過點C作半圓的切線CD交AP于點D；過點C作CEAB，垂足為E連結(jié)BD，交CE于點F(1)當點C為AB的中點時(如圖1)，求證：CFEF；(2)當點C不是AB的中點時(如圖2)，試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論 18如圖，ABC中，C=90，AC=6，BC=3，點D在AC邊上，以D為圓心的D與AB切于點E(1)求證：ADEABC；(2)設(shè)D與BC交于點F，當CF=2時，求CD的長；(3)設(shè)CD=，試給出一個值，使D與BC沒有公共點，并說明你給出的值符合的要求 19如圖，PA、PB與O切于A、B兩點，PC是任意一條割線，且交O于點E、C，交AB于點D求證：20如圖，O與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點，圓心O的坐標是(1，一1)，半徑是，(1)求A、B、C、D四點的坐標； (2)求經(jīng)過點D的切線的解析式；(3)問過點A的切線與過點D的切線是否垂直?若垂直，請寫出證明過程；若不垂直，試說明理由21當你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想? 如圖，設(shè)墻壁上的展品最高處點P距離地面a米，最低處點Q距離地面b米，觀賞者的眼睛點E距離地面m米，當過 P、Q、E三點的圓與過點E的水平線相切于點E時，視角PEQ最大，站在此處觀賞最理想 (1)設(shè)點E到墻壁的距離為x米，求a、b、m，x的關(guān)系式； (2)當a=2.5，b=2，m=1.6時，求： (a)點E和墻壁距離x米；(b)最大視角PER的度數(shù)(精確到1度) 參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！