2019-2020年九年級數(shù)學下冊 29.1 幾何問題的處理方法1教案 華東師大版.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學下冊 29.1 幾何問題的處理方法1教案 華東師大版 　　教學目標 　　知識技能目標 　　1．掌握并會證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理； 　　2．利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題． 　　過程性目標 　　在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中，進一步體會證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力． 　　教學重點 　　1．掌握并會證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理； 　　2．利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題． 　　教學難點 　　在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中，進一步體會證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力． 　　一、情境導入 　　請同學們按以下步驟畫△ABC． 　　1．任意畫線段BC； 　　2．以B、C為頂點，在BC的同側(cè)作銳角∠B＝∠C，角的兩邊交于點A． 這個△ABC是一個什么三角形？怎么知道△ABC是一個等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD對折的方法，得到AB＝AC，這實際上就是我們已經(jīng)學過的等腰三角形的識別方法：等角對等邊．同學們是否想過，為什么當△ABC沿AD對折時，AB與AC完全重合？現(xiàn)在我們可以用邏輯推理的方法去證明這個問題． 　　二、探究歸納 　　1．求證：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等． 　　已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC． 　　分析　要證明AB＝AC，可設法構(gòu)造兩個全等三角形，使AB，AC分別是這兩個全等三角形的對應邊，因此可畫∠BAC的平分線AD． 　　等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成“等角對等邊” 　　說明 　　(1)還可通過畫中線AD或BC邊上的高AD得全等三角形． 　　(2)推理形式：因為在△ABC中，∠B＝∠C．（已知） 　　所以AB＝AC．（等角對等邊） 　　2．同學們回憶一下，我們學過的等腰三角形具有哪些性質(zhì)？(1)等邊對等角；(2)等腰三角形的“三線合一”．以前，我們也用折疊的方法（可演示一下）來認識了這兩個性質(zhì)，現(xiàn)在同學們嘗試用邏輯推理的方法來證明等腰三角形的性質(zhì)．先試著畫出圖形，寫出已知，求證． 　　求證：等腰三角形的兩個底角相等． 　　已知：△ABC中，AB＝AC． 　　求證：∠B＝∠C． 　　分析　仍可通過畫∠BAC的平分線AD來構(gòu)造全等三角形． 　　等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等．（簡稱為“等邊對等角” ） 　　推理形式：因為△ABC中，AB＝AC．（已知） 　　所以∠B＝∠C．（等邊對等角） 　　說明 　　(1)也可作中線AD或BC邊上的高線AD； 　　(2)由△BAD≌△CAD，可進一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90，因此AD也是中線，是BC邊上的高線． 　　等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合．（簡寫成“等腰三角形的三線合一” ） 　　在半透明紙上畫∠AOB及角平分線OC，點P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D和點E．沿著射線OC對折，發(fā)現(xiàn)PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我們得到了角平分線的性質(zhì)．請同學們來敘述這一性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等．我們現(xiàn)在可以用邏輯推理的方法去證明這一性質(zhì)． 1.同學們按上述性質(zhì)畫出圖形，寫出已知、求證，老師及時補充． 　　已知：OC是∠AOB平分線，點P是OC上任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足． 　　求證：PD＝PE． 　　分析　只要去證明PD、PE所在的兩個直角三角形全等。 　　角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等． 　　2.反過來，如果一個點到一個角兩邊的距離相等，這個點是否就在這個角的平分線上呢？畫出圖形，我們通過證明來解答這個問題． 　　已知：如圖，QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE． 　　求證：點Q在∠AOB的平分線上． 　　分析　要證點Q在∠AOB的平分線上，即QO是∠AOB的平分線，畫射線OQ，只要證∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．證明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ． 　　角平分線判定定理：到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上． 　　前面我們已經(jīng)用邏輯推理的方法證明了很多定理，如等腰三角形的性質(zhì)與判定定理、角平分線的性質(zhì)與判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定定理等，這些定理都是命題．再如：“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”；“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”也是命題．觀察這些命題的題設與結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 　　1．命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設是_______，結(jié)論是_______； 　　命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”的題設是_______，結(jié)論是_______． 　　在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個就叫做它的逆命題．所以上述兩個命題叫做互逆命題，如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”為原命題，則“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”為逆命題，反之也可以． 　　2．每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設與結(jié)論互換，便可得到原命題的逆命題．但是，原命題正確，它的逆命題未必正確，也就是說原命題與逆命題的真假之間沒有必然的聯(lián)系．比如“對頂角相等”是真命題，但它的逆命題“相等的角是對頂角”是一個假命題． 　　3．我們知道定理是命題，所以定理一定有逆命題．我們還知道定理是真命題，但定理的逆命題卻不一定是真命題，如果是真命題，則定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理．比如我們剛才所講的命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”；“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”都是定理，因此它們就是互逆定理．再比如等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理也是互逆定理，同學們能否再舉一些互逆定理？ 　　例題： 　　例1　如圖，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一點，∠A＝2∠EBC． 　　求證：BE⊥AC． 　　分析　由已知條件∠A＝2∠EBC，聯(lián)想到作∠A的平分線AD，則∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90，即BE⊥AC． 　　例2 如圖，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分別是E、D，BE、CD相交于點O，且∠1＝∠2．求證：OB＝OC． 　　分析 要證明OB＝OC，只要證明△OBD≌△OCE，可利用角平分線及垂線的條件得OD＝OE． 　　例3 寫出下列命題的逆命題，判斷原命題與逆命題的真假． 　　(1)全等三角形的面積相等； 　　(2)同角的余角相等； 　　(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b； 　　(4)到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上； 　　(5)線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等． 　　例4 寫出勾股定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆命題，并證明逆命題是真命題． 　　已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2． 　　求證：△ABC是直角三角形． 分析 首先構(gòu)造一個直角三角形ABC，使得∠C′＝90，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以證明△ABC≌△A′B′C′，從而可知△ABC是直角三角形． 　　勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形． 　　例5 如圖，四邊形ABCD是邊長a為的正方形，M為AB中點，E為AD上一點，且AE＝AD． 　　求證：△EMC是直角三角形． 　　作業(yè)：1、如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F．求證：點F在∠DAE的平分線上． 　　2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，∠BAC的平分線交BC于點D．求證：AB＝CD+AC． 　　3．給定一個三角形的兩邊長分別是5、12，當?shù)谌龡l邊為多長時，這個三角形是直角三角形？