2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第56課 圓的方程要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第56課 圓的方程要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 　如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(點(diǎn)M,N分別為切點(diǎn)),使得PM=PN.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. (例1) [思維引導(dǎo)]首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,找到線段之間的關(guān)系,利用已知條件很容易找到動(dòng)點(diǎn)滿足圓的條件,動(dòng)點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是圓. [解答]以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn),O1O2所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系, 則O1(-2,0),O2(2,0). 因?yàn)镻M=PN,所以PM2=2PN2. 因?yàn)閮蓤A的半徑都為1,所以P-1=2(P-1). 設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33. 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33(或?qū)懗蓌2+y2-12x+3=0). [精要點(diǎn)評]建立的坐標(biāo)系不同,則得到的結(jié)果可能不同,但是動(dòng)點(diǎn)的軌跡仍是圓,只是解析式不同而已,但是運(yùn)算難易也會(huì)有所不同,所以建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系會(huì)給解決問題帶來不同的效果. 　設(shè) A(-3,0),B(3,0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為1∶2,則點(diǎn)P的軌跡圖形所圍成的面積是　　　　. [答案]16π [解析]設(shè)P(x,y),則由題意有=,所以x2+y2+10x+9=0,所以(x+5)2+y2=16,所以點(diǎn)P在半徑為4的圓上,故其面積為16π. 求圓的方程 　(xx江蘇模擬)求圓心在y軸上,半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的方程. [思維引導(dǎo)]可以利用“待定系數(shù)法”求出圓的方程. [解答]設(shè)圓為(0,b), 由題設(shè)知圓的方程為x2+(y-b)2=1. 因?yàn)檫^點(diǎn)(1,2),所以代入得b=2. 故所求圓的方程為x2+(y-2)2=1. [精要點(diǎn)評]求圓的方程時(shí),要根據(jù)已知條件選擇合適的形式,一般地,與圓心和半徑有關(guān),選擇標(biāo)準(zhǔn)式,否則,選擇一般式.不論是哪種形式,都是確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù),所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式.另外,充分利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì),也可以求得圓的方程中的三個(gè)參數(shù).常用的性質(zhì)有:①圓心在過切點(diǎn)且與切點(diǎn)垂直的直線上;②圓心在任意弦的中垂線上;③兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線. 　(xx南安模擬)以(-1,2)為圓心、為半徑的圓的一般方程為　　　　　　. [答案]x2+y2+2x-4y=0 [解析]由圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=5,化簡可得x2+y2+2x-4y=0. 圓中的定值(定點(diǎn))問題 　已知圓C:x2+y2=9,點(diǎn)A(-5,0),在直線OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),存在定點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A),滿足:對于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù).試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo). [思維引導(dǎo)]由題意知點(diǎn)P為過A,B兩點(diǎn)的阿波羅尼斯圓,但其定比未知,故可以用特例求出定點(diǎn)B,然后再驗(yàn)證是否為常數(shù)或先假設(shè)點(diǎn)B存在,再由恒等性確定B的坐標(biāo). [解答]方法一:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0), 當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的左交點(diǎn)(-3,0)時(shí),=, 當(dāng)點(diǎn)P為圓C與x軸的右交點(diǎn)(3,0)時(shí),=. 依題意知=,解得t=-5(舍去)或t=-. 下面證明點(diǎn)B對于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù). 設(shè)P(x,y),則y2=9-x2,所以====,從而=為常數(shù). 方法二:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),使得為常數(shù)λ,則PB2=λ2PA2, 所以(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],將y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2), 即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0對x∈[-3,3]恒成立, 所以解得或(舍去). 所以存在點(diǎn)B對于圓C上任一點(diǎn)P,都有為常數(shù). [精要點(diǎn)評]一般地,我們把“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓”叫作圓的第二定義,此圓被叫作“阿波羅尼斯圓”. 本題以阿波羅尼斯圓為背景構(gòu)建定點(diǎn)問題,體現(xiàn)了阿波羅尼斯圓在解析幾何中的重要位置. 　(xx淮安模擬)已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過異于點(diǎn)M的定點(diǎn)?若經(jīng)過,請求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請說明理由. [解答]因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l:x-2y=0上, 設(shè)P(2m,m),MP的中點(diǎn)Q, 因?yàn)镻A是圓M的切線,所以經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓是以點(diǎn)Q為圓心、MQ為半徑的圓, 故其方程為(x-m)2+=m2+. 化簡,得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關(guān)于m的恒等式, 故解得或 所以經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過異于點(diǎn)M的定點(diǎn). 已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點(diǎn)A(3,0),且與圓O相切. (1) 求直線l1的方程; (2) 設(shè)圓O與x軸交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)M是圓O上異于點(diǎn)P,Q的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點(diǎn)P,直線QM交直線l2于點(diǎn)Q.證明:以PQ為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo). [思維引導(dǎo)]動(dòng)點(diǎn)M是問題之源.設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(s,t),且s2+t2=1,然后求出動(dòng)圓方程.令含參數(shù)s,t的代數(shù)式的系數(shù)為0,余下部分為0,解方程組便得定點(diǎn)坐標(biāo). [規(guī)范答題](1) 因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)A(3,0),且與圓O:x2+y2=1相切,所以可設(shè)直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分) 則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d==1,解得k=.所以直線l1的方程為y=(x-3). (4分) (2) 對于圓O:x2+y2=1,令y=0,得x=1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點(diǎn)A且與x軸垂直,所以直線l2的方程為x=3.設(shè)M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1). 由方程組解得P. 同理可得Q. (10分) 所以以PQ為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0. 又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0. (12分) 若圓C經(jīng)過定點(diǎn),則只需令y=0,從而有x2-6x+1=0,解得x=32. 所以以PQ為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn)(32,0). (14分) [精要點(diǎn)評] (1) 對于以PQ為直徑的圓C的方程而言,本題解答選用了直徑式,若選用標(biāo)準(zhǔn)式,則運(yùn)算較繁. (2) 證明動(dòng)曲線經(jīng)過定點(diǎn)的一般方法是:將整理好的方程中含有參變量的代數(shù)式的系數(shù)令為0,余下部分也令為0,然后解方程組即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).如:動(dòng)圓(x2+y2-6x+1)+λ(x2+y2-5)=0恒過定點(diǎn)(1,2),(1,-2). 1. (xx江蘇模擬)若圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為　 . [答案](x-2)2+(y+3)2=5 [解析]由圓的幾何意義知圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r==,所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5. 2. 經(jīng)過三點(diǎn)A(0,0),B(4,0),C(0,6)的圓的方程是　 . [答案](x-2)2+(y-3)2=13 3. 圓心為C(3,-5),且與直線x-7y+2=0相切的圓的方程為　　　　　　　　. [答案](x-3)2+(y+5)2=32 4. 已知點(diǎn)P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點(diǎn)也在圓C上,那么圓C的圓心坐標(biāo)為　　　　,半徑為　　　　. [答案](0,1)　2 [解析]因?yàn)辄c(diǎn)P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點(diǎn)(0,-1)也在圓C上,所以b=-3,a=0,故圓的方程為x2+y2-2y-3=0,圓心為(0,1),半徑為2. 5. 已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0),A(3,0)的距離之比為,那么點(diǎn)M的軌跡方程為　　　　　　　　. [答案]x2+y2+2x-3=0 [解析]由題意得=,化簡得x2+y2+2x-3=0. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第111-112頁).