2019年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題訓練七 第1講 排列、組合與二項式定理 理.doc

2019年高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題訓練七 第1講 排列、組合與二項式定理 理考情解讀1.高考中對兩個計數(shù)原理、排列、組合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”問題、相鄰問題、相間問題)為主，主要涉及數(shù)字問題、樣品問題、幾何問題、涂色問題、選取問題等；對二項式定理的考查，主要是利用通項求展開式的特定項，利用二項式定理展開式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)問題主要考查分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、補集思想和邏輯思維能力.2.排列、組合、兩個計數(shù)原理往往通過實際問題進行綜合考查，一般以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，還經(jīng)常與概率問題相結(jié)合，出現(xiàn)在解答題的第一或第二個小題中，難度也為中等；對于二項式定理的考查，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題中，難度為易或中等1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘2排列與組合(1)排列：從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)公式是An(n1)(n2)(nm1)或?qū)懗葾.(2)組合：從n個不同元素中取出m(mn)個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)公式是C或?qū)懗蒀.(3)組合數(shù)的性質(zhì)CC；CCC.3二項式定理(1)二項式定理：(ab)nCanb0Can1bCan2b2CanrbrCa0bn(r0,1,2，n)(2)二項展開式的通項Tr1Canrbr，r0,1,2，n，其中C叫做二項式系數(shù)(3)二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性：與首末兩端“等距離”兩項的二項式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，.最大值：當n為偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)取得最大值；當n為奇數(shù)時，中間的兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值各二項式系數(shù)的和aCCCCC2n；bCCCCCC2n2n1.熱點一兩個計數(shù)原理例1(1)將1,2,3，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為()A6種 B12種C18種 D24種(2)如果一個三位正整數(shù)“a1a2a3”滿足a1<a2且a3<a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A240 B204C729 D920思維啟迪(1)先確定數(shù)字1,2,9的位置，再分步填寫空格；(2)按中間數(shù)進行分類答案(1)A(2)A解析(1)每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，1,2,9只有一種填法，5只能填在右上角或左下角，5填后與之相鄰的空格可填6,7,8任一個；余下兩個數(shù)字按從小到大只有一種方法共有236種結(jié)果，故選A.(2)分8類，當中間數(shù)為2時，有122種；當中間數(shù)為3時，有236種；當中間數(shù)為4時，有3412種；當中間數(shù)為5時，有4520種；當中間數(shù)為6時，有5630種；當中間數(shù)為7時，有6742種；當中間數(shù)為8時，有7856種；當中間數(shù)為9時，有8972種故共有26122030425672240種思維升華(1)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當中又可能用到分類加法計數(shù)原理(2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化(1)(xx大綱全國)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A60種 B70種C75種 D150種(2)已知函數(shù)f(x)ln(x21)的值域為0,1,2，則滿足這樣條件的函數(shù)的個數(shù)為()A8 B9 C26 D27答案(1)C(2)B解析(1)由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有CC75(種)(2)因為值域為0,1,2即ln(x21)0x0，ln(x21)1x，ln(x21)2x，所以定義域取值即在這5個元素中選取，當定義域中有3個元素時，CCC4，當定義域中有4個元素時，CC4，當定義域中有5個元素時，有一種情況所以共有4419(個)這樣的函數(shù)熱點二排列與組合例2(1)(xx重慶)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72 B120C144 D168(2)數(shù)列an共有12項，其中a10，a52，a125，且|ak1ak|1，k1,2,3，11，則滿足這種條件的不同數(shù)列的個數(shù)為()A84 B168C76 D152思維啟迪(1)將不能相鄰的節(jié)目插空安排；(2)考慮數(shù)列中項的增減變化次數(shù)答案(1)B(2)A解析(1)先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”對于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品2相聲”，有ACA36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“小品1相聲小品2”，有AA48(種)安排方法，故共有363648120(種)安排方法(2)|ak1ak|1，k1,2,3，11，前一項總比后一項大1或小1，a1到a5中4個變化必然有3升1減，a5到a12中必然有5升2減，是組合的問題，CC84.思維升華解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑：(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)(1)在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有()A24種 B48種C96種 D144種(2)從0,1,2,3,4中任取四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是_(用數(shù)字作答)答案(1)C(2)60解析(1)首先安排A有2種方法；第二步在剩余的5個位置選取相鄰的兩個排B，C，有4種排法，而B，C位置互換有2種方法；第三步安排剩余的3個程序，有A種排法，共有242A96(種)(2)0,1,2,3,4中任取四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，且為偶數(shù)，有兩種情況：一是當0在個位的四位偶數(shù)有A24(個)；二是當0不在個位時，先從2,4中選一個放在個位，再從余下的三個數(shù)選一個放在首位，應(yīng)有AAA36(個)，故共有四位偶數(shù)60個熱點三二項式定理例3(1)在(ax)7展開式中x4的系數(shù)為35，則實數(shù)a的值為_(2)如果(1xx2)(xa)5(a為實常數(shù))的展開式中所有項的系數(shù)和為0，則展開式中含x4項的系數(shù)為_思維啟迪(1)利用通項公式求常數(shù)項；(2)可用賦值法求二項展開式所有項的系數(shù)和答案(1)1(2)5解析(1)通項公式：Tr1Ca7rxr，所以展開式中x4的系數(shù)為Ca335，解得a1.(2)令x1得(1xx2)(xa)5的展開式中所有項的系數(shù)和為(1112)(1a)50，a1，(1xx2)(xa)5(1xx2)(x1)5(x31)(x1)4x3(x1)4(x1)4，其展開式中含x4項的系數(shù)為C(1)3C(1)05.思維升華(1)在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定；Tr1是展開式中的第r1項，而不是第r項；公式中，a，b的指數(shù)和為n且a，b不能隨便顛倒位置；對二項式(ab)n展開式的通項公式要特別注意符號問題(2)在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法(1)(xx湖北)若二項式(2x)7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a等于()A2 B.C1 D.(2)(xx浙江)在(1x)6(1y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)等于()A45 B60C120 D210答案(1)C(2)C解析(1)二項式(2x)7的展開式的通項公式為Tr1C(2x)7r()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展開式中的系數(shù)是C22a584，解得a1.(2)因為f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.1排列、組合應(yīng)用題的解題策略(1)在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么(2)區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題也就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)(3)排列、組合綜合應(yīng)用問題的常見解法：特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法；合理分類與準確分步；排列、組合混合問題先選后排法；相鄰問題捆綁法；不相鄰問題插空法；定序問題倍縮法；多排問題一排法；“小集團”問題先整體后局部法；構(gòu)造模型法；正難則反、等價轉(zhuǎn)化法2二項式定理是一個恒等式，對待恒等式通常有兩種思路一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應(yīng)項系數(shù)相等)；二是賦值這兩種思路相結(jié)合可以使得二項展開式的系數(shù)問題迎刃而解另外，通項公式主要用于求二項式的指數(shù)，求滿足條件的項或系數(shù)，求展開式的某一項或系數(shù)，在運用公式時要注意以下幾點：(1)Canrbr是第r1項，而不是第r項(2)運用通項公式Tr1Canrbr解題，一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n、r，然后代入通項公式求解(3)求展開式的特殊項，通常都是由題意列方程求出r，再求出所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和r的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.真題感悟1(xx浙江)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答)答案60解析把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有C種分法，再分給4人有A種分法，所以不同獲獎情況種數(shù)為ACA243660.2(xx山東)若(ax2)6的展開式中x3項的系數(shù)為20，則a2b2的最小值為_答案2解析(ax2)6的展開式的通項為Tr1C(ax2)6r()rCa6rbrx123r，令123r3，得r3，由Ca63b320得ab1，所以a2b222，故a2b2的最小值為2.押題精練1給一個正方體的六個面涂上4種不同的顏色(紅、黃、綠、藍)，要求相鄰2個面涂不同的顏色，則所有涂色方法的種數(shù)為()A6 B12 C24 D48答案A解析由于涂色過程中，要使用4種顏色，且相鄰的面不同色，對于正方體的3組對面來說，必然有2組對面同色，1組對面不同色，而且3組對面具有“地位對等性”，因此，只需從4種顏色中選擇2種涂在其中2組對面上，剩下的2種顏色分別涂在另外2個面上即可因此共有C6(種)不同的涂法，故選A.2某電視臺一節(jié)目收視率很高，現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告，其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是商業(yè)廣告，且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有()A8種 B16種 C18種 D24種答案A解析可分三步：第一步，最后一個排商業(yè)廣告有A種；第二步，在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告有A種；第三步，余下的兩個排公益宣傳廣告有A種根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的播放方式共有AAA8(種)故選A.3()2n的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，則其常數(shù)項為()A120 B252 C210 D45答案C解析根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，得2n10，故二項式()2n的展開式的通項公式是Tr1C()10r()rC.根據(jù)題意令50，解得r6，故所求的常數(shù)項等于C210.4設(shè)f(x)是(x2)6展開式的中間項，若f(x)mx在區(qū)間，上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_答案5，)解析(x2)6展開共七項，中間項為C(x2)3()320x6x3，所以f(x)x3.f(x)mx在區(qū)間，上恒成立，即x3mx0在區(qū)間，上恒成立x3mxx(x2m)，因為x，所以x>0，即x2m0在區(qū)間，上恒成立，所以m(x2)max，在區(qū)間，上，易知當x時，x2有最大值，最大值為5，所以m5.即實數(shù)m的取值范圍是5，)(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1(xx安徽)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60的共有()A24對 B30對 C48對 D60對答案C解析如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，與面對角線AC成60角的面對角線有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，D1C，DC1，共8條，同理與DB成60角的面對角線也有8條因此一個面上的2條面對角線與其相鄰的4個面上的8條對角線共組成16對又正方體共有6個面，所以共有16696(對)又因為每對被計算了2次，因此成60角的面對角線有9648(對)2在(x)5的二項展開式中，x2的系數(shù)為()A40 B40C80 D80答案A解析(x)5的展開式的通項為Tr1Cx5r()r(2)rC，令52，得r2，故展開式中x2的系數(shù)是(2)2C40，故選A.3從8名女生和4名男生中，抽取3名學生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A224 B112C56 D28答案B解析根據(jù)分層抽樣，從8個人中抽取男生1人，女生2人；所以取2個女生1個男生的方法：CC112.4若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，則a0a1a3a5的值為()A122 B123 C243 D244答案B解析在已知等式中分別取x0、x1與x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123，故選B.5(xx四川)在x(1x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A30 B20C15 D10答案C解析因為(1x)6的展開式的第r1項為Tr1Cxr，x(1x)6的展開式中含x3的項為Cx315x3，所以系數(shù)為15.6計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有()AAA BAAACCAA DAAA答案D解析先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫受限制應(yīng)優(yōu)先考慮，不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有A種放法，再考慮國畫與油畫本身又可以全排列，故排列的方法有AAA種7二項式()n的展開式中第4項為常數(shù)項，則常數(shù)項為()A10 B10C20 D20答案B解析由題意可知二項式()n的展開式的常數(shù)項為T4C()n3()3(1)3C，令3n150，可得n5.故所求常數(shù)項為T4(1)3C10，故選B.8有A、B、C、D、E五位學生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次A、B兩位學生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名請你分析一下，這五位學生的名次排列的種數(shù)為()A6 B18C20 D24答案B解析由題意知，名次排列的種數(shù)為CA18.9在二項式(x2)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為()A32 B32C0 D1答案C解析依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n32，解得n5.因此，令x1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于(12)50，故選C.10用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，則所有涂色方法的種數(shù)為()A60 B80C120 D260答案D解析如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4.如果使用2種顏色，則只能是第1,4個小方格涂一種，第2,3個小方格涂一種，方法種數(shù)是CA20；如果使用3種顏色，若第1,2,3個小方格不同色，第4個小方格只能和第1個小方格相同，方法種數(shù)是CA60，若第1,2,3個小方格只用2種顏色，則第4個方格只能用第3種顏色，方法種數(shù)是C3260；如果使用4種顏色，方法種數(shù)是CA120.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知總的涂法種數(shù)是206060120260，故選D.二、填空題11“霧霾治理”“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”成為xx年社會關(guān)注的五個焦點小王想利用xx“五一”假期的時間調(diào)查一下社會對這些熱點的關(guān)注度若小王準備按照順序分別調(diào)查其中的4個熱點，則“霧霾治理”作為其中的一個調(diào)查熱點，但不作為第一個調(diào)查熱點的調(diào)查順序總數(shù)為_答案72解析先從“光盤行動”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國”“先看病后付費”這4個熱點選出3個，有C種不同的選法；在調(diào)查時，“霧霾治理”安排的調(diào)查順序有A種可能情況，其余三個熱點調(diào)查順序有A種，故不同調(diào)查順序的總數(shù)為CAA72.12(x1)(4x24)3的展開式中的常數(shù)項為_答案160解析(x1)(4x24)3(x1)(2x)6，其中(2x)6展開式的第r1項為Tr1C(2x)6r()r(1)rC26rx62r，令r3，可得T4(1)3C23160，所以二項式(x1)(4x24)3的展開式中常數(shù)項為(1)(160)160.13(xx北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有AA種方法于是符合題意的排法共有AAAA36(種)14(xx課標全國)(xa)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則a_.(用數(shù)字填寫答案)答案解析設(shè)通項為Tr1Cx10rar，令10r7，r3，x7的系數(shù)為Ca315，a3，a.15某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，且甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數(shù)為_答案36解析若甲、乙分到的車間不再分人，則分法有CAC18種；若甲、乙分到的車間再分一人，則分法有3CA18種所以滿足題意的分法共有181836種16已知(x)6(a>0)的展開式中常數(shù)項為240，則(xa)(x2a)2的展開式中x2項的系數(shù)為_答案6解析(x)6的二項展開式的通項為Tr1Cx6r()rCa，令60，得r4，則其常數(shù)項為Ca415a4240，則a416，由a>0，故a2.又(xa)(x2a)2的展開式中，x2項為3ax2.故x2項的系數(shù)為(3)26.