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2019年高考數(shù)學總復習 第2節(jié) 不等式的證明素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4
1．函數(shù)f(x)＝3x＋(x>0)的最小值為________．
解析：9 f(x)＝3x＋＝x＋x＋≥3＝9，當且僅當x＝，即x＝2時等號成立．
2．記S＝＋＋＋…＋，則S與1的大小關系是________．
解析：S<1 ∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，
∴S＝＋＋＋…＋
<＝1.
3．已知＋＝1(a>b>0)，則利用柯西不等式判斷a2＋b2與(x＋y)2的大小關系為________．
解析：a2＋b2≥(x＋y)2 ∵＋＝1，
∴a2＋b2＝(a2＋b2)≥2＝(x＋y)2.
4．已知a>b>c>d，則(a－d)的最小值為________．
解析：9 原式＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3 3＝9.
當且僅當a－b＝b－c＝c－d時等號成立．
5．設0
a2，a>0，b>0得b>a.
又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大．
6．設x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)λ的最小值是________．
解析：－4 ∵x>0，y>0，
∴原不等式可化為－λ≤(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2 ＝4，
當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．
∴(x＋y)min＝4，
即－λ≤4，λ≥－4.
7．(xx新課標全國高考Ⅱ)設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證：
(1)ab＋bc＋ca≤；
(2)＋＋≥1.
證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
8．已知a，b為正實數(shù)．
(1)求證：＋≥a＋b；
(2)利用(1)的結論求函數(shù)y＝＋(00，b>0，
∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋
≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
∴＋≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立．
方法二：∵＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又∵a>0，b>0，∴≥0，
當且僅當a＝b時等號成立．∴＋≥a＋b.
(2)解：∵00，
由 (1)的結論，函數(shù)y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立．
∴函數(shù)y＝＋(00，求證：f(ax)－af(x)≤f(a)．
(1)解：由題f(x)＋f(x－1)＝|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|＝1.
因此只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.
當x≤1時，原不等式等價于－2x＋3≤2，即≤x≤1；
當12時，原不等式等價于2x－3≤2，即20時，f(ax)－af(x)＝|ax－1|－|ax－a|
＝|ax－1|－|a－ax|
≤|ax－1＋a－ax|＝|a－1|＝f(a)．
10．(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9.
(1)解：因為f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等價于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1.
(2)證明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈(0，＋∞)，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
11．已知a，b為實數(shù)，且a>0，b>0.
(1)求證：≥9；
(2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值．
(1)證明：因為a>0，b>0，
所以a＋b＋≥3 ＝3>0，①
同理可得a2＋＋≥3>0.②
由①②及不等式的性質得
≥33 ＝9.
(2)解：[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22]
≥[(5－2a)1＋2b1＋(a－b)2]2.
所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥.
當且僅當＝＝時取等號，即a＝，b＝.
所以當a＝，b＝時，(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2取最小值.
12．已知a，b，c均為正數(shù)．
(1)求證：a2＋b2＋c2＋2≥6，并確定a，b，c如何取值時等號成立；
(2)若a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
(1)證明：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得
，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋.②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③
當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立，即當且僅當a＝b＝c＝3時等號成立．
(2)解：＋＋≤＋＋
＝＝6，
即(＋＋)≤6，
故＋＋≤3，
當且僅當a＝b＝c＝時等號成立．
∴＋＋的最大值為3.
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