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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練八 第3講 不等式選講 理
考情解讀 本部分主要考查絕對值不等式的解法，求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍，不等式的證明等，結(jié)合集合的運算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點，從能力上主要考查基本運算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．
1．含有絕對值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)?－a2，∴x>2.
綜上可知，原不等式的解集為.
思維升華 (1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：
①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．
(2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法．
(1)若不等式|x＋1|＋|x－2|0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；
(2)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2；
(3)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
證明 (1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0,3a2－2b2>0.
∴(a－b)(3a2－2b2)≥0.
∴3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
(2)a6＋8b6＋c6≥3
＝3a2b2c2＝2a2b2c2，
∴a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2.
(3)∵a2＋4b2≥2＝4ab，
a2＋9c2≥2＝6ac，
4b2＋9c2≥2＝12bc，
∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc，
∴a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.
思維升華 (1)作差法應(yīng)該是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力．
(2)注意觀察不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式或柯西不等式證明．
(xx課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：
(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.
證明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
熱點三 不等式的綜合應(yīng)用
例3 (xx陜西)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________．
答案 2
解析 先化簡式子，再利用基本不等式求解最值，注意等號取得的條件．
∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2abmn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時，取“＝”．
∴所求最小值為2.
思維升華 利用基本不等式求解最值時，有時需化簡代數(shù)式，切記等號成立的條件．
(xx湖北改編)設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝________.
答案
解析 通過等式找出a＋b＋c與x＋y＋z的關(guān)系．
由題意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①
①與a2＋b2＋c2＝10相加可得
(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，
所以不妨令，
則x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.
1．對于帶有絕對值的不等式的求解，要掌握好三個方法：一個是根據(jù)絕對值的幾何意義，借助于數(shù)軸的直觀解法；二
是根據(jù)絕對值的意義，采用零點分區(qū)去絕對值后轉(zhuǎn)化為不等式組的方法；三是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)圖象的方法．要在解題過程中根據(jù)不同的問題情境靈活選用這些方法．
2．使用絕對值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|(x＋2)－(x－4)|＝6.
3．易錯點：解絕對值不等式時忽視去掉絕對值的分界點；在使用算術(shù)—幾何平均不等式求最值時忽視討論等號成立的條件.
真題感悟
1．(xx江西改編)對任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為________．
答案 3
解析 ∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值為3.
2．(xx湖南)若關(guān)于x的不等式|ax－2|<3的解集為{x|－0時，－5；
當(dāng)－3≤x≤2時，g(x)＝5；
當(dāng)x>2時，g(x)>5.
綜上可得，g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(－∞，5]．
方法二 (1)同方法一．
(2)當(dāng)a＝2時，f(x)＝|x－2|.設(shè)g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(當(dāng)且僅當(dāng)－3≤x≤2時等號成立)，得g(x)的最小值為5.
從而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(－∞，5]．
2．設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，試證明不等式＋＋≥＋＋，并說明等號成立的條件．
解 因為a，b，c均為正實數(shù)，
所以≥≥，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立；
≥≥，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時等號成立；
≥≥，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時等號成立．
三個不等式相加，得＋＋≥＋＋，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立．
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1．如果關(guān)于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是R，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析 在數(shù)軸上，結(jié)合絕對值的幾何意義可知a≤－5或a≥－3.
2．(xx重慶)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 [－1，]
解析 設(shè)y＝|2x－1|＋|x＋2|＝當(dāng)x<－2時，y＝－3x－1>5；
當(dāng)－2≤x<時，y＝－x＋3>；當(dāng)x≥時，y＝3x＋1≥，故函數(shù)y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值為.因為不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2對任意實數(shù)x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范圍為[－1，]．
3．若不等式|ax＋2|<4的解集為(－1,3)，則實數(shù)a＝________.
答案 －2
解析 由－40時，－4時，x＋3＋x－4≤9，即4f(1＋t2)，則實數(shù)t的取值范圍是________．
答案 (－3,3)
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1,3)，
∴>0且－1,3是x2－bx＋c＝0的兩根．
則函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c圖象的對稱軸方程為x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，
又∵7＋|t|≥7>1,1＋t2≥1，
則由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－30，則當(dāng)a＝________時，＋取得最小值．
答案?。?
解析 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此當(dāng)a>0時，＋的最小值是＋1＝；當(dāng)a<0時，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值為，此時即a＝－2.
9．若T1＝，T2＝，則當(dāng)s，m，n∈R＋時，T1與T2的大小為________．
答案 T1≤T2
解析 因為－＝s
＝≤0.
所以T1≤T2.
10．設(shè)0a2，a>0，b>0得b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大．
11．設(shè)x>0，y>0，M＝，N＝＋，則M、N的大小關(guān)系為__________．
答案 M＋＝＝M.
12．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，則M、N的大小關(guān)系為________．
答案 M>N
解析 ∵a≠b，∴＋>2，＋>2，
∴＋＋＋>2＋2，
∴＋>＋.即M>N.
13．對于實數(shù)x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為________．
答案 5
解析 ∵|x－1|≤1，
∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.
又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，
從而－6≤－2y≤－2.
由同向不等式的可加性可得
－6≤x－2y≤0，
∴－5≤x－2y＋1≤1，
∴|x－2y＋1|的最大值為5.
14．不等式>|a－5|＋1對于任一非零實數(shù)x均成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (4,6)
解析?。絴x|＋≥2，
所以|a－5|＋1<2，即|a－5|<1，∴4a對于一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－∞，2)
解析 由絕對值的幾何意義知
|x－4|＋|x＋5|≥9，
則log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a對于一切x∈R恒成立，則需a<2.
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